数学文化融入文科高等数学教学：意义与方式

翟 莹，彭 刚

(广西师范大学 数学与统计学院，广西 桂林 541004)

0 引言

早在20世纪50年代，我国著名数学家华罗庚(1910～1985)就对数学的广泛应用性作出了如下精辟的论述：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学”[1]。而如今，数学的应用几乎已经扩展到社会的所有领域，许多文科如教育学、社会学、历史学、语言学等领域的研究都在不同程度上依赖于数学。另一方面，下面的观点已成为一种共识，即：数学不仅仅是一种精确的语言和工具，还是一种富有生命力的先进文化，数学文化素养已经成为未来社会公民的重要素养之一。正因为如此，目前许多大学的文科专业都开设了高等数学课程。

然而，当前文科高等数学教学也存在许多问题，特别是教材内容往往是理工科内容的“简”与“减”，甚至许多例题与工科等教材中的例题都基本相同[2]。这种内容的设置，使得文科高等数学的教学往往还是聚焦于抽象理论的传授，这对于数学基础较弱的文科生来说具有非常大的挑战性。总体而言，文科学生学习高等数学的自信心不足以及兴趣较弱的情况十分普遍[3]。学生具有这种学习情况，文科高等数学任课教师就容易形成学生能够考试过关即可的心态，因而在教学中也往往倾向于采取重数学结论轻文化背景、重套用公式轻数学思想的机械教学方式。面对这些问题，越来越多的学者意识到数学文化的重要性。

关于数学文化与数学教学之间的关系，许多学者呼吁将数学文化有机地融入到数学教学中[4]。本文即对数学文化融入文科高等数学教学的意义以及具体方式进行探讨。

1 数学文化的内涵

尽管教育界对于数学文化的关注已经有了十几年的时间，但是关于什么是数学文化并未有统一的看法。根据南开大学数学文化课程开设十年来的探索与实践，顾沛教授认为，数学文化可以从广义以及狭义的角度来理解[5]。本文所提到的数学文化属于顾沛所提出的广义的数学文化，即：数学的思想、精神、方法以及它们的形成和发展，同时还包括数学史、数学与人文的交叉、数学与各种文化的关系，等等。

2 数学文化融入文科高等数学教学的意义

文科高等数学设置的目的本质在于发挥数学的教育价值，提高文科生的数学素养。那么，高等数学的教育价值主要体现在哪些方面呢？教育部高等学校数学与统计学教学指导委员会在《数学学科专业发展战略研究报告》中曾指出，对于大学生而言数学教育的主要作用既包括掌握必要的数学工具，用来处理和解决本学科中普遍存在的数量化问题与逻辑推理问题，也包括培养“数学方式的理性思维”，如抽象思维、逻辑思维以及使人终生受益的数学素质等[6]。从目前的文科高等数学教学情况来看，教师往往注重数学结论的传授，即充分体现出数学的工具性，相应的在数学思想方法的渗透、理性精神的培养方面，则还比较欠缺，而这正是在文科高等数学教学中融入数学文化意义所在。

2.1 渗透数学思想方法

什么是教育？有学者认为，把学校学到的知识忘掉，剩下的那一部分才是教育。这种观点对于高等数学学习来说也是适用的。许多学生在离开学校、走进社会以后，尽管可能使用到的数学知识比较少，但数学对他们思维的培养却会使之终生受益。那么，所谓忘掉知识剩下的那一部分是什么呢？实质上就是数学的精神、思想与方法对于思维的影响。

日本著名数学教育家米山国藏曾以“哥尼斯堡七桥问题”为例，明确指出：在数学中使用、培养并得到锤炼的精神活动，也是一种人类的精神活动，会渗透到数学以外的事物中去[7]。事实上，在高等数学中有许多深刻的数学思想方法，比如微积分处理无穷问题时所用到的极限方法、处理不规则图形面积和体积时所用到的以直代曲的思想，都是人类思想文明中的瑰宝。关于微积分思想方法的重要性，我国著名数学家林群院士甚至认为，如果文学家能够理解微积分的无限思想，那么他的作品就能够更开阔，因为“微积分是将有限的哲学变成无限的哲学，这是哲学上的突飞猛进”8]。

2.2 培养理性精神

什么是理性？古希腊哲学家柏拉图(Plato，约公元前427～约公元前347)认为理性就是“在不为生活劳碌、不追求利润的闲暇中，自由地进行理论思维”[9]。因此，理性精神可以理解为在自我意识控制下，以符合逻辑的推理为手段、以探求世界规律为目的的一种探索精神。

几千年来人类不断地进行探索，目的在于认识宇宙以及认识人类自己，而在这个过程中数学的理性精神起到了重要作用。正如有学者指出的那样，几乎没有哪个学科像数学那样，“每个论点都必须有根据，都必须持之有理。除了逻辑的要求和实践的检验以外，无论是几千年的习俗、宗教的权威、皇帝的敕令、流行的风尚统统是没有用的”[10]。正因为如此，许多教育工作者都赞同将数学理性精神的培养作为数学的重要教育价值之一。

3 数学文化融入文科高等数学教学的方式

近几十年来，许多学者提倡视数学为一种文化。总体而言，作为文化的数学主要有以下几个方面的特点[10，11]：1)使用抽象的方法，追求一种高度精确以及确定可靠的知识；2)不断追求最大限度的一般性模式，这是一种化繁为简、以求统一的过程；3)不仅研究宇宙的规律，而且也研究它自己；4)作为一种创造性活动，还具有艺术的特征，即对美的追求。应该来说，高等数学充分体现了上述几个特点。然而在文科高等数学教学中，如果仅仅是按照从理论到理论的方式来进行高等数学内容传授的话，数学的这些特点是很难凸显出来的；这就需要在教学中融入相应的数学文化。那么，如何将数学文化融入到文科高等数学教学中呢？我们认为，可以采取以下几种方式。

3.1 追溯数学概念之源

数学概念是数学理论的基石。相对于初等数学，高等数学中的数学概念往往更加抽象，并且较多涉及变量的(比如极限、导数、微分、无穷小等等)，因而文科学生接触起来会感觉十分突兀，无法了解到这些概念的意义所在。此外，文科高等数学教材中的许多数学概念往往是按照适合数学研究人员阅读的方式来呈现的，因此在教学中需要对这些概念的起源进行探寻。事实上，数学概念的产生往往与重要的数学思想和方法紧密联系的，对这些概念起源进行分析的过程，本质上也是渗透这些数学思想方法的过程。

3.2 欣赏数学方法之魅

如前所述，数学的特点之一就是使用了抽象化方法。尽管抽象方法不是数学所特有的，但与其他学科相比数学的抽象确实最典型的：数学的抽象是舍弃了事物的其他方面而只是保留了某种关系或者结构。事实上，在遥远的古代人类就已经从自然界抽象出了数与形等原始概念，并经过漫长的探索到如今已达到了远远超过其他知识领域的程度[11]。应该来说，正是数学的这种独特的抽象性才使得它具有极其广泛的应用性。除了抽象化方法，数学中还有一些具体的认识世界的方法，比如深刻影响人类社会的公理化方法、在实际生活中具有广泛应用的最优化方法，等等。

那么，如何在教学中通过数学文化的融入来引导学生欣赏数学方法的巨大魅力呢？我们认为，可以在教学中结合相关内容介绍数学在人类认识世界过程中的重大作用。比如微积分教学中，一般主要涉及它在处理切线问题、不规则图形的面积问题以及旋转体的体积问题中的应用，这些内容当然是需要的，但除此之外微积分方法还有更为重要的意义。著名数学家冯·诺依曼(John von Neumann，1903～1957)认为，作为近代数学中最早的成就，微积分的重要性无论做怎样的估计都不会过分[12]。事实上，微积分可以说是数学中自欧几里得《几何原本》以后最重要的创造[13]，它的成果之一就是促成了牛顿的巨著《自然哲学之数学原理》。该著作首次提出了万有引力定律，并把地面上物体运动以及天体运动的规律统一起来，对物理学和天文学的发展具有深远影响。再如，被誉为“数学王子”的德国著名数学家高斯(Carl Friedrich Gauss，1777～1855)曾在天文学中也有很高的成就，其实得益于他对数学方法的有效使用。1801年1月1日，意大利天文学家皮亚齐(Giuseppe Piazzi，1746～1826)发现了谷神星，但在跟踪这个小行星时由于受到太阳的干扰看不见它了。很多著名天文学家发表文章预测谷神星的轨道，高斯也发表了一个预测，但他的预测和其他人有相当大的差异。后来证明，高斯的预测是最准确的，而他成功的关键就在于使用了数学中的最小二乘法。

3.3 品味数学大师风采

在很多人眼中，数学是十分枯燥、毫无美感的，而数学家则一般是极为聪明的，他们从事数学研究主要靠天分，但事实并非如此。即便是天分过人的数学家，也需要下苦功夫、在数学领域里辛勤地耕耘。一般而言，文科学生学习数学的自信心往往比较欠缺，所接触的数学内容也比较有限，因此，如果能够在教学中介绍著名数学家对于数学的执着追求以及相关成就，对于开阔文科学生的数学视野、树立合理的数学观是很有帮助的。比如微积分教学中可以介绍大数学家欧拉(Leonhard Euler，1707～1783)以及魏尔斯特拉斯(Karl Weierstrass，1815～1897)的故事。

欧拉是数学历史上最多产的数学家之一，有“分析学的化身”之美誉；欧拉的微积分著作不仅使用了许多延续至今的数学符号(比如函数f(x)、自然对数的底e、虚数单位i等等)，还在很长时间内被当作分析课本的典范而广泛使用。更令人敬佩的是，尽管欧拉在28岁左眼失明、56岁双目失明，他还是凭着坚强的毅力和惊人的心算能力以及记忆能力进行数学研究和写作，一直到“停止了呼吸，也停止了计算”[14]。正因为欧拉对于数学研究极为投入(他常常抱着孩子在膝上完成论文，也不顾孩子在旁边喧哗)，他的数学研究成果十分丰富，也留下了许多由欧拉命名的公式或者定理；其中，这一公式被许多人(包括一些著名数学家)认为是“最美的数学公式”，因为它把数学中五个最基本的常量完美地统一到一个式子中，展现出了数学理论惊人的和谐与美感。

通常数学研究被认为是年轻人的游戏，数学中的最高奖菲尔兹奖往往仅授予40岁以下的学者。然后，历史上仍有一些数学家“大器晚成”，德国数学家魏尔斯特拉斯便是其中的一位。一般而言，30岁到40岁之间是数学家的黄金岁月，但魏尔斯特拉斯却是在两处偏僻的地方中学度过的，但他以惊人的毅力坚持利用晚上的时间来研究阿贝尔等数学名家的著作，并撰写了许多数学论文。后来，41岁的魏尔斯特拉斯到柏林工业大学任教，并创造性地提出了一套ε-δ语言(这套语言一直延续至今)，用它重新定义了极限、连续、导数等基本概念，为分析学的严密化作出了巨大贡献，被后人誉为“现代分析之父”[11]。

4 结语

数学的世界丰富又精彩，但一般教科书却呈现得十分有限，这就需要教师在教学中将数学文化有效地融入到教学中去，提高文科生的学习兴趣，开阔他们的数学视野，提升他们的数学素养，真正发挥数学应有的教育价值。本文提出了数学文化融入文科高等数学教学的三种方式：追溯数学概念之源、欣赏数学方法之魅以及品味数学大师风采。事实上，数学文化的传播还可以采取其他多种方式，这都有待于进一步的实践与探索。