刻画动点的等量关系是动点之灵

李运桂

魏尔斯特拉斯说：“一个没有几分诗人才能的数学家决不会成为一个完全的数学家.”如果说动点是喧嚣的闹市，那么刻画它的等量关系就是大隐隐于市的隐者，需要你慧眼寻觅;如果说动点是暴走的台风，那么刻画它的等量关系就是台风中心，需要你风雨兼程的坚守;如果说动点是惊雷暴雨，那么刻画它的等量关系就是雨后彩虹，带给你惊魂后的欣喜.刻画动点的等量关系是动点之灵.下面是笔者在研习2019年无锡市中考17题的收获.

一、试题呈现

图1

（2019年无锡市第17题）如图1所示，在△ABC中，AC∶BC∶AB=5∶12∶13，⊙O在△ABC内自由移动.若⊙O的半径为1，且圆心O在△ABC内所能到达的区域的面积为103，则△ABC的周长为.

二、试题分析

根据△ABC的三边之比可知△ABC是直角三角形，圆心O在△ABC内所能到达的区域是与△ABC相似的三角形.该三角形的本质特征是它的内切圆的半径比△ABC的内切圆的半径小1.

三、解题过程

图2

解：根据题意，如图2所示.圆心O在△ABC内所能到达的区域是△A′B′C′，显然△ABC∽△A′B′C′，则A′C′∶B′C′∶A′B′=AC∶BC∶AB=5∶12∶13.

令△ABC的内切圆的半径为R，△A′B′C′的内切圆的半径为r.

则：R-r=1，

设AC5=BC12=AB13=x，A′C′5=B′C′12=A′B′13=y，

则AC=5x，BC=12x，AB=13x;A′C′=5y，B′C′=12y，A′B′=13y.

因为52+122=132，

所以△ABC是直角三角形.

由直角三角形内切圆半径公式可得：

R=12AC·BC12（AC+BC+AB）=5x×12x5x+12x+13x=2x.

同理可得：r=2y.

由题意得S△A′B′C′=12A′C′·B′C′=12×5y×12y=30y=103.

解得：y=13.

所以r=2y=23，R=2x=1+r=53，

即x=56，AC+BC+AB=30x=30×56=25.

四、解题反思

与2019年无锡市第17题相似的考题频频出现在中考试卷上.

图3

（2019年苏州市第18题）如图3所示，一块含有45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为8 cm，三角形外边框线和与其平行的内框線之间的距离均为2 cm，则图中阴影部分的面积为 cm2（结果保留根号）.

图4

（2017年盐城市第24题）如图4所示，△ABC是一块直角三角板，且∠C=90°，∠A=30°.现将圆心为点O的圆形纸片放置在三角板内部.

（1）如图4①，当圆形纸片与两直角边AC、BC都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO（不写作法与证明，保留作图痕迹）.

（2）如图4②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若BC=9，圆形纸片的半径为2，求圆心O运动的路径长.