LMD与优化OMP算法的滚动轴承故障诊断方法研究

魏永合，聂 晨，李宏林

(沈阳理工大学，机械工程学院，沈阳 110159)

随着科技能力飞速发展以及社会需求的提高，机器化设备的精密程度、智能程度以及复杂程度也越来越高。在众多企业设备中，旋转机械占有很高的比重，滚动轴承是绝大部分实现旋转机械功能的关键部件。因此对其进行故障诊断有着重要意义。

局部均值分解算法(LMD)是一种新的时频分析方法，近些年来，人们把LMD和稀疏表示方法用于机械故障诊断之中。稀疏表示能把大部分或全部的原始信号用较少的基本信号的线性组合来表示，能对数据进行更为高效的处理，为早期的滚动轴承特征提取提供了一种新的思想[1]。孙伟等[2]将小波包与LMD相结合，成功提取了滚动轴承故障特征。程军圣等[3]用基于LMD的谱峭度法分析齿轮故障信号并提取特征。王聪等[4]将OMP用于齿轮箱振动信号处理且取得了良好的效果。孙春雨等[5]利用OMP和非参数波形估计提取滚动轴承故障信号特征并有效的诊断出故障类型。张新鹏等[6]将稀疏表示理论引入到轴承故障诊断中，通过比较设置阈值和稀疏表示的误差值去判断轴承的故障状态。严保康等[7]提出了相干累积量分段正交匹配追踪算法[d1]，根据故障信号字典内外相干累积量选择位移和频率因子，进而使其选择原子库效率更高。

上述稀疏表示方法仍有在构建字典时易受噪声干扰混入虚假原子、稀疏编码部分不易区分相似原子以及迭代终止条件难以确定的问题，本文针对此问题提出一种LMD与优化OMP算法相结合的方法，采用LMD对滚动轴承故障信号进行处理，降低噪声对样本信号的干扰，构建出较为纯净的字典，并在OMP中引入Jaccard系数以及峭度最大准则，更为精准的进行稀疏系数求解。

1 稀疏表示原理

稀疏表示是指输入信号在过完备字典的矩阵上实现用最稀疏的字典原子线性表示，进而更容易地获取信号中所蕴含信息。稀疏表示大致分为两个阶段：冗余字典的构建及求解稀疏系数。

1.1 冗余字典的构建

构造过完备字典有两种方式，一种是预先设置波形函数作为固定字典，如DCT字典、Gabor字典；另一种是通过字典学习训练数据，根据信号自适应得出最合适的字典，如K-SVD算法[8]。相比于固定基字典，K-SVD算法不受限于某类数据，与原信号有着更精确的匹配精度，因此本文采用K-SVD算法构建字典，目标函数可表示为

(1)

式中：X为原始信号；ε为稀疏度；D、α为两个优化变量，为解决优化问题，一般固定其中一个优化变量，优化另一个变量，交替进行。K-SVD算法具体步骤如下。

(1)初始化字典D，D可用随机数生成或用原始信号数据组成，并用L2范数标准化字典的每一列。

(2)固定字典D，用稀疏系数求解算法求解αi，即

(2)

(3)更新字典，固定稀疏系数αi，更新每一列字典D，即

(3)

(4)重复(2)、(3)步到满足迭代条件为止。

1.2 稀疏系数求解

稀疏求解问题即对字典学习目标函数进行求解，使得系数向量中非零值个数最少，是一个零范数优化问题。因此目前，一般选用贪婪优化算法中的OMP求解稀疏系数，其步骤如下。

输入被测信号X，字典矩阵D

(1)初始化处理，令残差R0=X，D0=φ，索引集合Λ=φ。

(3)更新索引集Λr=Λr-1∪λr，标记并找到字典D中的重建原子合集Dr=[Dr-1，Xλr]。

(5)更新残差，即Rr=x-Drα，r=r+1。

(6)判断是否满足条件r>k，如果满足，则停止迭代；否则返回步骤(1)。

2 局部均值分解原理

LMD是由Jonathan S.Smith提出的能够有效分析非平稳信号的方法，能够自适应的分析非平稳、多分量的调制信号，并将信号分解为多个具有物理意义的瞬时频率PF分量，从而看到信号能量在空间各尺度上分布情况[9]。LMD具体步骤如下。

(1)计算信号x(t)相邻极值点均值m，对全部均值m线性直线延拓；对得到的局部均值线段进行滑移分析处理，得到局部均值函数m11(t)。

(2)求局部包络函数，并进行线性直线延拓；同样对局部幅值线段进行滑移分析处理，得到信号包络估计函数a11(t)。

(3)使局部均值函数m11(t)从信号单独分离，得到h11(t)，然后进行解调处理，并和包络估计函数作乘积运算，理想状态下s11(t)为纯调频信号。

(4)

(4)将纯调频信号和包络信号的数据作乘积运算，得到PF分量。在原始信号提取乘积函数，得到更新的信号u1(t)，重复迭代，直至un(t)体现单调函数特性。

(5)

信号x(t)被分解处理成n个PF分量和一个余量un(t)，即

(6)

3 LMD与优化OMP轴承故障特征提取模型

本文在研究K-SVD与OMP算法的基础上提出了一种LMD与优化OMP轴承故障特征提取模型。针对传统稀疏表示方法构建冗余字典时，字典原子易受噪声干扰混入虚假原子，以及OMP不易区分相似原子、迭代终止条件难以确定，导致稀疏表示效果较差的问题；本文先采用LMD对振动信号进行预处理，剔除受噪声干扰而产生的虚假原子，使构建出的冗余字典更加精确；再用优化OMP算法对振动信号稀疏系数求解，重构得到稀疏信号并进行包络谱分析，完成故障特征提取。

3.1 OMP优化算法

传统OMP算法需要对振动信号与字典原子进行相似性匹配，以选择最合适的原子重构信号，其判断相似度的是内积准则，通过残差与字典中每个原子作内积，比较并选取内积值最大所对应的原子。当两向量方向一致，其夹角越小，表明向量越相近。所以在字典原子为单位向量时，本质就是利用余弦定理搜索与信号向量夹角最小的原子向量。夹角余弦定义式为

(7)

为进一步提高OMP算法的性能，更好地选择与残差信号最相关的字典原子，用Jaccard系数准则替换OMP算法中得内积准则[10-11]。Jaccard系数定义式为

(8)

Jaccard系数使用了算术平均值，相比于夹角余弦的几何平均值，能够放大向量中的每个元素效果，不易混淆，充分反映相似度，更加方便地突出向量中的核心，改善了信号的重构效果。因此在OMP第二步用Jaccard系数准则替换内积准则。

此外，OMP算法需要设置阈值作为终止迭代条件来控制选取字典的原子个数，但阈值太小信号会缺失有用的特征，阈值太大信号会混入多余的噪声成分，实际应用中阈值难以设置精确。当轴承发生故障时，冲击成分有一定的规律性，瞬态冲击成分幅值越大噪声越弱，峭度值越大，因此把峭度值最大原则作为OMP算法终止迭代条件能更大程度保留冲击成分，减少噪声干扰[12]。进行稀疏系数求解时，分别计算每次迭代信号的峭度值，当信号的峭度值达到最大时停止迭代。

3.2 LMD与优化OMP模型建立

LMD与优化OMP的故障特征提取模型流程如图1所示。

图1 LMD与优化OMP故障特征提取模型流程图

LMD与优化OMP故障特征提取模型诊断步骤如下。

(1)使用LMD对部分故障振动信号进行分解。根据皮尔逊相关系数准则选取相关系数最大的PF分量作为样本信号，按一定重叠步长对样本信号进行矩阵化，得到样本矩阵。

(2)以随机数初始化字典，使字典中每一列原子尽可能包含故障频率特征，用K-SVD算法对样本矩阵进行字典学习，得到字典D。

(3)采用优化后的OMP算法进行稀疏系数求解，解得稀疏系数矩阵α，并与字典D相乘得到重构信号矩阵。

(4)将重构信号矩阵按一定步长重叠恢复为一维重构信号，重叠部分取均值。对重构信号包络谱分析，完成对轴承故障频率的特征提取。

4 仿真分析

为证明本文所提方法的有效性，在冲击信号中添加高斯白噪声，模拟轴承故障信号并对其分析。每个周期内的冲击函数为sin(4000πt)exp(-80πt)，仿真信号的故障特征频率为80Hz，采样频率6400Hz，采样点数为2048。

图2为仿真信号的冲击加噪声的时域图。

图2 仿真信号波形

由图2可知，冲击成分基本被噪声覆盖，在用本文方法对其进行稀疏表示时，首先对仿真信号进行LMD分解，得到PF分量，按照皮尔逊相关系数法分别计算各个分量的相关系数，如表1所示。

表1 PF分量及相关系数

用相关系数最大的PF分量去训练字典。在训练字典阶段，将分解出的最优PF分量按步长为1重叠分割作为信号样本矩阵；初始化字典，设字典大小为80×160，用K-SVD算法进行字典学习，训练终止误差值为10-6。在稀疏编码阶段，将仿真信号按步长1重叠分割成信号矩阵，利用优化后的OMP算法对其稀疏系数求解，进而得到重构信号。使用本文方法重构信号如图3所示。

图3 本文方法重构信号时域图

信噪比越大说明重构信号含有噪声成分越少，重构的信号越纯净。因此本文采用信噪比衡量重构信号的指标。

(9)

式中：s0、s分别为纯净信号及重构信号；SNR为计算出的信噪比的值。经计算以本文方法重构的信号信噪比为7.1657。

为判断本文方法的优越性，采用传统稀疏表示算法对仿真信号进行处理。传统稀疏表示稀疏编码阶段，分别计算不同稀疏度K下重构信号信噪比，如图4所示。由图4可以看到，稀疏度为1时，重构信号信噪比最大为5.5892。使用传统稀疏表示重构的信号时域图如图5所示。比较图3、图5可知，使用本文方法重构信号信噪比高于传统稀疏表示，表明使用本文方法处理后的效果更好。

图4 不同稀疏度重构效果

图5 传统稀疏表示重构的信号时域图

5 实验验证

为进一步验证本文方法提取轴承故障特征的可行性，使用美国凯斯西储大学实验室的轴承实验模拟装置采集的数据进行验证，轴承实验模拟装置如图6所示。

图6 轴承实验模拟装置

设备包括电动机、功率测试计、编码器/扭矩传感器、以及电子控制器等。实验轴承型号是SKF6205-2RS型深沟球轴承，实验前分别使用电火花在轴承内外圈人为布置损伤故障点，并用加速度传感器采集轴承的振动信号。电机带动输入轴转速设定为1750r/min，实验采样频率为12000Hz。根据轴承参数及故障频率计算公式，解得轴承外圈理论故障频率107.305Hz，内圈理论故障频率为157.943Hz。分别采用传统稀疏表示方法和本文方法对同一段外圈、内圈故障数据进行处理，来判断优化效果。

使用本文方法时，首先分别取部分内圈外圈故障信号进行LMD分解，选取相关系数最大的PF分量作为内圈、外圈故障的训练样本，如表2、表3所示。

表2 外圈PF分量及相关系数

表3 内圈PF分量及相关系数

训练字典阶段，训练样本按步长为1重叠分割成信号的样本矩阵；初始化字典，训练终止误差值为10-6。训练后分别得到160×320的外圈故障和内圈故障过完备字典。稀疏编码阶段，外圈、内圈故障信号按步长为1重叠，得到各自的信号矩阵，利用优化后的OMP算法对其进行稀疏系数求解，得到重构信号，并进行包络谱分析。

图7为外圈故障重构信号；图8为内圈故障重构信号。

图7 外圈故障重构信号

图8 内圈故障重构信号

由图7、图8可知，使用本文方法提取的轴承外圈、内圈故障特征相对于传统稀疏表示更加明显，剔除了多余噪声干扰。

图9为滚动轴承外圈故障包络谱；图10为滚动轴承内圈故障包络谱。

图9 本文方法外圈故障包络谱

图10 本文方法内圈故障包络谱

通过图9、图10可知，外圈、内圈故障特征频率107.8Hz和157.6Hz近似等同于其理论故障频率。尤其从图10中更易分辨出内圈故障特征频率及其高倍频率，说明本文方法比传统稀疏表示特征提取效果有改善。

6 结论

根据稀疏表示理论提出一种基于LMD与优化OMP的故障特征提取模型对滚动轴承振动信号进行处理，用LMD分解振动信号选取最优PF分量作为样本信号构建字典，并在OMP算法中引入Jaccard系数和峭度准则进行稀疏系数求解。结果表明，本文方法相比于传统稀疏表示特征提取效果有了改善。证明该方法能够有效的对滚动轴承故障进行特征提取，在相似的工程实践中具有一定参考价值。