寻心

李银英

摘 要：本文主要通过剖析近几年的一些与外接球有关的高考试题以及模拟考试题，去探索寻求外接球球心的巧妙方法，如构建正方体模型、长方体模型、通过三角形的外心寻找球心等等技巧。

关键词：正方体模型：长方体模型;外心;球心

2017年版的《普通高中数学课程标准》对立体几何的学习提出了以下要求：了解一些简单几何体（球、棱柱、棱锥、棱台）的表面积与体积的计算方法，运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索空间图形的性质，建立空间概念;借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线和平面的位置关系。

空间几何体的考查特别是外接球的问题一直以来都是高考的热点和难点，在高考有限的时间内，碰到一道稍微拐点小弯或者计算稍微复杂一点的外接球问题，很是让考生狂躁不安，容易陷入思维空白状态。在多次模拟考评卷阅卷中，发现不少考生一碰到外接球问题，几乎都是直接放弃，或者随便懵一个答案，导致丢分严重。其实，对于球体的考查，一般都是考其表面积或者是体积，不管是表面积还是体积，都离不开球的半径，这也就导致了球心位置的确定成了关键。下面，主要针对几何体外接球的问题，简单介绍几种寻找球心的方法。

1 直接法

直接法一般适用于正方体或长方体的外接球问题，可以直接利用正方体模型和长方体模型。

正方体模型：若正方体的棱长为a，由对称性，易知正方体外接球的球心在正方体的正中心，即体对角线的中点，设球的半径为R，则（2R）2=3a2;

长方体模型：若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，其外接球的半径为R，则长方体的外接球直径就是长方体的体对角线长，即（2R）2=a2+b2+c2。

熟悉并善于利用这两个模型，可以轻松解决正方体或者长方体外接球相关问题。

例1：（2016年全国II）体积为8的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（      ）

解析：设正方体的棱长为a，由已知a3=8，解得a=2。设球的半径为R，由正方体模型，知，解得，所以球的表面积S=4πR2=12π。故选A。

例2：（2017年全国II）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为_____________。

解析：因为长方体的顶點都在球O的球面上，所以长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径。设球的半径为R，

则，解得;所以球O的表面积为

以上这两个高考题目都是考查了正方体或者长方体的外接球问题，难度不大，只要熟悉正方体、长方体和球的表面积、体积公式，以及前面提到的两个模型，即可轻松解题。

2 构造法

这里提到的构造法，主要是针对一些比较特殊的几何体，如正四面体、三条侧棱两两垂直的三棱柱等等，这些几何体的特征可以看成是从正方体或长方体中截取的一部分，因此解决这类型几何体的外接球问题，最简单的做法就是把他们还原回正方体或长方体中，从而快速确定球心的位置。

我们在解决几何体的外接球问题时一定要善于观察几何体的结构特征，看看是否存在一些特殊的关系，如垂直关系、相等关系等等，很多题例中几何体都是可以还原正方体或者长方体，把所求的几何体放在正方体或长方体中来研究外接球，问题就明朗多了，答案也呼之欲出。

3 利用三角形的外心去寻找外接球的球心

在考场上，能遇到特殊的几何体是所有考生都期盼的，但是在考试中，我们总会碰到一些无法直接判断外接球球心也无法拼凑正方体或长方体的一些几何体，对于这类几何体，来研究它们的外接球问题，难度相对就大一些了，但不管对于多一般的几何体，我们可以通过三角形的外心去寻找外接球的球心。

大多数三角形题中都可以借助三角形的外心来寻找外接球的球心，因为三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，所以过外心且垂直于该平面的垂线上的任一点到三角形的三个顶点都相等，找到两条这样的垂线，它们的交点即为外接球的球心;其实，该方法适用于所有的几何体，只不过对于一些特殊的几何体用起来有点小题大做罢了。

如果能熟练以上几种关于外接球相关的解题技巧，相信考生在考试有限时间内，碰到外接球问题完全可以定下心来，把复杂问题简单化，把抽象问题直观化，轻轻松松地寻找球心，快快乐乐地完成答卷。

参考文献

[1]教育部.普通高中数学课程标准[M].人民教育出版社，2003.

[2]《一本高考题》，数学，天津人民出版社，2019版