浅析如何将数学建模思想有效融入线性代数课程教学

吴亚平 冯丽珠

本文从线性代数课程的特点及提高学生的数学素质、加强数学综合应用能力的培养等层面对数学建模思想融入线性代数教学进行分析，探讨了在实际教学中如何有效地融入建模思想。

《线性代数》课程是各高校广泛开展的一门公共基础课程，与《高等数学》、《概率论与数理统计》一起构成非数学专业的三大数学类课程，在理、工、农、医、经济、管理等学科门类各专业都要开设，在研究生入学考试《数学一》、《数学二》、《数学三》中占比都是22%。自2005年李大潜院士提出“将数学建模思想融入数学主干课”以来，数学建模进入线性代数课堂成为线性代数教学改革的热点。

1 线性代数课程特点及教学现状

线性代数课程的特点是比较系统，前后知识联系得非常紧密，概念性强、课程内容抽象，还有大量公式定理的证明，计算也比较复杂。由于学生的学习基础不一致、基础薄弱，学习兴趣与积极性不高，再加上线性代数课程本身的特点，导致线性代数课程整体的学习效果较差。具体表现如下：

（1）由于《线性代数》理论的抽象性和计算的复杂性，传统的教学方法偏重于理论教学、偏重老师的讲授，忽略学生的主体地位。枯燥的教学模式容易使学生产生视觉疲劳，很难诱导学生独立思考。课堂上，学生如果不能进入其意境，教师往往感觉在唱“独角戏”，久而久之，教师也容易产生教学的“滞性”，对原本应该生动的课堂失去了激情，直接影响部分优秀学生对《线性代数》课程原理、思想和章节内在联系的理解，最终导致大部分学生只是为了应付考试而学习这门课程。

（2）课时太少，大部分学校理科《线性代数》是40-48学时，文科是24-32学时。由于时间的限制，无法对线性代数知识深层次的挖掘及讲解，只能停留在浅层次的教学。很多定理、性质无法证明，学生感觉《线性代数》就是强制灌输性质和定理，不知道内在联系，极大地挫败了学生学习《线性代数》的积极性，这对于培养学生的抽象思维能力及逻辑思维能力是非常不利的。

（3）由于教学资源紧张，线性代数基本上都是大班授课，一般一个班的人数会在120左右。一个教师在讲台上给一百多个学生授课。一方面学生的基础参差不齐，对于教学内容和教学进度的安排，教师只能从照顾大部分学生角度出发，这样对于优秀学生及差生自然是不利的;另一方面，由于课堂人数过多，老师跟学生没办法有效沟通，及时了解学生当堂的学习效果，从而无法准确了解学生的学习情况。自然没办法做到因材施教。

（4）高校扩招后学生的数学基础参差不齐，部分学生学习兴趣与积极性不高。再加上线性代数课程比较系统，前后知识联系得非常紧密，概念性强、课程内容抽象，还有大量公式定理的证明，计算也比较复杂。这就导致线性代数课程整体的学习效果较差。当我们的“精英教育”向“大众化教育”转化的过程中，教师往往被动地降低教学要求，放宽学生过关的难度，有的学校甚至通过控制考试及格率来保证学生的毕业率和授位率，直接导致学生的学习质量无法保证，同时挫败了部分教师的教学积极性。

（5）学生没有养成良好的学习习惯。上课全靠老师点名约束，对于课后作业直接网上搜答案或是抄袭同学的;课上与教师在两个世界，玩手机、看视频、玩抖音等;平时学习囫囵吞枣，考试依仗划重点、作弊。

2 数学建模思想融入到线性代数教学的重要性

目前大部分高校对该课程的要求是：掌握低阶行列式的计算、矩阵四则运算及有效求解逆矩阵、线性方程组的求解、向量组的秩、二次型的标准化等基本理论。显然，仅仅讲授这些，对于提高学生数学素养、增强数学计算能力与抽象与逻辑思维能力是远远不够的。更别说让学生用所学的线性代数知识去解决其专业领域的复杂工程问题。因此，这门课程的教学内容改革、教学方法和手段改革以及考核方式的改革成为了教师在线性代数课程教学中探索和实践的焦点。

《线性代数》与《数学建模》课程不仅在教学目的、教学任务和教学内容有一定的差别，而且《线性代数》还缺乏《数学建模》课程的灵活性，尤其是缺乏创新意识的培养。因此，我们借用《数学建模》课程的教学思想，在《线性代数》课堂上，一方面有系统地讲解定义、定理和性质，另一方面，坚持培养学生自主学习的意识和能力，引导学生进行问题驱动模式的学习，从而提高学生的学习能力和创新能力。

3 数学建模思想融入到线性代数教学的途径

数学建模是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题。数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领域广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径。数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到数学界和工程界的普遍重视，它已成为现代科技工作者必备的重要能力之一。下面介绍一下我们是如何将数学建模融入到线性代数的教学中。

3.1 讲述概念时，引入数学建模思想

线性代数中一些抽象的概念和定义都来源于实际问题，在讲解这些概念时引入实例，一方面能吸引学生的注意力，另一方面加深学生对概念的理解。例如在讲解矩阵的定义引入相应城市交通模型或工厂投入产出模型，这样让学生了解矩阵就是一个数表，在现实中很多问题都可以通过矩阵来表示。

3.2 讲解例题时，引入数学建模思想

选择一些与例题相关、有趣的现实问题，引导学生进行分析，通过合理的假设，建立简单的数学模型并解答。讲解矩阵乘法时引入学生期末成绩的计算。比如计算总评成绩的公式是：

总评成绩 = 平时成绩×30% +期中测验×20% +期末考试×50%。

矩阵A第一列由学生平时成绩构成，第二列由学生其中测验构成，第三列由学生期末考试成绩构成，矩阵B只有一列（0.3，0.2，0.5）T， AB的成绩得到就是学生最后的总评成绩。让学生发現两个矩阵做乘法必须满足什么条件。

3.3 在课后作业中引入数学建模

课后作业能有效巩固课堂所学的知识，提高学生解决实际问题的能力。根据学生不同专业及基础，布置适合学生的课后作业。

数学建模以学生为主，教师利用一些事先设计好问题启发，引导学生主动查阅文献资料和学习新知识，鼓励学生积极开展讨论和辩论，培养学生主动探索，努力进取的学风，培养学生从事科研工作的初步能力，培养学生团结协作的精神、形成一个生动活泼的环境和气氛。

4 结束语

《线性代数》定义、定理及性质非常多，而且抽象，如果我们一一罗列并证明，学生会感到非常吃力及枯燥。我们采用问题驱动的教学模式进行《线性代数》的教学，主要体现在引导学生思考、引导学生提问和引导学生下结论方面。引导学生提问体现了学生学习《线性代数》的主动性，如果学生能主动学习《线性代数》知识，就有了学好《线性代数》知识的基本保障。利用学生的好奇心，引导学生进一步提出自己的问题，剥去抽象概念的层层外衣，露出概念的本质性内容，让学生最终认识知识的内涵本质、联系和规律。总之，一堂出色的《线性代数》课应该具有一套行之有效的问题驱动教学方法，主讲老师绘声绘色地引导和讲解，能让学生对《线性代数》的学习兴趣油然而生，并产生浓厚的兴趣和强烈的求知愿望。

笔者认为线性代数教学过程的重点是创造一个环境去诱导学生的学习欲望、培养他们的自学能力，增强他们的数学素质和创新能力，提高他们的数学素质。我们应该关注学生解决问题的过程，看重学生获取新知识的能力，而不仅仅是知识与结果。

项目资助：武汉市教育局重点教研项目（2014017）

（作者单位：江汉大学数学与计算机科学学院）