分数阶q-差分方程多点边值问题解的存在性与唯一性

闫雅雯, 侯成敏

(延边大学理学院, 吉林 延吉 133002)

边值问题是微分方程理论中的重要分支, 它具有深刻的物理背景和广泛的理论应用[1-3], 近年来许多学者对整数阶、分数阶微分方程边值问题进行深入研究, 取得了丰硕的成果[4-6], 但具有q-积分边值条件的分数阶q-差分方程多点问题的研究却很少见．Graef等[7]利用Banach压缩映像原理和Schauder不动点定理, 得到含有分数阶导数的高阶多点含参数q-差分边值问题

正解的存在性和唯一性, 其中Dq是Riemann-Liouville型分数阶q-导数,f:[0,1]×R→[0,∞)是连续函数,q∈(0,1),m≥1,n≥2是整数,n-1

解的存在性, 其中f:[0,1]×R→R是连续函数;n-1<α≤n, 整数n≥3;βi,γi>0, 0<η1<η2<…<ηm-2<1, 1≤i≤m-2, 整数m≥3．受上述研究的启发, 本文考虑如下分数阶q-差分方程的边值问题:

(1)

1 预备知识

定义1κ是Banach空间, Α:κ→κ是映射． 若存在连续非减函数ψ:R+→R+, 使|f(t,x)|≤p(t)ψ(‖x‖),ψ(0)=0,ψ(α)<α, 且对任意α>0, ‖Αx-Αy‖≤ψ(‖x-y‖), ∀x,y∈κ, 则A被称为压缩算子．

引理2设h:[0,1]→R是连续函数, 则分数阶q-差分方程

(2)

等价于积分方程

(3)

(4)

2 解的存在性和唯一性

Banach空间κ=C[0,1]的范数定义为‖x‖=sup{|x(t)|,t∈[0,1]}, 由引理2知

(5)

算子A的不动点x即为问题(1)的解．为计算方便, 令

定理1设连续函数f:[0,1]×R→R满足Lipschitz条件: ∀x,y∈κ,t∈[0,1], 有|f(t,x)-f(t,y)|≤L|x-y|, 其中L是Lipschitz常数． 若LΘ<1, 则边值问题(1)存在唯一解．

2) 存在x∈∂U和λ∈(0,1)使得x=λAx．

引理4[10]令κ是Banach空间, Α:κ→κ是非线性压缩算子, 则A在κ中有唯一的不动点．

3 算例

例1考虑如下分数阶q-差分边值问题

例2对于边值问题

例3对于边值问题

同理, 0.506 784≤Δ1≤0.552 99,Δ2=2.55,Δ3≈-0.368 31, 取函数g(t)=exp(-t2)/6, 得到φ=0.890 77．又|f(t,x)-f(t,y)|≤g(t)(ln(1+|x|)-ln(1+|y|))≤g(t)φ-1ln(1+|x-y|), 由定理3知, 此边值问题在区间[0,1]上有唯一解．