人力资源约束下的项目群调度问题建模与求解

陈俊杰，同淑荣，王 曜，聂亚菲，张静文

(1.西北工业大学 管理学院，陕西 西安 710072; 2.中山大学 管理学院，广东 广州 510275)

0 引言

在高新技术公司保持如火如荼良好发展态势的过程中，行业竞争程度进一步加剧，大量同质化、雷同化的项目相继涌现出来，公司欲实现稳健、长效发展，应在充分考虑各方面因素的基础上制定一套严谨合理且具有良好可行性的战略计划，而这即意味着公司应结合战略目标和实施计划，梳理并采取科学合理的多项目管理方法，有很多业内人士将其称作为项目群管理。在此发展格局下，高新技术公司往往需要同步开展若干个技术改造项目，不仅对管理水平提出了更高要求，也在很大程度上加大了资源调配难度。若资源结构本身不科学，或者资源配置能力比较差，那么很容易出现资源浪费或者资源不足等极端情况。学者Suvi Elonen在研究过程中，以项目群管理为切入点，通过各种合理方法对现有问题展开了深入细致地研究，不仅明确了主要影响因素，并且对其具体影响程度予以了合理确定，其中，“资源不足及调配不科学”的权重为25%，属于第二大影响因素[1]。因此，公司在运营和发展中需要考虑采取何种措施或者是手段合理配置资源，确保多个项目有条不紊地正常开展，尽量以最小的投入获得较高产能，创造可观效益。研发项目群不仅需要投入大量资金和人力，还面临着各种各样的风险，能否成功主要取决于科研工作者。所以，高新技术公司应在综合考虑各方面因素的前提下深入挖掘并合理配置攸关企业生死存亡的科研力量资源。

项目群人员优化配置问题从根本上来讲是一类典型的资源受限项目调度问题，目前，各国学者纷纷对其展开了全面深入地探讨，属于国际重点研究课题。不过在对和项目调度问题相关的研究资料进行梳理和分析后发现，大部分学者未分别针对可更新、不可更新资源进行独立分析，而是不加以区分地综合分析，另外，大多数学者在研究过程中忽略了人力资源的柔性特征。其实，人力资源限制下的项目调度问题属于柔性资源约束项目调度问题[2](FRCPSP)，由于人力资源是一种涵盖多种不同能力属性的柔性资源，所以，应将其以柔性资源约束项目调度问题的拓展进行探讨和分析；抑或是将其视为一个多技能项目调度问题[3,4](MSPSP)，即可将人力资源能力、可行时间这两个要素作为评估指标，由此对其可行性、有效性进行衡量，所有工作者都具备一项或者数项技能，所有工作都需安排一名或者若干名技术工作者共同完成，不可出现优先抢占的现象。

无论是理论界，还是在实务界，柔性资源受限项目调度等相关问题均尤为关键，所以，越来越多的学者将目光聚焦于此类问题并对其展开全面深入地探讨。其中，学者喻小光[5]在进行深入调查和细致分析后梳理了柔性资源约束的资源水平项目调度问题，在分析问题的过程中，创建了一个严谨合理、简单易懂的数学模型。王一帆等学者[6]在进行深入研究之后率先设计出了具有良好实用性的两阶段算法。学者付芳[7]在对基于人力资源限制的多项目多模式进度管理问题进行探讨和分析时，采用了当前应用比较广泛且备受业内人士青睐的列生成法，设计了一个比较完善合理的数学模型。通过免疫遗传算法等多种严谨合理且运算效率高的方法进行计算。任逸飞等学者[8]在研究过程中将总工期最短定义为目标，由于施工进度、建设周期会受到资源等相关因素的约束，所以他们通过双层决策等多种方法进行计算。关于多技能项目调度问题，Wang等学者[9]在借鉴前人研究成果的基础上通过深入细致地分析表示，可通过基于知识的多目标果蝇优化算法进行处理。邓富民等学者[10]在研究过程中表示，鉴于会受到手术台等各种不同资源的限制，创建了一个基于多目标函数、严谨合理且便于理解的模糊调度数学模型，同时就如何优化和完善非支配排序遗传算法提出了合理建议。Chen等学者[11]通过当前应用比较普遍的蚁群算法对人力资源部署和利用等相关问题展开了全面深入地研究。Zheng等学者[12]在对工期最短的资源调度问题进行研究和分析时，设计出了一种以教学为基础、科学严谨的优化算法。根据以上综述能够了解到，学者们倾向于对成本或者工期等单目标优化问题的研究，针对多目标调度优化问题展开探讨和分析的文献较少。

Naber等学者[2,13]在进行广泛深入地研究之后率先提出了柔性资源负荷概念，着重探讨了柔性资源的调配情况和工作完成周期之间所具有的关系。之前，人们对多模式资源受限项目调度问题进行调查分析时忽略了人资本身涵盖数种不同能力的柔性特征，大部分学者只分析了柔性资源分配量的多少和工作完成周期之间的关系，并未深入分析柔性资源分配计划和工作完成周期或者工作投入资金之间的关系。譬如，人们在研究过程中，只分析如果一项工作安排两个人，那么此项工作需要15天才能够完成，但若安排三个人负责，那么此项工作需要10天完成。但是大部分人没有考虑到如果安排A、B两人负责一项工作，可能需要耗时20天，若安排C、D两人负责工作，其耗时可能为30天甚至更多。特别是对于知识型工作者来讲，人力资源配置方案是否严谨合理将直接关系到工作周期和工作投入费用。

先前，大部分学者表示，研发工作者绩效水平的高低主要取决于两大因素：一是个人技能，二是工作能力，因此，很多学者在研究过程中侧重于探讨员工技能水平或者工作能力和工作完成周期之间的关系。Heimerl等学者[14]在进行研究时，鉴于员工工作效率的高低直接关系到工作周期的长短，所以在多项目协同开展的背景下，创建了一个科学合理的数学模型，同时借助性能优良、操作便捷的优化软件进行计算分析，不过需要明确一点，该模型并未对各员工完成工作量的多少进行合理估测。Chen等学者[15]全面深入地探讨了员工工作效率对工作完成周期所产生的影响，以工时定额为指标实现了对员工工作量的合理量化。吕学志等学者[16]在对项目调度问题进行广泛深入地研究之后，明确了柔性资源能力差异和工作周期间所具有的关联，基于此探寻出了以活动序列为基础的粒子群算法。文献[5,7～9,12]独辟蹊径，以技能级别来表示资源能力方面所存在的差别，并通过合理方法创建分析模型。不过随着研究深度和广度的不断提高，有学者表示，科研工作者技能水平的高低并不对其绩效产生较大影响，影响绩效的主要因素是科研工作者的胜任力[17～19]。

鉴于员工胜任力的高低不仅会对工作完成周期产生显著影响，并且也直接关系到物料投入的多少，本文选取了能够合理客观评估员工胜任力的指标，创建了一个严谨完善且简单易懂的数学优化模型。有别于传统的多模式资源受限项目调度问题，其实也是对传统MRCPSP的拓展，其问题规模和求解难度更大。根据问题特征，采用加权求和法将项目工期和项目成本双目标优化转化为综合指标单目标优化问题，并设计遗传算法求解。大量研究证实对于此类问题，无论是考虑胜任力差异的数学优化模型，抑或是当前备受业内人士推崇的遗传算法，它们均表现出较强适用性。

1 模型构建

1.1 问题界定

本文研究内容是以最小的经济投入、最短的时间高质完成数个协同开展的项目，应通过何种方法制定一套严谨合理且具有良好可行性的项目进度计划，通过何种措施合理明确同步实现多目标的人资调度问题。简单来讲，公司目前存在并行研发项目群，内部员工均被安排了相应的工作，已明确了各项目工作间的关系，已明确了各项工作的工时定额，已经明确了各项工作的人员安排数量、资金投入量。需要解决的问题是通过何种方式提出一种严谨合理且具有良好可行性的多项目工作的开展模式，如何选取合适的起始时间，由此实现以最小的经济投入、最短的时间高质完成数个协同开展的项目工作的目标。

为进一步简化问题，本文提出以下假设：(1)被分配工作的所有员工其工作起始、终止时间完全一致，不可出现工作未完成而员工就离开的现象；(2)每一项工作消耗物料的种类(不包括员工在内)保持完全统一；(3)员工在不同工作开展过程中对同种物料的消耗率保持完全一致；(4)多项目总费用仅计算工作产生的物料成本；(5)不同员工在工作完成时间、投入的费用等方面存在较大区别；(6)不同员工的工作完成质量比较统一，基本上都符合公司标准。

1.2 员工工时系数

大量研究证实，在项目群背景相对比较复杂的情况下，科研工作者工作绩效水平的高低会受到多重因素的影响，比如员工专业能力、工作效率、工作态度等。专业能力的高低并非影响绩效水平的唯一因素，唯有和动机联系在一起方可对绩效水平产生深刻影响[17～19]。所以，可通过提高员工胜任力的方式促其绩效水平进一步改善。作为一种量化型外显行为，胜任力能够在一定程度上反映员工专业水平、工作态度等，可作为区分一般绩效、优良绩效的重要参考因素[20]。

本文选取了人员工时系数这一变量，希望能够通过此指标对员工的胜任力水平进行客观合理地评估。文献[15]详细阐述了员工工时系数的具体推导过程和估算式。

1.3 问题建模

1.3.1 原问题模型

为高效解决此问题，本节在借鉴前人研究成果的基础上创建了一个科学合理、严谨完善的混合整数规划模型。符号定义如表1所示。

表1 符号定义

(1)目标函数

(3)

(4)

(2)约束条件

∀t=0,…,T,i=1,…,NR

(5)

(6)

(7)

(8)

∀aj′k′∈Pjk

(9)

yjkmt∈{0,1},

∀j=1,…,NP,k=1,…,Nj,t=0,…,T,m∈H(j,k)

(10)

根据式(1)能够了解到，活动的员工组合实际完成的工作总量至少要大于活动的额定工作量。工作完成周期通常按照向上取整的方式进行确定。根据式(2)能够了解到，员工在开展工作过程中使用的物料应小于工作限制量，通常按照向下取整的方式进行确定。根据式(3)能够了解到，核心目标是多项目总工期最小化。根据式(4)能够了解到，次要目标是多项目最经济化，以最少的经济投入快速保质地完成项目。根据式(5)能够了解到，所有员工在某时间范围内只能开展一项工作。根据式(6)能够了解到，所有活动只能选择一种模式并且仅在某一个时段开始。公式(7)规定同一时段可分配的员工数量上限。公式(8)规定分配给项目j活动k的员工数。根据式(9)能够了解到，各项工作之间存在一定的逻辑次序关系。根据式(10)能够了解到，模型的决策变量有其特定的取值范围，为0～1决策变量。

1.3.2综合指标模型

评价函数法主要指的是为高效顺利地解决多目标优化问题，结合决策人员提供的各种资料、数据等自行构建一个科学合理的实函数，由此将问题转化成便于理解和分析的单目标优化问题。简单来讲，这是一种结合人们偏好和提供的数据来解决多目标优化问题的方法。它能够根据人们提供的各项决策数据和资料高效便捷地推导出满足决策条件的优化结果。

本文采用线性加权综合法将项目工期和成本双目标优化转化为单目标优化问题，具体通过如下步骤将原问题模型转化为综合指标模型：

首先，采用专家调查法、模糊综合评价法等对指标赋权。对于软件项目而言，实际往往对项目工期的要求比对项目成本的要求更加严格，因此工期的权重应大于成本的权重。

其次，由于工期和成本均是费用性指标，因此指标值越小表示解越好，但适应度函数值越大表示个体越优。同时考虑到工期和成本的单位不统一，须进行无量纲化处理[21]。

项目总工期T的无量纲化公式为:

TS=({maxT}-T+1)/({maxT}-{minT}+1)

(11)

项目总成本C的无量纲化公式为:

CS=({maxC}-C+1)/({maxC}-{minC}+1)

(12)

式中，TS、CS分别表示项目工期、项目成本无量纲化后的指标值。

最后，综合指标模型的目标函数公式为:

maxCI=ω×TS+(1-ω)×CS

(13)

式中，ω表示工期的权重。CI为综合指标值。综合指标模型的约束条件同原模型中公式(5)～(10)，不再赘述。

2 算法设计

2.1 问题复杂性解析

本文研究的特殊的多模式资源受限项目调度问题(S-MRCPSP)，由于研究对象是考虑胜任力水平差异的人力资源，不仅会令传统MRCPSP的决策因素规模进一步增大，也会使得约束数量大幅增加，由此而造成的后果是问题模型比之前更复杂，可行解数量也会大幅增多，导致问题求解难度进一步增大。

在本研究中，工作开展时间并不固定，换言之，工作包含了“多个不同的工作模式”，所以，或许会有人将本文问题归为传统的一类。其实，S-MRCPSP与MRCPSP的主要区别在于：

其一，在MRCPSP中，各项工作开展周期内的资源分配量一般是统一且基本固定的。关于“多个不同的工作模式”是在各项目工作量、投入费用等相关要素的前提下进行合理明确。

其二，模式数量方面存在差异，从工作模式方面来讲，前者数量或许明显超过后者。MRCPSP的工作模式数量通常并不是很多，譬如，公司目前有6名员工可供调遣安排，时间取整，在MRCPSP中项目a只包含四种工作模式，即{(6天,1人),(3天,2人),(2天,3人),(1天,6人)}。但是在本文S-MRCPSP中，由于6名员工的工时系数存在一定差异，所以对项目a安排1名员工时即存在6种工作模式(即)；为项目a安排2名员工时存在15种工作模式(即)；项目a安排3名员工时存在20种工作模式(即)；为项目a安排6名员工时存在1种工作模式。基于以上分析能够了解到，在工时系数不同的情况下，工作模式数量明显增多。本文最后9个实活动的实例中，人员组合可行解集合中可行解数量已达到百亿数量级。这无疑对传统的优化调度方法产生了很大冲击。

其三，在S-MRCPSP问题中，唯有制定严谨合理的人资分配方案之后，才能够准确确定工作周期，这和MRCPSP之间存在明显差异。譬如，在项目a中，MRCPSP方法求得工期是7个时间单位，但是如果安排了胜任力突出的员工，那么工期可能减少到4个时间单位。

包括MRCPSP调度方法[22～24]等在内的多种分析方法在使用过程中难免会出现误判活动起始时间的问题，导致解码质量不尽人意。所以，对于S-MRCPSP，本文应探寻高效合理的方法进行计算。

2.2 遗传算法的设计

2.2.1 编码

本文采用双链表结构的编码方式，两条链表分别代表任务链表和执行模式链表[25]。若I表示一个双链表结构的染色体：

其中，L=(j1，j2，…，jJ)为任务链表，是满足任务紧前关系约束的全部任务的一个排列，M=(m1，m2，…，mjJ)为模式链表，表示任务链表中各任务对应的执行模式向量。

(1)任务链表L的生成

各项任务之间往往具有既定的时序优先关系，随机地组织任务或许会出现不可行解。在算法中，科学合理地明确优先关系的任务编码方式至关重要，可通过下述流程进行确定：

1)给总网络图中的各任务进行初次编码，将多个单项目网络图，通过添加开始虚工序和结束虚工序，将其绘制成一个总网络图，给总网络图中的各任务编号。

2)用邻接矩阵描述单代号网络图的时序逻辑关系。详情可参考以下两图。

图1 具有9个任务的项目单代号网络图

图2 邻接矩阵

3)任意获取任务优先权值列表。无论是哪些工作任务，均有其特定且独一无二的优先权值，不过它并不能保证一定符合时序逻辑关系。假设图1中的任务项目其优先权值如表2所示。优先权值大者优先执行。

表2 随机生成的任务优先权值列表

4)生成符合时序优先关系要求的任务编码，其生成步骤可参考下图。

图3 满足时序关系的任务编码生成过程

根据上图能够清晰直观地了解到，最重要的一环是准确锁定合格任务，即指的是每一项紧前任务均已完成的任务[26,27]。

以图1描述的实例为例进行说明。向量A[·]的主要功能是安全可靠地保存已形成的编码排序。一开始，A[1]=1，合格任务特别少，只有一个即任务2，此时A[2]=2。在对邻接矩阵进行梳理分析后发现，合格任务分别是3,4,5，它们三个都有可能成为A[3]，查表可知，其优先权值依次是7,1,6。在上述任务中，3享有最高的优先权，故A[3]=3。接下来，任务4,5,6共同竞争A[4]。任务5竞争胜出，得到A[4]=5。再按照下述两个流程进行操作：

a.结合邻接矩阵得到合格任务集合；

b.按照随机优先权值确定优先级最高的任务并将其所在位置进行固定，一直持续到每一项任务都得到规范合理地执行。与表1相对应的任务编码可参考表3。如果优先权值发生变化，那么势必会导致任务编码方案有所改变，所以，此编码可以反映已知单代号网络图潜在的各种编码[27]。

表3 满足时序关系的任务编码

值得注意的是，生成的任务链表仅仅满足了时序优先关系，尚未考虑资源约束。

(2)模式链表M的生成

模式链表M表示任务链表中各任务对应的可行模式向量，模式链表M与任务链表L两条链表各基因位一一对应。j1活动对应的可行模式为m1，m1可取j1活动对应的可行模式集合中任一种模式。生成的模式链表仅考虑了可更新资源约束中活动规定的人员数这一条，也考虑了不可更新资源约束。

2.2.2 解码

所有基于优先级的启发式算法都需要进度生成机制(Schedule Generation Scheme, SGS)[28]。SGS有串行进度生成机制(SSGS)和并联进度生成机制(PSGS)。基于任何优先规则并采用PSGS生成的单模式资源约束项目调度问题(SRCPSP)的调度计划均为非延迟调度计划。基于任何优先规则并采用SSGS生成的SRCPSP的调度计划均为积极调度计划，它既缩小了搜索范围，又不会错过最优解[25]。当各个活动的执行模式被指定，并且指定的模式满足不可更新资源约束时，MRCPSP就退化为SRCPSP，因此，MRCPSP也满足SRCPSP的性质和定理[25]。鉴于此，本文采用串行调度生成机制。当任务的调度顺序和对应的可行模式给定后，采用串行调度生成机制进行解码时，考虑全部可更新资源约束，就得到一个可行解。

2.2.3 种群初始化和适应度函数

(1)初始种群

初始种群应选择合适的种群规模，研究显示，个体能在解空间中均匀分布的初始种群被认为是一个好的初始种群。所以在刚开始生成种群的优先规则序列号时，我们采用电脑随机生成的方式。但是在后面的解码过程中，可以看到，有些解不满足问题的约束条件，因此我们先根据问题的约束条件将人员满足任务要求的所有组合求解出来，让遗传算法只在问题的可行解空间内进行搜索，并且在用算法选择人员时，我们选取活动的关键人员和随机人员的组合，这样既满足了遗传算法的要求，又可缩短解决问题耗费的时间。

在生成初始种群时，要优先考虑个体能否均匀覆盖整个解空间。本文采用电脑随机生成的方式，产生了满足时序优先关系的染色体任务编码。染色体的模式编码也是采用各任务的可行模式的编码，即满足了资源约束的人员组合可行模式的编码。可行模式的选择是采用关键人员和随机选择人员组合的方式，一个活动的关键人员是指人力资源库中执行该活动时员工工时系数最大的人员。因此遗传算法只是在满足问题的可行解空间内进行搜索，这样既提高了搜索效率，又满足了个体均匀覆盖整个解空间的要求。

(2)适应度函数

工期和成本均是费用性指标，其指标值越小表示解越好，但适应度函数应该是适应值越大表示个体越优。又考虑到工期和成本的单位不统一，应该进行无量纲化处理，使得无量纲化后的指标值均在0～1范围内。因此设计的适应度函数为:

CI=ω×TS+(1-ω)×CS

(14)

式中ω为工期的权重系数。TS、CS分别为个体的项目总工期、总成本无量纲化后指标值，无量纲化处理详见公式(11)、公式(12)。

2.2.4 选择操作

选择操作是在对个体的适应度进行评价的基础之上，通过科学合理的算法选取父代群体中的部分个体转移至下一代群体内。在综合考虑各方面因素之后，本文最终选取了当前应用比较广泛且备受业内人士青睐的轮盘赌方法，其作用机制是各个体被选取的可能性和其适应度之间成显著正相关关系。如果群体规模用n表示，个体i的适应度是Fi，那么i被成功选取的可能性可通过下式进行计算:

(15)

2.2.5 交叉操作

交叉算子拟通过文献[29～31]中介绍的单点交叉算子完成对染色体任务基因的交叉操作，其中，模式基因发生交叉变动，其可能性用Pc进行表示。假设父体和母体在进行一系列交叉运算之后形成两个子代是儿子、女儿。在1～N之间任意形成一个整数n，儿子前n个位置的任务基因继承父体，但是n+1～N的后N-n个位置的任务基因继承母体，对于其中的已有任务，本文不再对其进行分析，同时确保各任务的分布与母体中对应一致。同理可确定女儿基因。文献[30]表示，基于交叉算子获得的子代个体中各工作的排列顺序依旧符合紧前紧后关系。交叉过程如图4所示。

图4 一点交叉

2.2.6 变异操作

变异算子将通过科学合理的方法对染色体的模式基因展开一系列规范合理地变异操作，在此过程中，任务基因不会发生任何变化。本文通过均匀变异算子明确变异点处等位变异基因值，即每个个体编码串中模式基因座为可能变异点，先以变异概率Pm选出进行变异操作的基因座，再对每个变异基因座，从与该基因座对应的可行模式集合内随机选取一个符合均匀概率分布的可行模式来替代原可行模式。变异过程如图5所示。

图5 变异过程

2.2.7 算法流程

基于前文介绍能够梳理出遗传算法解决本文问题的主要流程：

第1步初始化算法参数，比如变异概率Pm、种群规模Popsize等。

第2步选取双链表结构的编码方式。任务链表符合时序优先关系，模式链表是任务链表中各任务对应的可行人员组合模式集合。

第3步采用串行调度生成机制进行解码，得到满足时序约束和资源约束的可行解。

第4步将任意生成的Popsize个染色体定义为初始染色体群体；

迭代次数Gen=1；

While(Gen

第5步基于多目标加权求和的适应度函数，计算种群中个体适应度值。

第6步遗传操作。

(1)通过当前应用比较普遍的轮盘赌方法完成选择操作；

(2)以Pc概率为准，通过单点交叉算子进行交叉操作；

(3)按Pm概率采用均匀变异算子进行变异操作。

第7步若Gen≥Genmax，则结束程序；否则，Gen=Gen+1；

End While：输出种群中最优的染色体作为问题的全局满意解。

3 算例研究

3.1 实例分析

某多晶硅光伏产品生产公司，为顺利完成订单任务，需要同时启动两个技术改造项目，以期借助改善、优化工艺的方式促进产能进一步提升。本文拟通过此实例全面深入地检验本文提出的算法。关于项目A、B的主要参数可参考表4，关于内部员工的物料消耗率情况可参考表5，多晶硅料片(物料1)、金刚线(物料2)的单价分别是3元/片、5元/米。企业明确了负责各项工作的人员数量。公司内部当前可供调遣的员工总数为12人，鉴于项目在开展过程中难免受到各种因素的干扰和影响，所以，明确要求各时段的员工总数应控制在7名以内。

测试算例采用的硬件平台为Windows 7操作系统，Intel(R)Core i7处理器，3.6GHz主频，4G内存，MATLAB 7.0仿真软件。本文算法的各项参数设置如下：种群规模Popsize=200，Pc=0.8，Pm=0.05，最大进化代数Genmax=400。

表4 项目A、B的相关参数

表5 各人员物料消耗率表

在不同权重下的综合指标满意解如表6所示，可以看出随着工期权重的增大，项目工期越来越短，项目成本越来越高。多次用遗传算法迭代求解，项目总工期最小值41天在ω=0.8时取得。因此，本文综合指标模型中工期权重取值为0.8，成本权重取值为0.2。

表6 不同权重下的综合指标满意解

将传统MRCPSP和本文研究的最优调度计划展开全面深入地比较分析。表7表示在忽略员工胜任力水平差异这一因素的前提下制定的最优调度计划(对应传统MRCPSP)，其对应的结果是多项目总工期是46，总成本是19360。表8则表示在分析员工胜任力水平差异的基础上而制定的最优调度计划，即本文运用遗传算法求解的S-MRCPSP，多项目总工期缩短至41，总成本降至17284。通过对比，本文研究的S-MRCPSP将总工期缩短约11%；总成本节省约11%。数据结果表明：相较于传统的MRCPSP来讲，S-MRCPSP能够进一步缩短项目总工期、总成本，更合理地配置人力资源。

表7 传统MRCPSP最优调度计划

表8 S-MRCPSP最优调度计划

3.2 实例算法对比

原模型与综合指标模型都属于S-MRCPSP。文献[32]中将最短工期作为模型约束条件来求解最低成本，基于动态规划的精确算法求得本文实例的精确解为项目总工期40天、总成本16335元。表9中基于遗传算法求解原模型时，也是将最短工期作为模型约束条件来求解最低成本。从表9可看出，基于遗传算法求解原模型与求解综合指标模型得到的恰好是同一个满意解，即项目总工期41天(与精确解工期的偏差约2.5%)、总成本17284元(与精确解成本的偏差约5.8%)。由此可见，当工期赋权为0.8、成本赋权为0.2时，原问题模型采用线性加权评价函数法的优化结果等同于采用分层序列法，求得满意解的误差可以接受。此外，本实例中人员组合可行解数量已达到百亿数量级，使用商业优化软件CPLEX内存溢出无法求解，文献[32]的精确算法求解耗时需1830秒，本文的遗传算法求解仅耗时113秒，表明遗传算法求解S-MRCPSP效率较高。

表9 求解S-MRCPSP算法对比

4 结论

最新研究表明，员工胜任力水平的高低会对工作绩效产生较为深刻的影响。本文以MRCPSP为基础，对特殊“多模式”项目人力资源调度问题展开了全面深入地探讨和分析。为客观准确地评估员工胜任力水平，本文选取了员工工时系数这一指标，项目总成本只强调研发工作开展过程中产生的物料消耗，以总工期和总成本加权求和后的综合指标值最大为优化目标。由于原来的方法不完善、不严谨，所以，本文决定通过遗传算法对综合指标进行单目标优化。通过一个项目实例，将S-MRCPSP模型与MRCPSP模型进行全面细致地比较分析后发现，前者不仅总工期明显缩短，并且总成本大幅减少。它在研发项目群管理方面表现出良好的适用性和实用性。同时，数据结果表明，遗传算法对求解中小规模的S-MRCPSP问题具有良好性能。不过，在采用该模式时，工作组合模式数量明显增多，既增加了分析难度，也容易出现NP-hard现象，所以，遗传算法用于分析和处理本文问题时依旧有其自身不完善之处，后期应加大研究力度，不断优化算法，或者探寻出更合理、更严谨、更有效的算法。