基于蒙特卡洛方法的工程项目工期风险估计研究

李 澈 王 丰 晁亚晨

（大连民族大学，土木工程学院，辽宁 大连 1 16650）

0 引言

在工程项目管理中，工期是项目目标控制的关键环节之一。对工期的错误预估可能会给项目带来较大损失，甚至导致项目失败[1]。为此，工期风险预测环节对工程项目的成功与否起着至关重要的作用。传统工程进度计划中的工作持续时间是确定的，总工期为关键线路上所有工作持续时间的总和。然而在实际工程中，诸多的不确定因素导致工期具有不确定性。

工期风险一般可根据概率进行量化，即采用不能按照计划工期完工的概率来表示工期风险值[2,3]。本文通过蒙特卡洛方法来研究工期风险问题，通过循环模拟预测工期的概率分布和累积概率分布，计算出超过目标工期（计划工期）的概率值，即工期风险值。这样可以较准确的预估工期风险并有效把握整体工期。

1 基本原理

1.1 蒙特卡洛方法

蒙特卡洛（Monte Carlo）方法又称计算机随机模拟方法[4]。利用随机数发生器产生某变量的累积概率值，通过累积概率可计算出对应的变量值，相当于随机产生了一个变量值，然后通过随机产生的变量计算出随机的效益指标，如此重复进行N 次，得出N 组效益指标，当重复次数N 足够大时，便可求效益指标的概率分布。

1.2 工期风险估计方法的思路

当实际工期T 超过计划工期Tp，即工期风险事件发生。于是，定义工期风险为实际工期T 超过计划工期Tp的不确定性，即工期延误概率值。本文通过蒙特卡洛方法模拟出实际工期的概率分布，并计算出超过计划工期的概率值，即工期风险值。当模拟出的所有实际工期全部超过计划工期时风险为1，此时工期风险最大；当模拟的实际工期全部小于计划工期时，此时工期风险为0。运用蒙特卡洛方法进行工期风险估计思路的流程如图1 所示。

图1 运用蒙特卡洛法估计工期风险思路的流程

1.3 计划评审技术的应用

计划评审技术（PERT） 是一种非肯定型的网络计划方法，即每项工作的持续时间是不确定的，运用网络计划表示各项工作的逻辑关系和具体进度计划，并在此基础上计算相应工作的时间参数[5]。根据三时估计法计算控制性计划中每项工作的持续时间，其中根据专家、专业工程师等给出的建议假设最乐观完成时间为a、最可能完成时间为m、最悲观完成时间为b，并用其完成时间的均值μ和方差σ来描述不确定性。μ和σ的表达式如下：

2 工期风险预测方法及程序

2.1 工期风险预测步骤

本文提出工期风险预测方法的基本步骤如下：

（1）根据所分析项目的施工工艺关系及组织要求编制的施工网络计划。

（2）聘请有经验的专家确定各项工作的最乐观完成时间、最悲观完成时间和最可能完成时间。假设各工作实际持续时间服从正太分布，通过公式（1）得到各项工作持续时间的均值和标准差。设定蒙特卡洛目标模拟次数No。

（3）采用随机数发生器，针对网络计划中的每项工作产生一个[0,1]的随机数，作为每项工作持续时间概率分布的累积概率值。

（4）已知累积概率值，通过确定正态分布分位数的方法可以得到每项工作的随机持续时间，代入网络计划中通过3.2 节的方法即可计算得到一次模拟工期T。

（5）重复步骤3 至4，进行N 次随机模拟，可以得到N 个工期T。当N=No时停止模拟。

（6）在模拟得到的工期T 中取最小值和最大值，在最小值与最大值之间等分隔的划分若干区段。然后计算出所有模拟工期T 在各区段的数量值，即频数f，代入公式（2）可以得到计算工期的概率密度φ，这里φ是工期T的函数。

（7）以概率 φ 为纵坐标，工期T 为横坐标，绘制模拟工期的概率分布曲线。

（8）通过公式（3）可以计算得到累积概率值P。以累积概率P 为纵坐标，工期T 为横坐标，绘制工期的累积概率分布曲线。

（8）若已知计划工期Tp，代入累积概率分布曲线中，由纵坐标可以读出满足计划工期的成功概率Ps。于是超过计划工期的工期延误概率值Pf= 1 - Ps，即为工期风险值，Pf越大风险越大。

2.2 工期计算

网路计划中每项工作的最早开始时间ES、最早完成时间EF 可以通过下式计算：

式中，t 表示工作持续时间；下标o 表示为开始工作，下标j 表示其他工作；i 工作为j 工作的紧前工作。工期T 的计算公式为：

式中，下标n 表示为最后工作。

若明确了网络计划中每项工作的紧前工作，也就确定了工作之间的逻辑关系。当各项工作的紧前工作的EF 确定后，根据公式(4)可以计算得到该工作的最早开始时间ES。当所有最后工作的EF 都确定后，按照公式(5)便可以计算出网络计划的计算工期T。

3 算例分析

设某高层住宅楼的地上工程，结构形式为钢筋混凝土剪力墙结构，计划工期Tp为370 天。该工程的控制性双代号网络计划如图2 所示。图2 中各工作的紧前工作、三时估计时间以及计算得到的标准差和均望如表1 所示。

图2 算例工程网络计划图

表1 工作间关系及持续时间信息表

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本文通过Visual Studio 编程平台对该算例的工期进行蒙特卡洛模拟。根据各工作的概率分布，为每项工作赋[0,1]之内的随机数，通过计算正态分布分位数确定各工作时间，代入网络计划计算出1 次模拟的工期样本值。重复以上过程，当达到1000 次模拟时，将计算结果汇总统计出相关信息。图3为模拟工期的概率分布图，图4 为模拟工期的累积概率分布图。将计划工期TP=370 天代入图4 中可知，估计该工程的工期延误概率约为0.162，即工期风险的估计值为0.162。

图3 工期的概率分布图

图4 工期的累积概率分布

4 结论

工期作为工程项目重要管理目标之一具有很大的不确定性。本文通过计划评审技术的三时估计法确定网络计划中各工作的概率分布，根据网络计划逻辑关系建立了工期计算程序，通过蒙特卡洛技术为每项工作随机产生累积概率值，转换为各项工作的随机持续时间，并计算出随机工期，当模拟次数足够多时可以得到工期的概率分布曲线和累积概率分布曲线，在曲线图中绘入计划工期便可预测该工程的工期延误概率。

通过算例分析表明本文提出的工期风险估计方法概念清晰、计算方便，便于工程使用。通过本文方法的使用，便于在工期风险估计基础上对工程进度进行有效的控制和协调。