时滞变质品供应链的数量折扣协调模型

张云丰，龚本刚，桂云苗

(安徽工程大学 管理工程学院，安徽 芜湖 241000)

0 引言

易变质品是指在持有期间会发生腐烂、干燥、气化、挥发、衰减、蒸发等物理化学现象而致使利用价值降低的一类物品，如水果、蔬菜、药品、时尚服装、电子产品等。Ferguson和Ketzenberg[1]指出企业生产的产品摆上货架进入销售环节后由于变质或损耗而造成的价值损失达到15%以上。董坤祥等[2]认为我国的果蔬等农产品在流通过程中由于腐烂变质而造成的贬值损失更是高达20%～30%。联合国粮农组织和国家粮食局公布的统计数据则表明，中国每年浪费的粮食占到生产量的35%，其中有350亿千克损失在储存、运输和加工环节。因此，易变质品的库存管理问题关乎着国计民生，成为国内外学者广泛关注的研究领域。

Ghare和Schrader[3]首次研究了易变质品的订货决策，指出具有常系数变质率的易变质品在库存期间因变质而发生的损耗与时间的负指数相关。在随后的几十年时间里，众多学者们结合易变质品的需求函数类型、变质率服从的分布形式、供应商的补货方式及零售商的支付约束等对Ghare和Schrader[3]的模型进行拓展[4～11]。早期的研究文献多数默认易变质品从进入存储系统便开始变质，而Wu和Ouyang等[12]认为部分易变质品进入库存系统后会先维持原有特性和功能一段时间后才开始发生变质，并将这类易变质品称之为“时滞变质品”。实际生活中的许多物品都是时滞变质品的例子，如蔬果、鲜花、牛奶等。Chang和Teng等[13]建立需求依赖库存、允许缺货且货架展示空间存在约束的时滞变质品订货决策模型。Shah和Soni等[14]研究了需求依赖于广告和销售价格、变质率和持有成本时变的时滞变质品库存与营销策略。Dye[15]探讨了储存技术投资对库存决策影响的时滞变质品库存系统，并利用投资资本的广义生产率、变质率和依赖于时间的拖后率对库存系统进行建模。Chung和Cárdenas-Barrón 等[16]建立了上下游皆存在信用支付且变质率服从指数分布的三级时滞变质品供应链系统的EPQ库存模型。Palanivel和Uthayakumar[17]考虑通货膨胀的影响，研究有限计划时期内短缺量部分拖后的时滞变质品EOQ模型。李贵萍和段永瑞等[18]假定库存水平影响需求、持有成本和变质率随时间变化、允许缺货，设计了时滞变质品的库存策略。

供应链中的成员企业在决策时往往独立进行，各自以收益最大化作为唯一追逐目标，双边际效应的存在使得供应链处于失调状态，降低了供应链系统的效率。这种传统的决策模式显然已不能适应当今社会激烈的市场竞争环境。供应链中各参与方若肯彼此相互合作，实施集中决策将能够有效提升供应链整体绩效。然而，集中决策在优化渠道利润的同时，却不能保证各参与方的利润都大于分散决策情形，且利润分配问题不易解决。这时，选择有效的协调机制对供应链及时进行协调则非常必要，而数量折扣契约是实践中常用且有效的协调方式之一。Shin和Benton[19]对数量折扣协调契约实施过程中面临的风险分担问题展开讨论。Duan和Luo等[20]的研究表明，数量折扣契约可以使具有固定生命周期的产品供应链系统达到最优和成员企业双赢的状态。刘浪和巩玲君等[21]建立了价格随机条件下突发事件的应急数量折扣契约三级供应链协调模型。张云丰和王勇等[22]研究了非瞬时补货下基于数量折扣的即时变质品供应链协调。Nie和Du[23]分析了基于数量折扣契约的双重公平关切供应链协调机制。

综上所述，现有文献对时滞变质品的订货决策及数量折扣契约下的即时变质品供应链协调都展开了较为深入的研究，但有关时滞变质品供应链协调的成果尚较少见到。因此，本文在已有时滞变质品和数量折扣契约文献研究的基础上，构建基于数量折扣契约的单一批发商与单一零售商时滞变质品供应链协调模型，并通过收益共享合同来合理分配协调后的利润增量，使批发商和零售商的利润比协调前都有所改善，实现时滞变质品供应链的完美协调。与现有研究相比，本文的创新点在于：首先，本文根据部分物品在库存期间的实际变质特点，构建了一个两级时滞易变质品供应链协调模型；其次，在运用数量折扣契约对时滞变质品供应链实施完美协调后，本文提出一种基于双方相对风险规避系数和讨价还价能力的利润增量分配方法，该分配方法可实现利润增量在双方之间的合理分配。

1 基本假设与参数说明

1.1 基本假设

本文建立时滞变质品供应链协调模型主要基于以下基本假设：

(1)两级时滞变质品供应链由单一批发商和单一零售商组成；

(2)时滞变质品市场为完全竞争市场，销售价格和市场需求率保持不变；

(3)供货模式为批量对批量，只考虑批发商的订货成本和采购成本；

(4)订货提前期为零，零售商的订货必须瞬时补充到位，不允许缺货；

(5)物品在销售期间经历时滞期和变质期两个阶段，在时滞期没有变质发生，在变质期以恒定速率变质；

(6)变质的物品被及时处理，因而不占有库存，但需承担相应的处理成本，且残值为零；

(7)研究的计划期无限长，因此只需分析一个订货周期的情形。

1.2 参数说明

本文在建立时滞变质品供应链协调模型过程中所使用的主要参数说明如下：

2 时滞变质品订货策略

如图1所示，在一个完整订货周期内时滞变质品的库存水平划分为时滞期和变质期两个阶段。在0～td阶段，时滞变质品维持其原有特性，没有发生变质，库存水平在需求的影响下，从最大库存量Q0下降到开始变质时的Q1，任意时刻t的库存水平I1(t)满足如下微分方程

(1)

在td～T阶段，时滞变质品以恒定的变质率θ持续变质，库存水平在需求率与变质率的共同作用下从开始变质时刻的Q1逐渐下降到零，任意时刻t的库存水平I2(t)满足如下微分方程

(2)

结合边界条件I1(0)=Q0及I2(T)=0，解得

I1(t)=Q0-Dt,0≤t≤td

(3)

(4)

为了便于式(4)中指数函数的计算，此处采用与文献[3]相同的处理方式，当产品的生命周期(1/θ)远大于订货周期T时，可对指数函数进行泰勒展开，并保留到二次项而忽略更高次项。经过处理后，式(4)化简为

(5)

将I1(td)=I2(td)代入式(3)～(5)，分别得到

(6)

图1 时滞变质品的库存水平

2.1 分散决策

当供应链各成员企业采取分散决策时，零售商在一个订货周期内的所有成本包括订货成本、采购成本、库存持有成本及变质处理成本四部分。其中：

(1)订货成本OC=K1;

因此，当零售商和批发商采取分散决策时，可以得到零售商在一个订货周期内的单位时间利润函数表达式如下:

(7)

式(7)分别对T求一阶、二阶导数，有

(8)

(9)

(10)

将式(10)代入式(7)，得到分散决策下零售商的单位时间利润函数表达式为

(11)

考虑到批发商对零售商采用批量对批量的供应模式，因此批发商无需保留库存。在分散决策下，批发商的单位时间利润函数可以表示为

D(ω-c)(1-θtd)

(12)

(13)

由此得到分散决策下时滞变质品供应链的单位时间利润为

(14)

由上述分析过程得到如下命题1。

2.2 集中决策

若供应链各成员企业进行集中决策，则时滞变质品供应链的单位时间利润函数记为

+D(p-c)+Dθ(c+htd+κ)td

(15)

式(15)分别对T求一阶、二阶导数，有

(16)

(17)

(18)

将式(18)代入式(15)，由此得到集中决策下时滞变质品供应链的单位时间利润为

(19)

由此可以得到如下命题2。

2.3 两种决策模式比较

对集中决策和分散决策下的时滞变质品供应链单位时间利润作差比较，得到

(20)

显然，如果有ΔΠSC>0成立，则表明集中决策优于分散决策，集中决策能够获得更多单位时间利润。由于ΔΠSC的表达式比较复杂，难以直接确定ΔΠSC的符号，因此本文假定在满足ΔΠSC>0条件下，引入数量折扣契约来对时滞变质品供应链进行协调。

3 数量折扣契约

假定批发商向零售商提供一份数量折扣契约d(Q)，而由式(6)知零售商的订货数量与其订货周期之间存在着相互对应关系，故可以将数量折扣契约转换为d(T)。因此，批发商提供的最优数量折扣契约等同于求解如下规划的解。

(21)

(22)

根据式(21)，当批发商提供数量折扣契约时，对于给定的T，需保证：

(23)

式(23)表明，批发商提供给零售商的数量折扣份额需大于等于零售商调整订货参数后的利润损失。为使批发商获得集中决策下的最大单位时间利润，需满足批发商提供给零售商的单位时间数量折扣总量正好等于零售商的单位时间利润损失，因此，式(23)应该取等号，并将其代入式(21)，规划问题转换为

(24)

将式(7)、式(11)和式(12)代入式(24)，有

(25)

(26)

可见，若零售商将订货周期调整到与集中决策下的最优订货周期相同时，并将协调后所增加的利润增量全部分配给批发商，则对批发商而言，此时的数量折扣契约是最优的。最优数量折扣契约d(T)表示为

(27)

从而在最优数量折扣契约下，零售商、批发商、供应链的单位时间利润分别为

=D(p-ω)+Dθ(ω+htd+κ)td-

(28)

(29)

=D(p-c)+Dθ(c+htd+κ)td-

(30)

上述数量折扣契约对时滞变质品供应链的协调是一种理想化的状况，它将协调后获得的利润增量全部分配给批发商，零售商只能被动的接受协调。然而，在贸易实践中，当零售商在供应链中具有一定的话语权时，零售商会要求与批发商共享协调后的利润增量，具体分享的比例取决于零售商在供应链中的地位。在这里，我们用双方在交易中的讨价还价能力及其相对风险规避程度来描述各自在供应链中的地位。首先，借助常相对风险规避型效用函数来刻画批发商和零售商的风险规避程度，假设双方的效用函数如下

(31)

其中，ρ1和ρ2依次为零售商和批发商的相对风险规避系数，ρ1,ρ2>0且ρ1,ρ2≠1；ΔΠR和ΔΠS分别代表零售商与批发商从单位时间利润增量中分享的份额，满足ΔΠR+ΔΠS=ΔΠSC。其次，再设零售商与批发商的讨价还价能力权重分别为σ1和σ2(σ1+σ2=1)，根据纳什讨价还价理论，将时滞变质品供应链协调后的单位时间利润增量分配规划如下:

maxUSC(ΔΠR,ΔΠS)

=σ1UR(ΔΠR)+σ2US(ΔΠS)

(32)

s.t.ΔΠR+ΔΠS=ΔΠSC

(33)

(34)

4 算例分析

4.1 参数设置与模型求解

4.2 敏感性分析

下面分别考察时滞期、变质率、相对风险规避系数和讨价还价能力发生变化时对订货周期及利润参数产生的影响。

表1显示了时滞期td对订货周期及利润参数的敏感性分析过程。从表1数据可以看出，随着时滞期td的增大，两种决策模式下的订货周期都逐渐延长，零售商的单位时间利润快速增加，而批发商的单位时间利润呈现出先缓慢下降后又逐渐上升的势头。零售商在集中决策下的单位时间利润要比分散决策下低，但批发商的情况刚好相反，总体上集中决策的系统单位时间利润更高。就时滞变质品供应链而言，无论是分散决策还是集中决策，整个系统的单位时间利润与时滞期td的变化趋势一致，且集中决策始终优于分散决策，但优势却随着时滞期的增大而减小，零售商和批发商分配的单位时间利润增量也随之减少。

表1 时滞期对订货周期及利润参数的敏感性分析

表2显示了变质率θ对订货周期及利润参数的敏感性分析过程。从表2数据可以看出，随着变质率θ的增大，两种决策模式下的订货周期都逐渐缩短，零售商和批发商的单位时间利润慢慢下降，导致时滞变质品供应链系统的单位时间利润也持续下降。零售商在分散决策时获得的单位时间利润比集中决策时高，但批发商的集中决策下得到的利润增量比零售商的损失更多。就整个供应链系统而言，集中决策比分散决策时的单位时间利润更大，且随着变质率θ的增大，单位时间利润差值也越来越大，从而零售商和批发商分配的单位时间利润增量也逐渐增多。

表2 变质率对订货周期及利润参数的敏感性分析

表3考察了在时滞期td=0.1、变质率θ=0.1情形下，相对风险规避系数和讨价还价能力变化对单位时间利润增量分配的影响。从表3数据可以看出：(1)在相对风险规避系数相同时，批发商与零售商从单位时间利润增量中分配的份额取决于双方各自的讨价还价能力。讨价还价能力越强，则分配的单位时间利润增量也越多。若双方讨价还价能力相同，大家将平分单位时间利润增量。极端地，当一方完全没有话语权时，则另一方将独享协调后的全部单位时间利润增量。(2)在双方的讨价还价能力确定时，双方对风险持有的态度也会影响单位时间利润增量的分配。在同一组讨价还价能力系数下，相对风险规避系数越大对讨价还价能力较弱的一方越有利(讨价还价能力为零的特殊情况除外)。因此，在讨价还价中处于劣势的一方，若能够对待风险持有较为谨慎的态度，将有利于自己获得更大的收益。

表3 相对风险规避系数与讨价还价能力对利润增量分配的影响

5 结束语

本文研究了基于数量折扣契约的时滞变质品供应链协调问题，分别建立分散决策与集中决策下时滞变质品供应链的单位时间利润函数并进行作差比较。为了获取集中决策下较大的单位时间利润，又不至于让零售商遭受损失，文中设计了基于数量折扣契约的协调机制对零售商的损失进行补偿。此外，考虑到供应链系统中成员企业所处的地位，借助收益共享合同，给出一种单位时间利润增量的分配方法，并讨论了双方相对风险规避系数和讨价还价能力对分配结果的影响。通过数值算例对文中相关结论进行验证，并模拟了时滞期、变质率、相对风险规避系数和讨价还价能力等发生变化时对订货周期及利润参数产生的影响。

本文在文献[22]研究的基础上进行了进一步的拓展。首先，鉴于诸如水果、蔬菜等物品在保质期内能基本维持其原有特性的事实，考虑了时滞变质品供应链的协调问题，这使得本文的研究工作更有实际意义；其次，文献[22]中所设计的数量折扣契约，在补偿集中决策造成的销售商成本增加后，将余下的成本节约值全部分配给供应商。如此，零售商在供应链中的地位没有得到体现，特别是在买方市场，零售商的影响力更大，因而不会满足于这种分配方式。基于此，本文根据纳什讨价还价理论，给出一种基于双方相对风险规避系数和讨价还价能力的利润增量有效分配方法。本文研究的局限性在于：首先，文中假设需求率和变质率皆恒定不变，还可以拓展到时变需求率及时变变质率的情形，如需求依赖于库存水平、两参数威布尔变质率等；其次，文中的模型没有考虑缺货的影响，而缺货在供应链中也比较常见；最后，文中只讨论了“批发商—零售商”组成的二级时滞变质品供应链协调问题，尚可推广到“生产商—批发商—零售商”构成的三级时滞变质品供应链情形。当然，这些拓展研究也将极大增加模型分析的复杂程度。