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弱wakamatsu余倾斜模的若干注记

2020-10-23何东林

关键词:易知等价维数

何东林

(陇南师范高等专科学校 数信学院, 甘肃 陇南 742500)

倾斜理论在Artin代数表示论和同调代数中扮演着重要的角色,许多学者对其进行了研究和推广[1-4]。特别地,Mantese等[5]介绍了wakamatsu倾斜模的定义,并讨论了其性质。何东林[6]引入n-余星模的概念,并研究了其与n-余倾斜模的关系。Bennis[7]为了讨论相对Gorenstein同调维数,给出了wakamatsu倾斜模和wakamatsu余倾斜模的一个推广,称之为弱wakamatsu倾斜模和弱wakamatsu余倾斜模。注意到n-余倾斜模与wakamatsu余倾斜模之间具有一定的联系,这样就会产生一个问题:n-余倾斜模与弱wakamatsu余倾斜模之间具有怎么样的关系?本文将给出这个问题的正面回答,并研究弱wakamatsu余倾斜模的等价刻画。

1 定义和引理

定义1[7]设C是左R-模。若存在HomR(ProdR(C),-)下正合的正合列

…→C1→C0→E0→E1→E2→…,

(1)

其中Ei是内射模,Ci∈ProdR(C)(i≥0),且M≅Im(C0→E0),则称M是GC-内射模。

定义2[7]设C是左R-模。如果满足如下条件:

(2) 存在HomR(ProdR(C),-)下正合的正合列…→C2→C1→C0→Q→0,其中Ci∈ProdR(C)(i≥0)且Q是左R-模内射余生成子;

则称C是弱wakamatsu余倾斜模。

定义3[6]设C是左R-模。如果满足如下条件:

(1) idR(C)≤n(其中idR(C)表示C的内射维数);

(3) 存在正合列0→Cs→…→C2→C1→C0→Q→0,其中Ci∈ProdR(C)(0≤i≤s)且Q是左R-模内射余生成子;

则称模C是n-余倾斜模。

证明设U、V∈ProdR(C),则存在模M′和N′,以及集合I1和I2,使得U⊕M′≅CI1且V⊕N′≅CI2。因为对任意i≥1,有如下同构

引理2[7]设C、M是左R-模,则以下说法等价:

(1)M是GC-内射模;

(2)M∈ProdR(C)⊥且存在HomR(ProdR(C),-)下正合的正合列(ε):…→C2→C1→C0→M→0,其中Ci∈ProdR(C)(i≥0)。

引理3[7]设C是Π-self-orthogonal模,则GC-内射模的直积及直和因子是GC-内射模。

引理4[6]设C是左R-模,则以下条件等价:

(1)C是n-余倾斜模;

(2) Copresn(C)=⊥i≥1C,其中Copresn(C)表示由Cn-余表示的模类。

2 主要结论

定理1 对任意左R-模C,以下结论等价:

(1)C是弱wakamatsu余倾斜模;

(2)C是Π-self-orthogonal模,且每个内射余生成子均是GC-内射模;

(3)C是Π-self-orthogonal模,且每个内射模E均是GC-内射模。

证明(1)⟹(2) 设C是弱wakamatsu余倾斜模且Q为任意内射余生成子。由定义2知C是Π-self-orthogonal模,且存在HomR(ProdR(C),-)下正合的正合列

…→C2→C1→C0→Q→0,

(2)

…→C2→C1→C0→Q→0→0→…,

(3)

显然Q≅Im(C0→Q)且正合列(3)在HomR(ProdR(C),-)下仍正合。由定义1知Q是GC-内射模。由Q的任意性可知,每个内射余生成子均是GC-内射模。

(2)⟹(3) 设C是Π-self-orthogonal模,且每个内射余生成子均是GC-内射模。对任意内射模E,都存在E′和集合I,使得E⊕E′≅QI。由引理3易得E是GC-内射模。

(3)⟹(1) 设C是Π-self-orthogonal模,且每个内射模E均是GC-内射模,则对任意内射余生成子Q,由于Q是内射模,所以Q是GC-内射模。从而存在HomR(ProdR(C),-)下正合的正合列

…→C1→C0→E0→E1→E2→…,

(4)

其中Ei是内射模,Ci∈ProdR(C)(i≥0),且Q≅Im(C0→E0)。不妨考虑正合列

…→C2→C1→C0→Q→0,

(5)

由正合列(4)在HomR(ProdR(C),-)下正合可得,正合列(5)在HomR(ProdR(C),-)下也正合。根据定义2易知,C是弱wakamatsu余倾斜模。

下面讨论弱wakamatsu余倾斜模与n-余倾斜模之间的关系。

命题1 设模C是n-余倾斜模,Q是内射余生成子,则Q是GC-内射模。

证明由模C是n-余倾斜模及定义3可得,C是Π-self-orthogonal模,并且存在正合列

0→Cs→…→C2→C1→C0→Q→0,

(6)

其中Ci∈ProdR(C)且0≤i≤s。取Ij-1=Coker(Cj→Cj-1)(1≤j≤s)。对ProdRT中任意模P,用函子HomR(P,-)作用于短正合列0→Cs→Cs-1→Is-1→0,可得长正合列

(7)

对短正合列0→Is-1→Cs-2→Is-2→0,重复上面的过程,如此继续下去,易得正合列(6)在HomR(P,-)下正合。从而(6)在HomR(ProdR(C),-)下正合。易知M∈ProdR(C)⊥,正合列

…→0→0→Cs→…→C2→C1→C0→Q→0→0→…

(8)

在HomR(ProdR(C),-)下正合,且Q≅Im(C0→Q)。因此Q是GC-内射模。

定理2n-余倾斜模一定是弱wakamatsu余倾斜模。

证明设C是任意n-余倾斜模,根据定义3可得,C是Π-self-orthogonal模。由命题1知,对任意内射余生成子Q,都有Q是GC-内射模。又由定理1可得,C是弱wakamatsu余倾斜模。因此n-余倾斜模一定是弱wakamatsu余倾斜模。

推论1 设C是左R-模且Copresn(C)=⊥i≥1C,则C是弱wakamatsu余倾斜模。

命题2 设C是Π-self-orthogonal模且idR(C)≤n,则C是n-余倾斜模。

证明对任意基数λ,总存在以λ为基数的集合I。又由C是Π-self-orthogonal模可知,

(9)

0→Cs→…→C2→C1→C0→Q→0,

(10)

其中Ci∈ProdR(C)且0≤i≤s。注意到idR(C)≤n,从而C是n-余倾斜模。

定理3 设C是弱wakamatsu余倾斜模且idR(C)≤n,则C是n-余倾斜模。

证明设C是弱wakamatsu余倾斜模,则由定理1知C是Π-self-orthogonal模。又因为idR(C)≤n,根据命题2可得,C是n-余倾斜模。

下面用liD(R)表示环R的左内射整体维数。

定理4 设liD(R)≤n且C是左R-模,则C是n-余倾斜模当且仅当C是弱wakamatsu余倾斜模。

证明必要性 设C是n-余倾斜模,则由定理2可得C是弱wakamatsu余倾斜模。

0→Cs→…→C2→C1→C0→Q→0,

其中Ci∈ProdR(C)且0≤i≤s。又注意到liD(R)≤n,可见idR(C)≤n。因此C是n-余倾斜模。

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