一道不定积分的几种解法

张玥 邹健

摘 要：本文针对一个不定积分的题目进行探讨，提出5 种计算方法，分别是凑微分法、正切代换、无理代换、欧拉代换和双曲代换。以此引导学生突破思维的局限性，培养学生的发散思维和综合能力。

关键词：不定积分;凑微分法;发散思维

不定积分是微积分学中最基本的概念之一[1]，能正确地计算不定积分是学生学习微积分学必须掌握的基本能力之一。与微分计算相比较，不定积分的计算方法更灵活多变，有时计算结果形式上也会不一样，换句话说就是比较开放，而这种开放性对培养学生的发散思维很有帮助[2]。本文对课堂教学中的一道不定积分题目的多种解法展开讨论，以期培养学生创造性思维的能力。

该方法属于正切代换的方法，通过正切代换达到去根号的目的。该方法与凑微分方法相比，形式固定，只要掌握基本的三角公式、sectdt的积分公式以及辅助直角三角形法，问题就能得到解决，所以学生容易掌握。

该方法属于无理代换的方法，与方法2一样，通过无理代换达到去根号的目的。但该方法比方法2更直接，只要能够掌握1t2-a2dt的积分公式，问题就能得到解决，所以该方法往往是学生首选的。

该方法属于欧拉代换的方法，相比于前三种方法，欧拉代换的方法能将无理函数的不定积分直接化为有理函数的不定积分，虽然代换方法学生不易接受，但是解题过程却是最简单的。

该方法属于双曲代换的方法。相比于前四种方法，该方法中变换形式的选择以达到去根号的目的来确定，因而目的明确，容易掌握。通过与前四种方法的解题过程相比较，该方法的不定积分求解最易。但是最终求解原不定积分需要计算sh-1t，对于基础较弱的同学来说，也是有一定困难的。教学实践表明，方法3最易被学生接受;在教学中，虽然方法1最先被讲解，但是想要找到合适的函数来凑微分并不是一件容易的事。通过这一道不定积分题目的多种解法的講解，可以帮助学生灵活地掌握知识之间的联系，解放解题思维模式，培养和发挥创造性。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001（第4版）.

[2]崔静静，赵思林.一道考研数学试题的多种解法[J].西昌学院学报（自然科学版），2019，32（04）：54-56.

[3]谭香.几类三角函数有理式不定积分的求法[J].数学学习与研究，2018，24：2-3.

项目：安徽工程大学校级教学质量提升计划项目《大学数学课程中立德树人实现路径的研究》（项目编号：2018jyxm68）