类比引领 对比推进 整体构筑

【摘 要】统整课程资源，立足单元起始，规划课程设计，整体构筑整个单元的内核体系，细化课时分配。在以上的统摄中，借力类比与对比，先行组织、开山引路，在整体化教学设计中，开启不等式的教学历程，通过“现实生活蕴不等”“等与不等共相生”“迁移之中遇尴尬”“不等求解亦从容”“师生共话等不等”五个环节构建章起始课的版图，为深度学习开辟场域。

【关键词】类比;对比;不等式;章起始课

【作者简介】邢成云，正高级教师，全国“万人计划”教学名师，全国“双名工程”领航人选，山东省特级教师。

【基金项目】山东省滨州市名师工作室专项课题“全息教学论下初中数学章起始课的教学研究”（BZMZZX18-31）;山东省社科联人文社会科学课题（基础教育专项）“‘快慢相宜的整体化教学模式之延伸研究”（16-ZX-JC-37）

目前，课程改革已步入深水区，人们的观念不断更新，但无可讳言，碎片化、割裂式的教学现象仍然存在，即使有了观念性认识，具体教学仍难以落地。前后贯通不畅、整体规划缺失，从一定程度上影响了学生的深度学习。为此，笔者带领工作室成员对章起始课做了探讨，并以人教版初中数学七年级下册的“不等式与不等式组”章起始课为例进行教学尝试，以期引起同行的关注，共同“寻真问道”。

一、统观资源，整体规划

（一）对章前语与章头图的解读

章前语，是对本章内容的统领，是本章学习的序幕，从整体的角度揭示了本章的内涵。本章前语虽短（大约260个字符），章头图也只是一个商场版图附一个不等式，但意义深远，内涵丰富。通过研读、品味，笔者获得以下认识。

1.内容清晰，目标明确

章前语简短的几句话，明确了本章将要研究的几个方面：认识不等式，讨论其性质，学习一元一次不等式（组）的解法，在实际应用中感受不等式（组）的重要作用和意义。

2.等與不等，对立统一

对立统一的辩证关系在现实世界中普遍存在，它们相克相生的辩证思想为后继研究“变量与函数”做了孕伏。

3.数学建模，抽象思维

数学问题源于生活实践，其解决的方法又服务于生活实践。这彰显出数学学习的现实意义，其目的是引导学生在“学以致用”中领会“以用致学”，激发和驱动学生的探究欲望。而不等式（组）是解决实际问题常用的数学模型，需要抽象思维的支持，其基本思路类似于方程模型的构建。

4.类比引路，一脉相承

用不等式（组）处理不等关系问题的思路类似于用方程（组）研究相等关系问题的思路，二者一脉相承，但需要注意分析二者的异同。

（二）对教材正文及附件的解读

“不等式与不等式组”是初中学段唯一的一章关于不等式的内容，在人教版初中数学教材中，它作为第九章被安排在“二元一次方程组”之后，这是基于关联性的设置。当然本章教材内容的呈现遵循了《义务教育数学课程标准（2011年版）》的设定原则，将其分成三节。第一节是“不等式”，主要是不等式内容的通识，需结合具体问题，落实对不等式意义（包含不等式模型的建立，不等式的概念、作用、价值、模型思想等）的了解和对不等式基本性质的探索。第二节是“一元一次不等式”，主要学习其解法与应用，能用之解决简单的实际问题，以及能在数轴上表示出不等式的解集，反扣并深化了第一节的内容，同时为第三节用数轴确定一元一次不等式组的解集做铺垫。第三节是“一元一次不等式组”，核心内容是其解法，在化归思想主导的求解过程中，进一步巩固一元一次不等式的解法[1]。

另外，第一节后附有“阅读与思考 用求差法比较大小”，通过阅读的形式介绍了“作差比较”这一重要方法。其实它等价于不等式的性质1，但是用了显性化的方式，用起来会更方便。还有，章末有一个“数学活动”，包括两个活动。活动1为借助资料，用一元一次不等式解决实际问题，可提高学生捕捉信息、利用信息的数学建模能力以及“四能”的综合，在这一过程中获得数学活动的基本经验。活动2以游戏的形式，通过尝试，渗透穷举法以拓宽学生的视野，或者从不等式的角度构建不等式组模型并借助正整数解进行综合分析，以此加深对不等式意义的理解。以上这些素材凸显了数学核心素养的培养要求，对学生来说是一种挑战。

通观整个单元，从字里行间挖掘出隐匿于教材中的思想方法：类比思想、化归思想、建模思想、数形结合思想、作差比较法等。这些思想方法都需要教师的提炼与渗透。

（三）对本章起始课的叩问与全章的规划

整合以上认识，综合章建跃先生给出的课程意识[2]阐释，用以下四个问题叩问本章的起始课教学。

1.不等式的章起始课该教什么？

首先确定内容，包含章前语、章头图和第一节的内容，并搭建单元框架。

其次考虑学生已有的知识和经验，既要关注不等式相关概念及性质的教学，也要关注不等式与方程之间类比、迁移的教学。在类比与对比中统摄全章，不仅要让学生学习新知，掌握有关的概念，而且要引导学生掌握类比的方法，发展迁移的能力。

2.本节课能发挥怎么样的育人功能？

记忆会忘记，技能会生疏，唯有沉淀下来的数学思想、理性精神、意志品质等才能在以后的学习生活中发挥作用。这就是我们常说的“能剩下来的东西、可带走的东西、能再生的东西”，这才是育人的根本。方程（组）和不等式（组）分别是研究相等关系和不等关系的数学工具，二者既有联系又有差异，尤其在知识结构上十分类似，这些都给我们育人以导向。类比和对比的迁移路径，数学建模的思路，化归的思想意识等是本节课应该发挥的育人功能。

3.如何教好这节课？应采取怎样的教学策略？

本章起始课的学习应通过回顾学习方程的历程，激活学生已有的经验或研究方法，类比方程的研究思路，用类比猜想、归纳概括等手段展开教与学的活动。在这个过程中初步体会研究数学问题的一般方法，形成策略性知识，进一步强化学生研究问题的迁移意识。这就相当于重组本章的教学内容，整体构建知识体系。

4.这样教在多大程度上实现了育人功能？

教师这样教使零散碎片式的教学变为单元整体化的构建式教学，是“见木更见林”的教学，是指向深度学习的教学。它具有连贯性、结构性和系统性的理性之美，既可以实现数学文化知识的代际传承，也可以实现培养人、发展人的育人宗旨。

综上所述，对全章的规划是在宏观策略的引领下，立足整体，基于教材统整，解构并重构教材单元，采用类比的方式，充分发挥正向迁移的作用，引导学生利用旧知获得新知。以下是对本章单元教学的具体规划。

第1课时：不等式及其解集的概念、不等式的性质及用之解简单的一元一次不等式，并搭建起整章的结构体系（类比、对比等式或方程系统）。

第2课时：一元一次不等式的解法及应用（类比一元一次方程系统）。

第3课时：一元一次不等式组的解法（类比二元一次方程组系统）。

第4課时：小结与复习（彰显类比、对比方法，巩固已学知识）。

第5课时：评价课（从A、B、C三组层级式评价）。

第6课时：分析课（对应A、B、C三组的相应分析）。

在这样的具体规划下，笔者进行了教学尝试，并取得了较好的教学效果。以下是第1课时的教学设计。

二、立足起始，整体统摄

（一）教学目标

（1）理解不等式及其解集的概念，会辨识不等式，能区分不等式解集、不等式的解与方程解的异同;

（2）经历探索不等式性质的过程，能说会用，并深入领会不等式的性质3;

（3）厘清不等式学习的“基本路径”，构建统摄整个单元的结构，形成整体版图，为后续不等式具体内容的学习做好铺垫。

（二）教学重难点

（1）教学重点是不等式解集与不等式性质的学习;

（2）教学难点是类比之下不等式的性质3的顺应与调整。

（三）教学过程设计

1.现实生活蕴不等

师：在现实生活中，遍布着数量关系，既有大有小，也有多有少，同类量之间或相等或不等，大家请看以下几个问题。

问题1：若用a表示姚明的身高，用b表示你的身高，则a、b的关系可表示为。

（a>b）

问题2：天气预报说，今天最高气温28℃，设今天的气温是x℃，则可以得到什么样的数学式子？若最低气温是21℃呢？

（x≤28，x≥21）

问题3：如图1，这块标志牌上的40表示什么意思呢？

图1

生：表示汽车行驶的速度不能超过40 km/h。

师：对，这是公路上对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过40 km/h。

师：如果你是司机，在遵守交通法规的前提下，你会开到多少速度？

（学生说出一些数值，如39、38、37等。）

师：若用v km/h表示汽车的速度，那么可用怎样的式子表示？

（有些学生写出的是等式，教师通过追问“只有这些速度才算是遵守交通法规吗？”引发学生思考。实际上有无数个数值均符合题意，并得出这些数值的共同特征：v≤40。）

可见，现实生活中涉及不等式模型的问题比比皆是。用不等号“<”“≤”“>”“≥”“≠”连接而成的数学式子，叫作不等式。

三个问题源于学生熟悉的现实生活，使他们亲身经历了将实际问题抽象成数学问题的过程，具身感知身边处处有数学，提高学生的参与度，真正使学生成为学习的主体。

2.等与不等共相生

师：我们已经认识了等式，现在到不等式现身了，二者共生，相互为用。请同学们设想一下，下一步我们要学习不等式的哪些内容？

生：不等式的概念、解（解集）、性质、应用等。

师：你为什么做出这样的设想呢？是基于什么而想到的？

生：我由等式（方程）的系列知识想到的。

师：这位同学说得很好，其实这就是类比，等与不等共相生。那我们就借助等式（方程）这一跳板，一起学习不等式的相关知识，同学们在大胆猜测的同时也要细心论证。

类比之下依次获得如下概念。

（1）类比方程的解，得出不等式的解。把使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解。

（2）通过追问不等式的解的不唯一性，对比方程的解，调适机械类比生成的不等式的解集。一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

（3）解不等式。求不等式的解集的过程，叫作解不等式。

师：我们知道数学语言有三种形态：符号语言、文字语言、图形语言。关于不等式“x≤3”，这是什么形态？用其他形态如何表达？

生：这是符号语言，用文字语言可表达为：x小于或等于3，但是用图形语言不懂怎么表达。

师：其实我们可以用类比方程的方法。x=3在数轴上可表示为如图2所示，x≤3指比3小的数，也就是在3的左边，在数轴上可表示为如图3所示。

图2

图3

师生总结：由于方程的解可以用数轴上的点表示出来，通过类比，得出不等式的解集也可以在数轴上表示出来，它所对应的图形可能是射线等，具体如何在数轴上表达就用以上约定俗成的方式。

继续类比等式的性质（内容略），获得如下猜想。

不等式的性质猜想1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变;

不等式的性质猜想2：不等式两边乘（或除以）同一个数，不等号的方向不变。

用类比的方式唤醒学生，引发学生回顾旧知，激活新知储备。类比是数学的引路人，用好类比就等于用好了经验，在宏观上展现了“教结构—用结构”的基本思想，使我们的探索有了方向和停靠点，有路可循、有规可依。

3.迁移之中遇尴尬

师：有了前面获得的直接写出不等式解集的经验，你能写出以下不等式的解集吗？

（1）x+2>3;（2）2x<6;（3）-3x<12;（4）5-2x>1。

学生活动：（1）借助不等式的性质猜想1，得x>1，答案正确;（2）借助不等式的性质猜想2，得x<3，答案也正确;（3）和第（2）题方法相同，得到x<-4，答案不正确，至此矛盾就出来了，若学生发现不出矛盾，可通过列举特殊值给出反例，用对比的方式引起学生的自醒，引出对不等式的性质猜想2的质疑。

由此，不等式的性质猜想2分化成两条：

（1）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变;

（2）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

验证1：工具——数轴

我们已经知道任何一个实数都可以在数轴上用点表示出来，其大小一定，在数轴上的位置就固定。若兩个实数分别加（减）同一个数，就相当于均向右（左）平移同样的单位长度，故它们的大小顺序不变，以此对等式的性质1做出证明。若两个实数分别乘以同一个正数，根据乘法的意义即特殊的加法，可推知两个实数都连续地按同样规律移动，大小顺序也不变，至于同除以同一个正数可统一成乘法，不等式的性质2得到证明。对于同乘同一个负数，可化为同乘同一个正数的状态，然后借助数轴上相反数的表示即可解释。不论原来的两数性质如何，同乘同一个负数后顺序恰好与原来相反，如此就验证了不等式的性质3。（说明：若学生对这一工具认识不足，可避开这一方法的使用）

验证2：选有代表性的数通过验证做出说明（略）。

至此，不等式的性质得以验证，归纳如下。

不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变;

不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变;

不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

用符号表达如下（数学语言形态的转化）。

不等式的性质1：如果a>b，那么a±c >b±c;

不等式的性质2：如果a>b，c>0，那么ac>bc（或ac>bc）;

不等式的性质3：如果a>b，c<0，那么ac

在迁移过程中通过求解发现，在不等式两边同乘（或除以）同一个负数时，出现意外，从而发现端倪。不等式的性质猜想2出了问题，打破了学生原有的认知平衡，需要建立新的认识理顺这种不和谐的关系，在顺应中落实分化出不等式的性质3的教学，最后同化到学生的认知结构中去。可见，通过类比，学生可以学习相似或相通的知识，但是相似或相通的知识之间往往有差异，所以类比之后一定要通过对比凸显差异，并进行合理的调适、顺应。这其中渗透了批判性思维。

4.不等求解亦从容

师：我们通过类比获得猜想，通过验证调整了先前经验，得到规范的不等式性质，这样再求不等式的解集就有了可靠的依据，试求解下面的题目。

解不等式：（1）2x<3x+1;（2）2（x-1）>3;（3）x-12≤1。

（学生尝试解决，完成后，教师提出问题。）

师：这些不等式有什么共同特点？你能给它们起一个名字吗？

（学生活动，达成共识。）

师生总结：类比一元一次方程，给出一元一次不等式的概念。只含一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫作一元一次不等式。

通过求解进一步巩固不等式的性质，在求解完成后，教师通过追问的方式让一元一次不等式的概念在类比中自然落地。

5.师生共话等不等

（1）等式与不等式的区别与联系有哪些？

（2）等式性质与不等式性质的区别点在哪？

（3）整个学习过程中用了哪些数学思想和方法？

通过问题清单的形式，教师引导学生回顾课堂所学，形成结构图（如图4）。

图4

此环节的设计是用问题清单的形式突出核心知识，用结构图展示知识体系，形成呼应之势，便于学生理解与记忆。

三、反思评价

（一）基于整体，跨步构筑

整体的构筑依赖于对教材的统整。关于解读教材，笔者从解构走向重构，整合相关资源，形成新的单元结构。关于统整，从知识角度来说，就是联系，从而形成知识组块。它不是将教材中的知识分解成一个个孤立的知识点让学生去学、记、用，而是认真研究教材、通透教材，弄清知识的背景、内涵及其延展性。从而掌握教材的内容体系以及编写意图，不拘泥于教材的顺序或习惯设定的课时，敢于打破常规、另辟蹊径，大跨度推进教学进程。这期间可暂不苛求知识的深与透，淡化夯实双基，但要关注思想方法的渗透与植入，重在思维，重在发展，重在先行组织，重在形成结构。

（二）类比是引路人，对比是调节器

等式与不等式相辅相成，和谐共生。等式（方程）是研究等量关系的工具，而不等式是讨论不等量关系的工具，二者相互照应，互补共生。基于它们的内在联系，可使用类比的方式，借力“同化与顺应”，实施本章起始课教学，并力图用6个课时完成本章的学习任务。这就是全息论下整体化教学策略的具体实施。

整节课，以类比为主线展开探究活动。类比是笔者研究的全息论下整体化教学强有力的推手，通过类比，提出猜想，再验证猜想，它是发现问题的源泉。但类比作为合情推理其结果未必正确，还需要通过对比把问题、困惑摆出来，在认知冲突中凸显偏差认知，强化异中有同、同中存异的辩证之识，调适类比朝着正确的航向前进。因此，类比之下常常需要“同化与顺应”联手进行迁移。如本文基于等式性质联想到不等式性质的教学，其中不等式的性质1较顺利地同化到原有认知图式中去，但不等式的性质2打破了原有的认识平衡，通过调适，顺应到学生的认知结构，达成新的认识平衡。在与方程的求解对照中，进一步体悟类比的思想，使之能积淀到后继学习的经验，为迁移蓄能，进而获得学习智慧，提升元认知能力。

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2] 章建跃.树立课程意识 落实核心素养[J].数学通报，2016（5）：1-4.