n×n对称矩阵空间的对称基及其基秩不等式

2020-10-21冯妍妍陈梅香杨忠鹏林志兴

北华大学学报（自然科学版） 2020年5期

关键词：下界定理习题

冯妍妍，陈梅香，杨忠鹏，林志兴

(1.莆田学院数学与金融学院，福建莆田 351100；2.福建师范大学数学与信息学院，福建福州 350007)

1 基本命题

(1)

则S0是按字典序排列的Sn×n(P)的对称基且dimSn×n(P)=n2.

命题1和式(1)给出的Sn×n(P)的对称基S0是众所周知的．根据我们查阅文献还没有发现其他形式的对称基(见文献[8]习题1303，[9]习题3.3.5，[10]例3.29，[11]问题集2.3.37，[12]例754，[13]6.8.2节，[14]例6.21等)．按文献[15]0.10节，[16]251页约定有形式矩阵

(2)

由式(1)、(2)可得

引理1设S0是由式(1)所确定的Sn×n(P)的对称基，则

A=(aij)=(S0)(a11，a12，…，a1n，a22，a23，…，a2n，…，an-1，n-1，an-1，n，ann)T∈Sn×n(P)，

(3)

(4)

(5)

命题2(见文献[17]命题1) 设为实数域，()1≤i≤j≤n}由式(5)所确定，则S1是由对称正定矩阵构成的Sn×n(P)的基(以下称之为对称正定基).

命题2大大地开阔了Sn×n(P)的基的多样性的视野.

例1说明每个实对称矩阵在对称正定基S1下的坐标是文献[17]没有解决好的问题.

为了区别Pn×n中不同基，文献[7]给出：

(6)

由命题1和2知Sn×n(P)上的对称基是不唯一的，这样类似于命题3，可有

命题4设S={Sij∈Sn×n()1≤i≤j≤n}是Sn×n()的任意对称基，则

(7)

证明：由dimSn×n()及式(5)中每个都是对称正定的，即知由式(1)知，S0中每个所以

即知式(7)成立．证毕.

与命题3及其基秩不等式(6)对照，自然产生一个疑问，对Sn×n()的对称基的基秩不等式(7)来说，n2是不是可达的最大下界？

本文首先指出，对Sn×n(P)的对称基的基秩不等式(7)来说，n2不是可达的最大下界．我们在首次给出Sn×n(P)的最小基秩的对称基的基础上，给出其基秩不等式，并证明了基秩不等式的最大下界和最小上界都是可达的；然后得到了每个对称矩阵在最小基秩、最大基秩的对称基下的线性组合的显示表达式．作为应用可修正例1的表出.