初中数学“图形与几何”教学中渗透模型思想探讨

江文君 廖小勇

摘 要：数学新课程标准提出要讓学生体会和应用数学思想与方法，模型思想的教学对学生理解抽象问题起着重要指导作用。本文在阐述模型思想及其教学要求基础上，以“将军饮马”典型问题的教学设计为例，探讨如何寻求合适的教学活动和教学方法，以便更好地在初中数学“图形与几何”教学中渗透模型思想。

关键词：初中数学;图形与几何;模型思想;数学教学

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。”[1]对于“几何与图形”模块中的教学，上述标准提出教学需要重视实物或模型在教学中的“奠基”作用，经历图形的抽象、分类、性质探讨的过程，形成清晰的“图形”认识。

史宁中教授曾表示，数学发展所依赖的“基本思想”可以归结为三个核心要素：抽象、推理、模型。学者陈蕾用“知联系，悟应用;助抽象，炼思维”12字阐述过渗透模型思想的价值。[2]但当前不少初中数学教师在课堂上往往将“模型思想”等同于数学建模，等同于数学应用，忽视其中的差异，对模型思想的理解过于狭窄。还有部分教师对具有较强现实背景的“原坯问题”，因其对初中生而言模型的建立过程过于复杂，其结果也存在不确定性而存有排斥心理。

因此，本文试讨论在初中数学“图形与几何”教学中如何渗透模型思想的教学问题，限于篇幅仅以“将军饮马”典型问题的教学设计为例而展开。不当之处，请同人批评指正。

一、模型思想及其教学要求

模型思想是指能够有意识地运用数学的概念、原理和方法去理解、描述和解决现实世界中某类问题的思想。模型思想对学生理解抽象问题起着重要的指导作用，其教学要求的要义就是能够把握客观对象的本质与规律，并能用合适的数学语言描述和用恰当的数学符号表达出来，从而获得刻画客观对象的数学模型。狭义上看，模型思想是指建立数学模型来解决实际问题的思想;广义上看，模型思想的本质是培养学生运用数学思维解决问题。

根据初中生数学学习现状及数学学习特点，我们认为在教学中渗透模型思想应注意几点：一是渗透模型思想首先要让学生明确数学与客观世界的关系，将实际问题数学化，使学生能够更好地理解模型思想，为培养学生建模能力打下基础，帮助学生更好地把握核心概念，从而理解数学的本质。而数学化解决的问题，最终还是要回归到实际，解决实际问题，这才是数学模型思想的最终归宿。二是模型思想的教学不能脱离知识体系的构建单独渗透，而是要在传授知识的同时适当地渗透模型思想。模型思想的渗透目的在于使学生更好地理解数学知识及本质，教师在课堂教学的安排上就应该有意识地给数学思想的教学预留适当时间，以数学知识为载体进行，注意将数学知识与数学思想融为一体，因势利导，水到渠成。三是模型思想是抽象的，是学生在学习掌握知识的过程中逐渐积累的、一个长期的反复的认知过程。渗透模型思想本质的领悟，需要教师结合数学知识循序渐进地反复渗透，以提高学生建模能力，加强学生对模型思想的领悟。通过渗透的渐进性，汇滴水为江海，变“点”为“线”，让学生在学习中不断感悟，成螺旋上升的状态。

二、在“图形与几何”教学中的渗透模型思想

在初中数学教学过程中渗透数学模型思想，既是在数学学习特殊阶段更好构建数学逻辑思维、培养学生数学自学能力的教学方式，也是提升初中数学教学活动品质的重要方法。

图形世界的直观性决定了其教学过程中更易渗透建模思想，无论是平面几何模型，还是立体几何模型，学生都能较容易地找到具体事物与之对应。学生对图形的认识是由简到易、呈螺旋式上升的，先了解几何模型的特点，再从具体事物中抽象出具体的数学模型，通过对模型的认识分析并解决问题。初中阶段的“图形与几何”分为图形的性质、图形的变化、图形与坐标。以下我们仅通过图形的性质解决“将军饮马”的问题来进行讨论。

问题1唐代诗人李欣的《古从军行》的开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”。诗中隐含者一个有趣的数学问题：如图1—1，将军在观望烽火之后从山脚上的瞭望台出发，奔向交河旁边饮马，饮马后再到军营，试问位于交河上的哪一点饮马时才能使总的路程最短？（假设可骑马过河）

问题2据说，在古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦。有一天，一位将军向他请教了一个问题：如图1—2，从军营A地出发到河边饮马，然后再军营B地，走什么样的路线最短？如何确定饮马的地点？

师：这需要我们解决什么问题？

生1：问题1，如图2—1把河看作直线，军营看作点A，烽火台看作点B，直线的异侧有两点A和B，在直线上求作一点P，使PA+PB的值最小。

生2：问题2，我们可以把它看作一个求最短路径的问题。如图2—2，直线的同侧有两点A和B，在直线上求作一点P，使PA+PB的值最小。

（教学处理：古诗和小故事引出课题，激发学生的学习兴趣;询问学生需要解决什么问题，诱导学生从实际问题中抽象出数学问题，遵循数学化原则，促使学生在观察、认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思维和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织;明确数学与生活的关系，将生活问题数学化，培养学生用数学的眼光去看世界，让其充分体会到数学与生活实际的联系，明白数学的实用性。）

师：如何使PA+PB的值最小？

生3：对于问题1，连接AB交直线于点P，点P就是所求作的点，此时PA+PB的值最小。

师：为什么？

生3：如果P不在线段AB和直线的交点上，而在其他地方，不妨设为点P′，如图3，根据“两点之间线段最短”，线段AB将是点A和点B所有连线中最短的一条，即AB

师：其他人还有不同的看法吗？

生4：根据“三角形任意两边之和大于第三边”，可以得到，在△ABP′中，AB

（教学处理：问题1的设置意在对“两点之间线段最短”这一公理进行复习，提炼出解决问题的模型，为问题2的解决做铺垫。遵循循序渐进的原则，教学设计由易到难，由简到繁，逐步深化提高，使学生系统地掌握基础知识、技术、技能和科学的锻炼方法。）

师：问题2呢？

生5：如图4，过点A作AP丄交直线于一点P，根据“过直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短”，可得PA+PB的值最小。

生6：不對，AP是点A到直线的最短线段，但是不代表PA+PB的值最小。

师：那么同学们看看问题2和问题1之间有什么联系和区别？

生7：问题1的两点在直线的异侧，问题2的两点在直线的同侧。

师：问题1大家已经解决了，那么如何处理问题2呢？

生8：我们是不是可以把问题2两点在直线同侧的情况转化成问题1两点在直线异侧的情况处理？

师：怎样转化？

（学生先独立思考，再进行小组讨论。）

生9：如图5—1，作点A关于直线的对称点A'，由于轴对称性可得，在直线上任取一点P，都有PA=PA，所以求PA+PB的最小值，即求PA+PB的最小值。而两点在直线异侧的情况，问题1中已解决。如图5—2可知，当P在线段AB'和直线的交点上时，根据“两点之间线段最短”，知PA+PB的值最小，因为PA+PA，得在P点时PA+PB的值最小。

生10：老师，除了根据“两点之间线段最短”证明，还有其他方法。如图6，假设P'为直线上除点P外的任意一点，根据“三角形任意两边之和大于第三边”，在△PAB中，PA+PB>AB，也就是PA+PB>PA+PB，即在P点时PA+PB的值最小。

师：大家的回答都很正确，下面请一位同学来总结一下将军饮马问题这个模型的典型特征和它的解决方法？

生11：将军饮马问题的特征是有三个点，两个定点和一个动点，两个定点在直线的同侧，以动点所在的直线为对称轴，求这个动点到两个定点的线段和最小。

生12：首先，对问题里动点及定点进行分析;接着，通常以动点所在的直线为对称轴，做出两个定点其中的一个定点关于直线的对称点;然后，连接对称点与另外一个定点，线段与对称轴直线的交点即为所求的动点位置。

（教学处理：先提问题1为问题2做铺垫，诱导学生自己发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，体现学生的主体及教师的主导作用。要求学生先各自独立思考，再分小组讨论问题，培养学生自主学习能力及合作探究能力。遵循适度性原则，讲解基础知识的同时适当地渗透模型思想，我们知道模型思想的渗透目的在于使学生更好地理解数学知识、数学本质。将数学知识与数学思想融为一体，因势利导，水到渠成。）

结语

本文就初中数学“图形与几何”模块一个问题的教学做了简要分析，探讨了模型思想的教学渗透问题。事实上，模型思想在初中数学教学中的渗透是多方面的。在实际教学过程中，教师对教材中模型思想的挖掘程度、对学生进行渗透的方法、想要达到怎样的渗透程度，都直接关系到学生最终对模型思想的掌握程度。教师需要紧跟课改的步伐，适时改变自己的教学方法及教学观念，努力提升自己的教学水平;不断地尝试和创新，以求更好地发挥数学模型思想在数学教学的优势，从而提升数学教学的品质。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]陈蕾.渗透模型思想的教学策略：以小学数学为例[J].上海教育科研，2018（10）：93-96.

作者简介

江文君，女，黄冈师范学院2019级教育硕士，学科教学·数学专业学位研究生。

廖小勇，男，黄冈师范学院数学与统计学院教授，硕士生导师，研究方向：数学教育学。