例谈数学思想在数列教学中的融合

林金德

摘 要：问题是数学的心脏，知识是数学的躯体，数学思想方法则是数学的灵魂. 数学思想是人们对数学理论与内容的本质的认识，是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，这就要在教学中注重挖掘数学思想，让数学思想自然地渗透于教学之中。下面谈谈在数列教学中数学思想的渗透。

关键词：设计知识形成;融合观察;猜想;归纳;抽象;概括

一、新课程要求“让学生经历知识的产生和发展过程”

强调了教学中要注重知识的形成过程. 因此，在数列的有关概念、公式教学中尽可能地引导学生对知识的形成过程进行探究，渗透观察、分析、猜想、归纳、抽象、概括、类比等数学思想方法。

比如，在等差数列概念形成过程的教学中，可以这样设计：第一步，列举一些问题情境;第二步，学生活动，即通过学生观察，让学生发现每一个问题情境中数的共同特点;第三步，建构数学，也就是归纳总结，形成等差数列的概念。

二、等差数列、等比数列教学过程中，融合累加法、叠乘法、倒序相加法、错位相加法等数学思想方法

（一）累加法和叠乘法

在等差数列通项公式的推导中要揭示出“累加法”， 在等比数列通项公式的推导中则要提炼出“叠乘法”. 当然，在解决涉及形如an=an-1+f（n）或an=f（n）an-1（n≥2）给出的递推数列问题时，也可以考虑累加法或叠乘法。

例1  已知数列{an}满足a1=1，an=3n-1+an-1（n≥2），求数列的通项公式.

解析  由已知an-an-1=3n-1，则a2-a1=31，a3-a4=32，a4-a3=33，…，an-an-1=3n-1，然后，将各式累加可求得。

（二）倒序项加法和错位相减法

在等差数列前n项和公式的推导中要概括出“倒序相加法”， 在等比数列前n项和公式的推导中则要领悟出“错位相减法”的精髓.

例2  （1） 設，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，

可求f（-5）+f（-4）+ … +f（0）+ … +f（5）+f（6） 的值.

（2）设数列{an}的通项公式为，求数列{an}的前n项和Sn.

解析 （1）通过观察发现，待定式中自变量呈现对称美，不难发现-5+6=-4+5=…

=0+1=1，由此发出“若自变量的和为1，则其函数值之和等于一个常数”的感悟. 很容易导出f（x）+f（1-x）=1. 于是该题可用“倒序相加法”求解，得出所求的值为6.

三、解决数列问题过程中，融合函数、方程、基本量、分类讨论、化归、极限等数学思想方法

（一）函数思想

数列是一种特殊函数，教学中要突出数列与函数的内在联系. 关于等差数列，由通项公式和求和公式看出，an和Sn都是n的函数，当d≠0时，an是n的一次函数，Sn是n的二次函数. 因此可以用一次、二次函数的有关知识来解决等差数列的通项、前n项和的问题. 遇到有关递推不等式问题时可转化为相关函数的单调性问题.

例3 设函数f（x）=x-sinx，数列{an}满足：0

解析  先用数学归纳法证明0

（ⅱ）假设当n=k时结论成立，即00，则在

（0，1）上是增函数，又f（x）在[0，1]上连续，f（0）

（二）基本量思想和方程思想

等差数列或等比数列的通项公式、前n项和公式中均含有四个量，运用方程思想，知三求一. 在解决等差数列或等比数列问题时，把首项及公差、公比视为等差数列、等比数列的基本量，可以根据条件列出方程或方程组，通过解方程求得所求的量.

例4  在1与2之间插入n个正数a1，a2，a3……，an，使这n+2个数成等比数列;又在1与2之间插入n个正数b1，b2，b3，……，bn，使这n+2个数成等差数列. 记An=a1a2a3……an，Bn=b1+b2+b3+……+bn. 求数列{An}和{Bn}的通项.

解析（Ⅰ）设公比为q，公差为d，等比数列1，a1，a2，……，an，2，等差数列1，b1，b2，……，bn，2. 则A1=a1=1·q  A2=1·q·1·q2  A3=1·q·1·q2·1·q3

又∵an+2=1·qn+1=2得qn+1=2. An=q·q2…qn=（n=1，2，3…）.

又∵bn+2=1+（n+1）d=2  ∴（n+1）d=1. B1=b1=1+d，  B2=b2+b1=1+d+1+2d ， Bn=1+d+…+1+nd=1.5n.

参考文献：

[1]刘向东.  注重过程，贵在自然[J].  高中数学教与学，2002，6.

[2]张健.  高中新课程必修5“数列”内容分析及教学建议[J]. 中学数学教学参考，2006，11.

[3]刘英琳.  巧用数列极限求解析几何问题[J]. 中学数学教学参考，2005，3.