椭圆中“设点、设直线”解题思路探究

郝海军

[摘  要] 解析几何题作答时要智慧规划答题路径，这种智慧体现在方法的选择、答题路径的合理规划上. 作答解析几何试题时，是设点还是设直线，需要根据具体试题而定.

[关键词] 椭圆;设点;设直线

椭圆是高中数学解析几何的重要知识点，在该知识点的教学中，相关问题的解题思路是困扰学生的难题之一. 笔者在教学中结合相关理论的学习，摸索出了“设点、设直线”的解题思路，现进行一个综合阐述.

课程标准相关内容解读

《普通高中数学课程标准》（2017年版）（以下简称《标准》）中关于平面解析几何的阐述：本单元的学习，可以帮助学生在平面直角坐标系中，认识直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线的几何特征，建立它们的标准方程;运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系;运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想.

《标准》中强调了方程、代数方法的重要性. 在具体解决椭圆问题时，是选择设点还是设直线？本文通过例题教学，说明如何规划答题路径.

备考策略概述

从备考的角度看圆锥曲线尤其是椭圆知识的考查，教师要认识到以下三点：

1. 圆锥曲线的定义，是圆锥曲线与方程的核心内容，通过不同曲线的定义，学会了解生活中的一些图形规律，避免畏惧高考中的创新类试题.在使用各曲线定义时，要注意定义中的隐含条件.

2. 圆锥曲线的标准方程和简单几何性质是高考的热点，特别是椭圆、双曲线的离心率，考查的频率较高.解题时，只需注意椭圆、双曲线中a，b，c的不同含义和关系，得出关系式就可解决问题.

3. 直线与椭圆的位置关系也是考查的重点之一，由直线、圆、椭圆、抛物线可以组成一些热点问题，如定点、定值、范围、最值等.

这一部分在高考中重点考查内容包含椭圆的定义、标准方程及离心率、准线等常见知识点.题型分为客观题和解答题，难度则以中档题为主，在解答题中也会出现圆锥曲线和直线与圆综合的问题.

解析几何答题要领

一般认为，答题需要智慧，这种智慧体现在方法的选择、答题路径的合理規划上. 作答解析几何试题时，是设点还是设直线？这需要根据具体试题而定. 在设点的前提下，答题路径是怎样的？其中运算最为复杂的节点在哪里？这种运算是不是你熟悉的？同样设直线又怎样？在对不同方案进行简单比较、规划以后再动手操作，必然会事半功倍. 解答解析几何试题时，特殊情形要单独说明. 运算变形过程要完整细致，不可出现假证现象.

例1：如图1，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点■，■，焦点F1（-■，0），F2（■，0），圆O的直径为F1F2.

（1）求椭圆C及圆O的方程.

（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.

①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标;

？摇②直线l与椭圆C交于A，B两点，若△OAB的面积为■，求直线l的方程.

分析：本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力.

解：（1）因为椭圆C的焦点为F1（-？摇■，0），F2（■，0），

可设椭圆C的方程为■+■=1（a>b>0）. 又点■，■在椭圆C上，

所以■+■=1，a2-b2=3， 解得a2=4，b2=1，

因此，椭圆C的方程为■+y2=1.

因为圆O的直径为F1F2，所以其方程为x2+y2=3.

（2）（方法一）思维流程：设点P（x0，y0）■用P点坐标表示直线l的方程■直线l的方程与椭圆C的方程联立，得点P的坐标.

①设直线l与圆O相切于P（x0，y0）（x0>0，y0>0），则x■+y■=3，

所以直线l的方程为y=-■（x-x0）+y0，即y=-■x+■.

由■+y2=1，y=-■x+■， 消去y，得

（4x■+y■）x2-24x0x+36-4y2=0.（*）

因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以Δ=（-24x0）2-4（4x■+y■）（36-4y2）=48y■（x■-2）=0.

因为x0，y0>0，所以x0=■，y0=1.

因此，点P的坐标为（■，1）.

②分析：注意到直线l与圆O相切于P（x0，y0），所以OP⊥AB.

因为三角形OAB的面积为■，所以■AB·OP=■，从而AB=■.

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由（*）得x1，2= ■，

所以AB2=（x1-x2）2+（y1-y2）2=1+■·■.

因为x■+y■=3，所以AB2=■=■，即2x■-45x■+100=0，

解得x■=■（x■=20舍去），则y■= ■，因此P的坐标为■，■.

综上，直线l的方程为y=-■x+3■.

（2）（法二：设直线）思维流程：设直线l的方程y=kx+b■直线l与圆O相切，得b与k之间的关系■直线l的方程与椭圆C的方程联立，求得k的值.

直线l斜率存在，设直线l：y=kx+b.

因为l与圆O相切，所以b2=3（1+k2）.

①因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点

所以由■+y2=1，y=kx+b， 消去y，得

（1+4k2）x2+8kbx+4b2-4=0.（*）

因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，

所以由Δ= 0可解得b2=4k2+1.

因为点P在第一象限内，所以k<0，所以k=-■. 所以kOP=■，直线OP：y=■x.

因此，点P的坐标为（■，1）.

②分析：注意到直线l与圆O相切于P（x0，y0），所以OP⊥AB.

因为三角形OAB的面积为■，所以■AB·OP=■，从而AB=■.

设A（x1，y1），B（x2，y2），

所以AB=■x1-x2=■·■，且由①知

Δ>0，x1+x2=■，x1·x2=■，结合b2=3（1+k2），代入得

17k4-65k2-100=0. 因为k<0，b>0，解得k=-■，b=3■，直线l的方程为y=-■x+3■.

练习：

已知椭圆■+■=1，动直线l与椭圆交于B，C两点（B在第一象限）.

（1）若点B的坐标为1，■，求△OBC面积的最大值;

（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），且3y1+y2=0，求当△OBC面积最大时，直线？摇l的方程.

通过上面的阐述可以发现，在椭圆知识的解题过程中，教学智慧体现在引导学生掌握解题技巧上，这个技巧不是程序化的基础，而是学生理解了椭圆知识体系以及问题逻辑之后形成的认识. 在教学中多引导学生积累这样的认识，可以让学习变得更加有效.