用数学体验奠定高中生数学抽象的基础

范红梅

[摘  要] 数学学科核心素养的诸多要素，肯定不可能毕其功于一役，选择其中的一个要素进行细致的研究，并能够寻找到突破的途径，也能够让核心素养更加顺利地落地. 数学抽象是数学学科核心素养的第一要素，也是数学学科的基本特征. 学生在了解数学抽象的时候，一个重要的前提就是必须在一定的情境当中，而情境实际上是为学生提供思维素材的，思维素材要想进入学生的大脑，教师就必须拓展新的更加有效的途径. 实践表明，数学体验应当是一条比较好的途径. 高中数学要重视数学体验，要明确数学体验的数学抽象目标指向，这样两者衔接，可以保证教学的高效，也可以保证数学学科核心素养切实落地.

[关键词] 高中数学;数学体验;数学抽象

自从数学学科核心素养这一概念在核心素养概念的演绎之下被提出之后，如何培育学生的数学学科核心素养，就成为高中数学教师认真思考的问题之一. 考虑这个问题并解决这个问题，一个重要的原则就是要了解学生的基础，了解学生对数学学习的感受. 事实上，长期以来高中数学的教与学都面临着较大的挑战，常听年轻的数学教师无奈地说：“高中数学太抽象了，没法让学生理解透. 难教！”又常听高中学生苦恼地说：“数学离生活太远了，理解不了. 难学！”难教与难学形成了高中数学教学的一道难关，这个难关不破除，核心素养的培育就是一句空话. 而且需要强调的是，数学学科核心素养的诸多要素，肯定不可能毕其功于一役，选择其中的一个要素进行细致的研究，并能够寻找到突破的途径，也能够让核心素养更加顺利地落地.

数学抽象是数学学科核心素养的第一要素，也是数学学科的基本特征，长期囿于应试的高中数学教学，往往在知识的学习与应用（解题）中淡化了数学抽象的印迹，这显然并不符合核心素养培育的需要. 彰显数学抽象在高中数学知识学习中的价值，应当成为数学教师的重要任务. 笔者在教学反思中发现，学生在了解数学抽象的时候，一个重要的前提就是必须在一定的情境当中，而情境实际上是为学生提供思维素材的，思维素材要想进入学生的大脑，教师就必须拓展新的更加有效的途径. 实践表明，数学体验应当是一条比较好的途径. 本文就重点谈谈数学实验在学生数学抽象过程中能够发挥的基础性作用.

高中生的数学抽象需要基础

数学抽象一定是需要基础的，没有了这个基础，数学抽象就不可能真正发生. 这个基础包括两个方面的内容：一是数学抽象必须具有抽象的对象，否则数学抽象就是无源之水、无本之木;二是数学抽象必须具有抽象的思维动机，只有有了数学抽象的动机，学生才有可能主动地用数学思维去抽象数学对象. 相比较而言，传统的高中数学教学中，教师往往重视前者而忽视后者，往往只侧重于给学生创设情境而提供素材，却忽视了学生在面对这些素材的时候，如何激发学生主动地对这些素材进行抽象. 很显然，后者更加重要！

举一个简单的例子，学习“柱、椎、台、球的结构特征”，就需要学生大脑中有清晰的关于柱、椎、台、球的表象，这个表象怎么来呢？当然是学生自己去建立，建立的过程就是一个数学抽象的过程. 在生活中，找出与柱、椎、台、球相关的具体物体并不困难，甚至让学生从数学角度对这些物体进行描述也不困难，而这就已经是一定程度上的数学抽象了. 但在笔者看来，这种数学抽象还属于思维水准较低的，还是学生的一种直觉性的反映，如果高中数学教学满足于这样的抽象，那是无法培养学生的数学抽象素养的. 之所以这么认为，是因为学生在这样的抽象过程中缺乏抽象的动机，思维水平不处于高阶. 有效的教学设计可以是，让学生比较柱、椎、台、球——通过比较来发现不同“体”的不同，来发现“体”的“特征”的不同，这样学生在比较的时候有动机，在比较的过程中会运用数学思维，于是高水准的数学抽象就发生了. 很显然，这是一个数学体验的过程. 从这个角度来看，高中数学尤其是其中的数学抽象有着较强的理论性，在学习上要求有较高的思维能力才能获得有效掌握，为此高中数学教学中有必要引入体验式教学模式，以提高教学效果.

数学体验奠定数学抽象基础

从上面的初步分析可以发现，在高中数学教学中，引导学生进行数学体验，是可以为数学抽象奠定坚实的基础的. 这本身也符合数学抽象的本义，作为数学教师都知道，教学抽象体现了人类的活动. 从数学抽象的背景、产生、内容、方法和形式等方面探讨数学抽象活动的过程与结果、形式与实质之间的思辨关系是深化数学教育理论研究的需要. 为了满足这种需要，在高中数学教学中应当尽可能地让学生进行数学体验，并引导学生进入数学抽象的情境，进而引导学生运用数学思维对研究对象进行抽象.

例如，在建立“点、直线、平面之间的位置关系”的时候，笔者引导学生去完成这样的一个体验：一是寻找能够表示点、直线和面的实际物体. 这是学生根据数学概念寻找数学原型，本身是数学抽象的相反过程，但这个难度不大，学生容易想到，譬如用粉笔头表示点，用笔或直尺表示线，用纸或书表示平面;二是让学生通过三者在空间中的关系，去判断点与线的位置、点与面的位置、线与面的位置存在哪些关系. 这是一个基于形象事物思考的数学抽象过程，学生首先要通过实物处理，判断点与线的位置、点与面的位置、线与面的位置，这是一个比较复杂的过程，学生需要在空间中想象、模拟到两两之间可能的位置关系，如点与直线的直线外或直线上，线与面的平行、重合、相交，等等，其中前者可以为后者奠定思维基础. 因为实物是有体积和大小的，“点在线上”这一认识此前学生就已经具有，在此处体验的过程中，“点的体积与大小”就要被忽视，而忽视的过程就是抽象的过程，其后寻找线与面的位置关系的过程，更加是数学抽象的过程，因此学生此处更多的是数学抽象过程支配着空间位置关系的构建. 有的学生并不能把三种位置关系都想全面，尤其是直线与平面平行的表象很难构建出来，这个时候他们就会自发地“比划”，这就是体验，同时又是抽象——大脑中进行抽象，手上进行体验（当然这里还与空間想象有一定的关系，具体不展开阐述）.

总之，在这样的过程中，学生的体验是充分的，思考也是充分的，思考的对象逐步由形象的实物，过渡到抽象的点、线、面，从形象物体到抽象的数学概念的演变，再到空间关系的构建，一个建立在数学体验基础上的数学抽象过程也就充分地呈现在面前. 特别需要指出的是，学生一旦完成了这个数学体验，他们还会用数学抽象的结果研究生活中的新情境中的事物. 如将教室中墙角当作一个点，将两个墙面的交界处当作线，将墙当作面，这样就能够更好地巩固点、线、面位置关系的认识. 可以肯定地讲，有了数学体验做基础，学生的数学抽象过程就是实实在在有收获的，能够真正培养学生的数学抽象素养.

数学抽象视角下的数学体验

在高中数学教学中，数学体验其实一直是数学教师所追求的学习过程，这是因为数学学习原本就是一个数学再创造的过程，学生学习数学的过程犹如数学自身发展的过程. 从这个角度而言，学习数学的过程也是伴随着抽象的过程. 因此，在教学中，教师应引导学生感受抽象活动的必要性，体验抽象活动的过程性，讲究抽象活动的方法性，在抽象活动中培养数学抽象思想. 这阐述了数学体验与数学抽象之间的关系，同时也给了高中数学教师一个启发，那就是在数学抽象的视角之下思考数学体验，并设计数学体验的过程，就可以让数学抽象更符合学生的发展需要，更符合学生数学学科核心素养落地的需要. 对此，笔者总结了两点认识：一是基于数学抽象设计数学体验，不至于让数学体验偏离教学的目标，很多时候数学体验被当成了数学教学的目标，这显然是不对的. 因为其只是促进数学知识生成的途径，本身不能够因为体验过程热闹而喧宾夺主. 二是数学体验明确了数学抽象的目标之后，学生的思维更加容易在体验过程中基于数学抽象的需要而运行. 数学抽象与数学思维密切相关，数学思维的高效与否，决定了数学抽象的过程的质量，在数学体验中数学思维可以自然发生，而数学抽象的目标则明确了学生的数学思维方向所指，学生的思维就不容易偏转甚至是偏离，那数学教学的过程就可以保证高效.

总的来说，高中数学要重视数学体验，要明确数学体验的数学抽象目标指向，这样两者衔接，可以保证教学的高效，也可以保证数学学科核心素养切实落地. 这也提醒数学教师，研究数学知识发生的逻辑关系，这样就能够更好地将先进的教学理念转化为实践.