认知视角下的数学抽象理解与实践

王坚

[摘  要] 面向数学学科的核心素养，有包括数学抽象在内的六个要素，数学抽象位居第一要素. 研究发现，作为阐述学生学习过程最为科学的理论之一，认知心理学在解释数学抽象的时候，也有着重要的作用，因此建立认知的视角去建立对数学抽象的理解，也成为高中数学一线教师的重要选择. 从认知角度理解数学抽象，至少有这样两点值得注意：第一，数学抽象离不开高度概括;第二，数学抽象是在概括的基础上，提取新的研究视角下需要的要素，然后在更高水平上进行重组. 有研究表明，数学抽象的基本步骤是：分离属性与建构模型——概括与一般化——定义与符号化——系统化.

[关键词] 高中数学;数学抽象;认知视角

《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确提出了培养核心素养的问题，即认为数学核心素养包含具有数学基本特征的思维品格和关键能力，是数学知识、技能、思想、经验及情感、态度、价值观的综合体现. 进一步，面向数学学科的核心素养，有包括数学抽象在内的六个要素，数学抽象位居第一要素. 一般认为，这六个要素的排序不是随意的，数学抽象作为数学学科知识体系建立的最基本的方式，理应受到教师的重视. 这个重视应当是怎样的形态呢？这个问题引发了笔者的高度重视，笔者以为，重视既是一种态度，更是一种水平. 没有恰当的水平，有时的“重视”反而会让教学走弯路，对数学抽象的重视首先建立在对数学抽象的科学理解上，这个科学理解指的是学生的数学抽象过程，这个过程是否符合学习心理规律，是问题的关键所在. 笔者在研究中发现，作为阐述学生学习过程最为科学的理论之一，认知心理学在解释数学抽象的时候，也有着重要的作用，因此建立认知的视角去建立对数学抽象的理解，也成为高中数学一线教师的重要选择. 尽管认知心理学对于绝大多数一线教师来说，还存在陌生的地方，但选择其中最基本的理论去寻找对数学抽象的解释，还是可行的. 本文试就认知视角下的数学抽象理解与实践，谈谈笔者的一些初步思路.

对数学抽象的理解需要建立认知视角

通常情况下，对数学抽象的理解常常关注的是这样几个问题：数学抽象的对象是什么？数学抽象的结果是什么？如何保证一个高效的抽象过程？分析这几个问题可以发现：这几个问题都是指向数学抽象本身的，或者说这是数学角度的数学抽象. 当然可能有人要问：除了数学角度的数学抽象，难道还有其他视角来解读数学抽象吗？其实这个问题很简单，在教学的视野里，数学抽象的主体是学生，也就是说数学抽象的对象是要学生去关注的，数学抽象的结果是学生建构出来的，数学抽象的过程更是学生数学思维的过程. 因此以学生为主体，研究学生在数学抽象过程中的心理活动，才算是真正抓住了数学抽象的本质，而这就是数学抽象的认知视角.

众所周知，数学抽象是重要的數学核心素养要素之一，数学抽象有其特定的含义和要求，数学抽象活动的内容包括概念、法则、命题、方法及系统结构等. 从认知角度理解数学抽象，至少有这样两点值得注意：

第一，数学抽象离不开高度概括. 很多人认为数学抽象是一个剥离的过程，即将研究对象中的非数学因素剥离，所得就是数学抽象的结果. 其实数学抽象与高度概括密切相关，概括是学生学习中最重要的能力之一，通过概括可以将事物的特性描述出来，这实际上就是一个“数学化”的过程.

比如“函数”概念教学中，从生活中寻找存在函数关系的事例，然后进行“数学化”，即提取集合与对应法则相关的材料，其余皆不考虑，于是就可以得到函数关系式，从而奠定函数概念形成的基础.

第二，数学抽象是在概括的基础上，提取新的研究视角下需要的要素，然后在更高水平上进行重组. 数学抽象一定是要追求数学化的结果的，这个结果一定是重组的结果. 从认知心理学的角度来看，学生基于原有的感觉与知觉经验，基于自身的数学抽象能力，将形象的研究对象与抽象的数学知识进行对应，就可以完成数学抽象.

比如函数概念建立的时候，通常要分析自由落体等实例，然后得出“f：A→B”，最终得出“y=f（x），x∈A”. 这种数学表达其实就是用数学语言对概括出的对应关系进行重组的过程.

基于数学抽象认知理解的教学思与行

基于上述两点理解，具体到数学教学的实践当中，教师的主要任务就是在认知理解的基础之上，进行有效的数学抽象教学实践. 通过理论学习与经验梳理，考虑到抽象过程的本质是大脑神经细胞集群对数量和空间信息的选择性、简约化激活反应，抽象活动的基本步骤为：分离属性与建构模型——概括与一般化——定义与符号化——系统化. 笔者在结合自己的实践经验，结合这样的步骤进一步实践，取得了非常丰富的收获，举例试述如下.

以“指数函数”为例，基于数学抽象的认知视角，结合上述数学抽象的几个步骤，具体设计如下：

第一步，分离属性与建构模型. 这一步当中，分离属性对应着数学抽象的过程，所建构出来的模型可以视作是数学抽象的结果. 从认知的角度来看，这一步的关键在于给学生提供形象的思维材料，然后让学生去进行数学抽象. 提供的材料一般来讲必须是学生比较熟悉的. 例如，国务院发展研究中心在2000年曾经作出判断，认为中国从2000年至2020年，GDP的平均增长率可以达到7.3%，提出的问题则是：在这20年里，每年的GDP是2000年的多少倍？

学生在分析这个问题的时候，会启动自己的感觉与知觉，先基于情境的表述，建立起对情境及其当中的逻辑关系的理解，这里的逻辑关系其实就是某一年与下一年之间GDP的（1+7.3%）的倍数关系.

第二步，概括与一般化. 在上述分析的基础之上，学生首先从数学的角度进行分析与概括，可以得出y=（1+7.3%）x的关系式，当然此时要强调x的取值范围，即x∈R*且x≤20. 其后教师要提供其他的例子，让学生在分析的基础上进行综合与概括，从而将个例一般化. 从认知心理的角度来看，一般化的过程对应着学生的精加工过程，是数学抽象的核心阶段之一.

第三步，定义与符号化. 这是在上述基础上，用数学语言对一般化的结论进行表述的过程，对于指数函数而言，要建立的是这么一个关系式：f（x）=ax. 这个解析式是在分析综合的基础上，经由变式例子概括得出的，是上述环节中一般化的数学体现. 对于学生而言，可以用演绎思维得出，因为学生在此前的函数知识学习过程中，已经知道函数与变量之间的具体表示，因此“指数函数”必然对应着“指数是变量”这样的基本认识，然后用解析式表达出来即可.

第四步，系统化. 系统化实际上是学生在得出指数函数解析式之后，将指数函数纳入原有的函数认知体系的过程，这个过程对应着学生对原有认知体系的擴充与重组，如果这个过程是成功的，那么系统化就是成功的.

通过上述四个环节，学生经历了一个丰富的指数函数建立的过程，从学生学习心理的角度来看，这个过程中无论是感觉还是知觉，无论是精加工还是记忆，效果都要优于传统的教学.

在数学抽象认知理解下培育核心素养

数学抽象是数学学科核心素养的第一个要素，其中的意义不言而喻. 在认知视角下认识数学抽象，使得数学更具科学性. 正如有同行所概括的那样：数学抽象位居六个数学核心素养之首，史宁中教授认为“数学在本质上研究的是抽象的东西，数学的发展所依赖的最重要的基本思想也就是抽象”. 笔者以为，对数学抽象进行认知角度的理解，不仅有利于数学抽象本身的教学，还有助于整个核心素养的培育.

核心素养在数学学科中体现为数学学科核心素养，建立了认知视角，就可以知道数学学科核心素养的每一个要素，对应着学生的学习过程时，都可以获得更加科学的理解，这显然可以让数学教师在积累经验的基础上，从科学理论的角度获得帮助，而当认知心理理论能够帮助数学抽象等核心素养因素落地时，整个数学学科核心素养的落地也就有了坚实的基础. 在核心素养的研究进行得如火如荼之际，高中数学教学寻找出这样的途径，显然是一种非常有价值的探究.

总的来说，对于高中数学教师而言，在认知理论的视角之下，完成数学抽象经验的积累，可以提升教师的教学水平，可以提升教师对核心素养的理解. 如果数学学科核心素养的其他要素，也能够获得这样的理解，并且建立起相应的实施步骤，那么对于学生发展核心素养而言，就是建立了一个可靠的基础. 其中值得一提的是，这样的探究过程，对教师建立起对数学学科核心素养及培育途径的理解而言，也非常有益，因为这本身也是一个促进教师自身认知发展的过程，有助于教师形成核心素养培育的默会知识.