金属陶瓷功能梯度板的模态频率分析

2020-10-16刘文光

航空材料学报 2020年5期

刘超,刘文光

（南昌航空大学航空制造工程学院，南昌 330063）

高超音速飞行器再入大气层时，由于强烈的气动加热作用，机翼驻点处温度可达10000 K以上，使得飞行器壁板容易出现屈曲和热颤振等问题，从而引发壁板萌生微裂纹、表层蒙皮材料脱落，危及飞行器的安全可靠性[1-2]。因此，采用复合材料设计热防护系统以避免飞行器壁板的气动加热和颤振失稳，已经受到学术界和工程界的广泛关注。

传统的复合材料虽然具有耐热、隔热、轻质等热防护特性，但因内部组分不连续、界面失配等问题，气动加热时易出现应力集中和突变，影响结构的安全稳定性[3-4]。于是，有学者提出了功能梯度材料（functionally graded materials，FGMs）这一设计理念[5]。FGMs作为一种新型的非均质复合材料，由两种或多种不同材料组成，材料体积分布沿着某个方向连续变化，并具备传统复合材料所没有的优势，如降低界面应力[6]、物理特性连续变化等。这些特性使得FGMs在超音速飞行器热防护系统领域有着潜在的应用前景。

气动加热不仅导致热防护系统表面温度剧烈变化，而且温度的变化会影响到热防护系统的振动特性。近几十年来，很多学者以FGMs壳、梁和板为对象，研究了热环境下FGMs结构的振动特性。基于三阶剪切变形理论，曹洲等分析了热环境下功能梯度夹层双曲壳的自由振动特性[7]。结合能量原理和薄壳理论，刘文光等建立了FGMs薄壁圆壳的模态方程，研究了不同热环境下薄壁圆壳的模态频率[8]。采用改进的傅里叶级数，陈金晓等讨论了弹性边界条件下FGMs圆柱壳尺寸、陶瓷体积分数等对圆柱壳固有频率的影响[9]。针对具有特定功能的石墨烯增强功能梯度纳米复合梁，Shahrjerdi等探究了热环境对梁振动特性的影响[10]。以三阶剪切变形理论为基础，Zahedinejad研究了不同热环境和不同边界条件下功能梯度梁的自由振动[11]。以薄板理论和Rayleigh-Ritz法为基础，Chakraverty等推导了FGMs板的频率方程，探索了热环境对薄板振动频率的影响[12]。通过一阶剪切变形理论，栾玮荻推导了FGMs板的振动方程，研究了热环境对板自由振动响应的作用[13]。结合二阶剪切变形理论和能量原理，Shahrjerdi等讨论了不同热环境下功能梯度板的自由振动特性[14]。基于高阶剪切变形理论，Parida等建立了含等参单元的FGMs板的有限元模型，讨论了热环境对功能梯度板自由振动的影响[15]。通过推导功能梯度板的非线性振动和屈曲运动方程，吴晓等求解了功能梯度板的非线性振动近似解[16]。

动态表明，大多数研究采用理论推导和有限元建模的方法研究FGMs结构的振动特性。理论推导方面，主要有分层弹性柔度线性模型、分段指数分层模型和线性分层模型等[17-18]，其思想是将FGMs沿梯度方向分成多层，每层材料内部按照线性或者指数形式变化。有限元建模主要是均匀属性分层模型[19-21]。均匀属性分层是将每层材料参数简化为常数，处理复杂问题很方便，在工程应用中较为广泛。虽然有限元方法主要利用离散的Gauss积分，取单元内部Gauss积分点处的实际材料属性，可大大节约网格数量，但是编程难度较大，所以很少研究者直接采用有限元建模法来实现FGMs材料物理属性的连续变化，鲜有研究者通过有限元方法来探究热环境下FGMs结构的振动特性。

本工作在探讨热环境对FGMs物理特性影响的基础上，采用温度控制的方法描述材料属性并实现FGMs板的线性分层建模，探究材料陶瓷体积分数指数、板的几何尺寸和热环境对FGMs板模态频率的影响。

1 FGMs板的建模

1.1 FGMs板模型描述

以图1所示的FGMs板为研究对象。假设板的几何尺寸是a×b×h，板的上表面和下表面分别由纯陶瓷和纯金属制成，中间部分的材料成分由纯金属向纯陶瓷连续变化。FGMs材料属性的这种连续性变化受到环境温度和空间位置共同影响。

图1 FGMs板模型Fig.1 FGMs plate model

建立图1所示的（x，y，z）直角坐标系，假设温度梯度只沿厚度方向变化，基于混合率模型，FGMs在任意空间位置的有效材料属性可表示为[22-24]：

式中：Γ（z，T）表示 FGMs的有效热物理特性，如弹性模量E、泊松比ν、密度ρ和热传导系数β等；T是温度值，表达式为T=T0+ ΔT（z），T0是环境温度，ΔT（z）是沿z轴厚度方向的温差；N是FGMs陶瓷体积分数指数，取值为 0 ≤N< ∞；Γc（T）和Γm（T）分别代表FGMs组分中陶瓷和金属的热物理特性，可由非线性函数表示[22-24]：

式中：αi（i= −1，0，1，2，3）是材料温敏特性参数，具体取值见表1所示。

表1 SUS304 和 Si3N4 温敏特性系数[25]Table 1 Temperature-dependent coefficients of SUS304 and SiN[25]34

1.2 FGMs板的建模方法

利用温度在有限元模型中随空间位置连续变化的特点，可建立温度值与实际材料物理属性的一一对应关系，建立层间材料特性无突变的连续模型。建模思路是：首先确定FGMs板沿梯度方向的分层数；然后计算特定空间位置的FGMs物理属性和温度值，并建立温度与FGMs物理属性之间的一一对应关系；最后在载荷分析模块对FGMs板模型整体施加基于空间位置变化的温度场函数。在有限元运算时，Gauss积分点处会自动根据设置的温度场函数获取该积分点的实际温度值，通过FGMs物理属性和温度间的对应关系得到Gauss积分点处的实际FGMs物理属性。本工作中，采用一阶单元进行线性插值，Gauss积分点其他区域的FGMs物理属性会根据积分点处的FGMs物理属性进行线性插值，实现FGMs物理属性的连续变化，如图2所示。

图2 FGMs 板的分层建模方法Fig.2 Modeling principle of FGMs plate

如图2所示，FGMs板沿厚度方向总共分为n + 2 层，其中 T1、T2…Tn + 1和 x1、x2…xn + 1分别表示Gauss积分点处的温度值和位置。基于上述建模方法，可得到描述弹性模量E、泊松比ν和密度ρ的线性函数：

式中：Ei、νi和ρi分别表示对应积分点处与温度相关联的第i个Gauss积分点的弹性模量、泊松比和材料密度；z表示材料厚度方向的坐标，i表示层数（0 < i < n + 2），zi表示第 i层的坐标（zi-1< z < zi）；系数 ai、bi、ci、di、ei和 fi的表达式如下：

2 热环境对 FGMs 弹性模量的影响

由于超音速飞行器在飞行时需要面临复杂的热环境，致使FGMs的物理属性改变，进而影响FGMs结构模态频率。为便于分析，忽略温度对FGMs的比热和热膨胀系数等参数的影响，下面仅考虑沿厚度方向一维分布的热环境对FGMs弹性模量的影响。

2.1 热环境的描述

假设作用在FGMs板底部和顶部的温度分别为 Tb和 Tt，则上下表面温差 ΔT = Tt−3 Tb。FGMs板沿厚度方向一维升高的均匀温度场表示为：

线性温度场表示为：

非线性温度场下，沿厚度方向的温升可由一维稳态热传导方程解得，稳态热传导方程和温升分布函数可分别表示为[26]：

式中：β（z）表示热传导系数；h表示FGMs板厚。

图 3 描述了陶瓷体积分数指数 N = 1，ΔT = 500 K时三种温升下沿厚度方向的温度场分布规律。

图3 三种温升下沿厚度方向温度场的分布Fig.3 Distribution of temperature field along thickness direction under three temperature rises

2.2 热环境对弹性模量的影响

取环境温度 T0= 300 K，温度梯度值从 0 K 变化到 1100 K，陶瓷体积分数指数 N = 2，E0为室温下SUS304的弹性模量，Ei为不同温度下FGMs的弹性模量。

如图4所示，不同热环境对FGMs的弹性模量都有一定影响，这必定会影响FGMs板的刚度等，进而影响板的模态频率。

3 建模方法的验证和分层收敛性

3.1 建模方法的验证

为了验证建模方法的准确性，假定FGMs板的长宽比 a/b = 1、厚 h = 0.02 m，长 a = 0.2 m，陶瓷体积分数指数N = 2。采用分层模型计算不同均匀热环境下FGMs板的前6阶模态频率，并与文献[25]、[27]和[28]的结果对比。

如图5所示，第2、3阶模态频率为板的对称模态，本模型求解的模态频率值与文献结果间的误差在一定范围内，并与理论值大致吻合，证明了本工作建模方法的有效性。

图4 热环境对弹性模量的影响（a）均匀温度场；（b）线性温度场；（c）非线性温度场Fig.4 Effects of thermal environment on Young ’s modulus （a） uniform temperature field；（b） linear temperature field；（c）nonlinear temperature field

图5 均匀温升下 FGMs 板前 6 阶模态频率对比Fig.5 Comparisons of the first six modal frequencies for FGMs plate subjected to uniform temperature rise

3.2 分层的收敛性

虽然线性分层模型无需对FGMs板进行实体分割，但需对FGMs梯度方向进行取点分层，因此存在分层数的收敛性问题。采用与3.1节相同的FGMs板模型，将层数设置在2层到50层不等，分别计算FGMs板的模态频率。对模型施加均匀温度场，定义 T0= 300 K，ΔT = 0 K。如图6所示，不同阶模态频率随分层数的变化趋势大致相似，当分层数大于10时，模态频率值已经收敛。因此，本工作将FGMs板沿梯度方向分为20层。

4 FGMs板的模态频率分析

假设 FGMs板的环境温度 T0= 300 K，板的几何尺寸 a × b × h = 0.5 m × 0.625 m × 0.05 m，板的四边底部完全固支。建模时，将FGMs板沿厚度分20层，全部采用C3D8R单元，单元数为77280。通过Python编程建立FGMs板的参数化有限元模型，分别计算陶瓷体积分数指数、板的长宽比和热环境对FGMs板模态频率的影响。

图6 模态频率的收敛性Fig.6 Convergence of modal frequencies

图 7 为 ΔT= 300 K 时，不同热环境下 FGMs板模态频率与板长宽比、陶瓷体积分数指数N之间的关系。结果发现：同一长宽比时，FGMs板模态频率随N的增大逐渐减小；当N小于2时，模态频率变化更为明显；相同N时，长宽比增大会增加使模态频率下降率。

图8展示了N= 5时，不同热环境下FGMs板的模态频率与板长宽比和温度梯度的关系。结果表明：同一长宽比时，FGMs板的模态频率随着温度梯度增加而逐渐减小；均匀温度场的温升对模态频率的影响最为明显；线性温度场温升对模态频率的影响最小；非线性温度场下，当温度梯度在300~400 K时，模态频率的下降率最大，随后趋于平稳。

分析表明，长宽比等于1.6时，FGMs板的固有频率变化较大。图9研究了长宽比等于1.6时不同热环境下温度梯度和体积分数指数与模态频率的关系。结果表明：N不变时，模态频率随温度梯度的增大逐渐减小；温度梯度不变时，模态频率下降率随体积分数指数的增大逐渐减小；除均匀温度场外，体积分数指数N相比温度梯度ΔT对模态频率的影响更为明显。

以温度梯度为800 K和 300 K时FGMs板的模态频率为参考，定义模态频率下降率η：

图7 陶瓷体积分数指数和长宽比对模态频率的影响（a）均匀温度场；（b）线性温度场；（c）非线性温度场Fig.7 Effects of volume fraction index and aspect ratio on the modal frequencies （ a） uniform temperature field；（ b） linear temperature field；（c）nonlinear temperature field

图8 温度梯度和长宽比对模态频率的影响（a）均匀温度场；（b）线性温度场；（c）非线性温度场Fig.8 Effects of temperature gradient and aspect ratio on the modal frequencies （ a） uniform temperature field；（ b） linear temperature field；（c）nonlinear temperature field

图9 陶瓷体积分数指数和温度梯度对模态频率的影响（a）均匀温度场；（b）线性温度场；（c）非线性温度场Fig.9 Effects of volume fraction index and temperature gradient on the modal frequencies （ a） uniform temperature field；（b）linear temperature field；（c）nonlinear temperature field

图10研究了长宽比等于1.6时不同热环境下FGMs板的前三阶模态频率与陶瓷体积分数指数N的关系。结果表明：均匀温度场下FGMs板的前三阶模态频率的下降率约等于线性和非线性温度场下模态频率下降率的4倍，即均匀温度场对模态频率十分敏感；均匀温度场下，模态阶次越高模态频率下降率越大，且N对高阶模态的影响更大；而在线性和非线性温度场下，模态阶次越大，模态频率下降率越小，N对第一阶模态的影响最大；均匀温度场下，当N小于2时，模态频率下降率随N增大急剧增大；而线性和非线性温度场下，随着N的逐渐增大，模态频率下降率近似呈现一次递增的趋势，对模态频率的影响也越来越大。

图10 热环境对模态下降率的影响（a）均匀温度场；（b）线性温度场；（c）非线性温度场Fig.10 Effects of thermal environment on the decrease ratio of modal frequencies （ a） uniform temperature field；（ b） linear temperature field；（c）nonlinear temperature field