源于教材 高于教材——对两道高考题的探“源”觅“流”

◇ 谢迁尔

苏联数学教育家奥加涅相说过:“必须重视，许多习题潜藏着进一步扩展其教学功能、发展功能和教育功能的可行性．”研究近十年的高考真题，就会发现很多题目“似曾相识”，总能在高考真题中找到课本习题、例题的影子．高考试题“源于课本”，这是由高考的性质决定的．高考的命题都应遵循“立足基础，考查能力”这一重要原则．自然寻找高考数学试题的课本生长点、命题背景，探究题源，挖掘命题的“题根”，可以达到由例及类、触类旁通的目的．下面就以两个高考题进行探“源”觅“流”．

1 真题再现

例1(2014年新课标卷Ⅱ)设向量a，b满足则a·b＝( )．

由①－②，得a·b＝1．

例2(2017年新课标卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA→·的最小值是( )．

如图1所示，取BC的中点D，取AD的中点E．

图1

本题解法中，同样也是利用到例1提及的公式．

2 寻根溯源

上述两个问题的背景是普通高中课程标准实验教科书《数学必修4》A版第108页习题24中的A组第3题．

题目已知|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－3，求|a＋b|，|a－b|．

通过这个题目的分析及课本例题2中证明:

再将(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2中的向量b换成向量－b，又有

式①－②，可得

3 把握根本

式③就是著名的“极化恒等式”．

1)平行四边形模式:

2)三角形模式:在△ABD中，AM是BD边上的中 线

极化恒等式的作用在于把数量积转化为“和向量”与“差向量”，因此当两个向量的“和向量”或“差向量”为定向量时可以应用极化恒等式进行转化．此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．

4 舒展枝叶

从上面的分析，我们可以看到极化恒等式作为代数和几何的桥梁，具有化动(动点)为定(定点)、化动(动态)为静(静态)、化曲(曲线)为直(直线)、化普通为特殊的能力，所以在各地历届的高考题和模拟试题中得到广泛应用．

4.1 处理长度的问题

例3已知圆O:x2＋y2＝4，直线l与圆O交于P，Q两点，A(2，2)，若AP2＋AQ2＝40，则弦PD的长度的最大值为取PQ的中点M，则化简得．要使得最大，当且仅当最小，即时，即时成立．即P(－2，0)，Q(0，－2)时成立，所以

图3

4.2 求数量积的最值

例4已知等边△ABC内接于圆O:x2＋y2＝1，且P是圆O上一点，则的最大值是( )．

设D为BC的中点，M为AD的中点，则

图4

4.3 结合圆锥曲线，迁移应用

例5已知AB为椭圆的一条动弦，且经过原点，M为直线3x－4y－15＝0上的一个动点，则的最小值为( )．

这个问题的破解难点就是A，B为椭圆y2＝1曲线上的动点，连接MO，根据极化恒等式可得，这样考虑到取最小值且取最大值时，曲线动点问题便得以化解．

如图5所示，设d为点O到直线3x－4y－15＝0的距离，则等于椭圆的长半轴长2．因此，

综上所述，选C．

图5

通过两道高考真题的研究，寻根溯源，发现所有的高考题都会遵循一个重要规律:教材是高考题的发源地．一个不变原则就是“取材于课本，但又不拘泥于课本”．课本中每一个例题、习题的设置都有其目的和作用，许多高考题都能在课本上找到“根源”．不少高考题就是课本原题的变形、改造和整理．因此，平时的复习中，应充分发挥课本上典型例题和习题的作用，提高学习效率，达到事半功倍的学习效果，切实减轻学生过重的学习负担．