函数图形的应用问题

◇ 李京林

函数图形的应用在各级各类考试中出现的频率越来越高，内容可以涉及方方面面．解题的关键是正确理解函数图象的变化规律，利用函数图象特征、性质对实际问题进行综合分析．下面结合几类常见函数图象的应用问题加以实例剖析．

1 实际问题中抽象函数图象的分析

例1在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y＝f(x)，一种是平均价格曲线y＝g(x)(如f(2)＝3表示开始交易后第2小时的即时价格为3元；g(2)＝4表示开始交易后2个小时内所有成交股票的平均价格为4元)．下面所给出的4个图象中，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是( )．

刚开始交易时，即时价格和平均价格相等，排除选项A；开始交易后，平均价格应该跟随即时价格变化，在任何时刻其变化幅度应该小于即时价格变化幅度，排除选项B和D．故选C．

在解决与现实生活相关的函数图象问题时，往往通过实际问题在不同情况下所具有的特征，结合函数图象的变化特征加以分析与判断．

2 运动问题中函数图象的判断题

例2如图1，点P在边长为1的正方形ABCD上运动，设点M是CD边的中点，当点P沿A→B→C→M运动时，点P经过的路程记为x，△APM的面积为y，则y＝f(x)的图象可能是( )．

图1

当点P从A到B运动时，△APM的面积y直线上升，达到最大值；当点P从B到C运动时，△APM的面积y逐渐减小．根据对应的图形，只有A满足条件，故选A．

对于运动性函数图象问题，通过实际函数图象考查分段函数问题，学会在实际情境中理解函数关系，并综合实际问题与数学问题之间的关系加以分析有关的图象问题．

3 函数图形与函数性质的交会与综合问题

例3图2到图4展示了一个由区间(0，1)到实数集R的映射过程:区间(0，1)中的实数m对应数轴上的点M，如图2；将线段AB围成一个圆，使两端点A，B恰好重合，如图3；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为(0，1)，如图4．图4中直线AM与x轴交于N(n，0)，则m的象就是n，即记作f(m)＝n．

图2

图3

图4

①f(0．25)＝1；②f(x)是奇函数；③f(x)在定义域上单调递增；④f(x)的图象关于点(0．5，0)对称．由图4可知，当m＜0．5时，f(m)＜0，故①不正确；由于0＜x＜1，f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)不是奇函数，故②不正确；当点M由点A运动到点B时，点N的运动方式是从－∞运动到＋∞，f(x)为增函数；当m＝0．5时，f(m)＝0，由图象知道其是对称的，即f(x)的图象关于点(0．5，0)对称．故填③④．

实际应用中，往往给出一个函数图象，通过函数图象所表达出来的性质确定函数的相关性质，这也是高考中经常涉及的一类有关函数图象的题型，要正确加以分析与应用．