有关圆的综合题型探究

2020-10-13薛永军

数理化解题研究 2020年26期

薛永军

(内蒙古巴彦淖尔市第二中学 015001)

一、圆与三角函数的综合题型

在初中数学中，圆与三角函数构成的综合题型比较常见.鉴于三角函数的相关数学类型题主要立足于直角三角形进行考查，所以针对该种类型的圆综合题的求解中要注意抓住圆的一些特殊性质，巧妙地在其中构建出直角三角形，之后灵活地运用三角函数部分的数学知识来进行快速求解.在构建直角三角形期间一般采取如下几种方式：其一，通过利用圆的切线定义，构建直角三角形；其二，利用圆的直径来构建直角三角形.

例1如图1，已知圆O的直径AB与弦CD交于F点，现在通过圆O之外的一点E作出直线AE，已知∠D=∠CAE，试求解如下两道问题：(1)试证明：AE为圆O的切线；(2)假定∠BAC=30°，BC=4，cos∠BAD=3/4，CF=10/3，试求出BF的长度.

解析问题(1)可以直接通过按照切线定义的方式来进行直接判断.问题(2)在求解中需要综合题目给出的一系列已知条件，进行逐步论证.基于边BC和边CF的长度以及角度的相关值，可以推导出边BF的长度，之后可以尝试进行相似三角形构建，利用相似边的对应比例关系来求解相应问题.比如，针对△AFC∽△DFB，可以得到如下边长比例关系：BF=(FC×BD)/AC，之后只需要分别结合题干条件求解出边长AC和BD的对应值即可.由于AB为圆O的直径，其分别对应∠BCA和∠BDA，二者均为直角，这时候直接结合对应的余弦值以及勾股定理即可求解出位置边长的长度.

二、圆与阴影面积的综合题型

圆与阴影面积构成的综合题型也是初中数学学习的一种常见题型，除了会考查初中生对不规则图形面积求解方法的掌握情况外，还会考查他们是否可以灵活地运用三角形和圆形等性质去求解数学问题.具体的求解中可以灵活地运用拆补法，结合扇形、圆形和三角形等基本图形的一些面积求解方法与公式去求解相应的数学问题.基此，针对该类问题，要注意灵活运用割补法，将复杂、不规则阴影部分面积通过割补的方式转化成常见规则图形，之后加以针对性求解.

例2在图3中，圆O与直线PA和PB分别相切于A和B两点，圆O上点C满足∠ACB=60°，试求如下两道数学题：(1)∠P的度数；(2)如果圆O的半径r=4cm，试求其中阴影部分面积.

解析针对问题(1)，在将AO和BO进行连接之后，可以将∠P看作四边形AOBP的内角，结合已知条件给出的边角关系即可快速求解出∠P.针对问题(2)，由于阴影的形状不规则，所以可以采取割补法，将OP进行连接，以此证明△AOP≌△BOP，这样可知直线OP将阴影均分成了面积相等的两部分，即：S阴影=2(S△AOP-S扇形AOQ).

三、圆与几何最值的综合题型

几何最值也是当前中考数学学科考试的热点内容之一，而与圆相结合的综合题型具有一些特点，具体主要表现在如下三种类型：其一，圆上面的动点和定直线之间的距离；其二，圆上面的动点和定点之间的距离；其三，圆上面的动点和动直线之间的距离.在求解该种类型的综合题型期间，可以采取恰当的最值模型，灵活地采用数形结合思想等加以求解.

例3在图5中，A(6,0)和B(0,6)是两个定点，而圆O上面存在动点C，已知其半径r=3，试求动点C在圆O上面哪个位置的时候所构成的△ABC具有最大的面积，最大值是多少？

解析过C点作边AB上的高，其中D点为垂足，之后借助面积求解公式即可得到△ABC的面积，这时候只需要使高CD达到最大值即可实现求解目标.通过该种求解方式，可以将面积最大值求解转换为圆O上动点与定直线之间距离的最值问题.考虑到圆的特殊性，为了确保高CD达到最大值，那么就必须要使其通过圆心.而当点C处于最远端之后可以求得最大值.