聚焦理性思维 凸显数学思想

□梁乾培

（临沂第四中学，山东临沂 276000）

理性思维是一种有明确思维方向，有充分思维依据，能对事物或问题进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括的一种思维.说得简单些，理性思维就是一种建立在证据和逻辑推理基础上的思维方式.

数学解题是以公式、定义、性质、定理等为依据，通过理性思维进行推理，在数学思想的指导下，寻找已知和未知的联系.

本文从高考题“已知函数f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围”的探究入手，进行“学会解题”的尝试.

一、善于发现本质、规律

数学学习中发生数学的地方都无一例外地充满着数学解题活动，通过问题的解决，揭示数学问题的本质、关系、规律，领悟数学的真谛.从而，提升理性思维的概括、提炼能力.例题的第（1）小题是利用导数确定函数单调性.可以总结为一般步骤：确定定义域，求导数，确定导数符号（往往是因式分解等方法），说明单调区间.

解：（1）确定f(x)的定义域(-∞,+∞)，求导得f ′(x)=2ae2x+(a-2)ex -1=(aex -1)(2ex+1).（ⅰ）若a≤0，则f ′(x)＜0，所以f(x)在(-∞,+∞)单调递减.（ⅱ）若a＞0，则由f ′(x)=0 得x=-lna. 当x∈(-∞,-lna) 时，f ′(x)＜0；当x∈(-lna,+∞) 时，f ′(x)＞0 ，所 以f(x) 在(-∞,-lna)单调递减，在(-lna,+∞)单调递增.（点评：因式分解是简化多项式运算的重要手段，因为2ex+1 ＞0，所以只需要考察aex-1的符号即可，运用分类与整合的思想，易知a≤0时，aex-1 ＜0，从而，找到分类的标准.这里体现逻辑思维的严谨性）

二、善于严谨细致、精中求简

思维的严谨细致是发展理性思维的前提，精中求简是良好理性思维品质的重要体现.例题的第（2）小题，是确定参数范围，通常利用命题成立的必要条件，先缩小参数的取值范围.可以运用数形结合、特殊与一般、函数与方程、分类与整合等数学思想方法，减缩思维量，优化思维过程.方法多种多样，我们解题时就要严谨细致，不重不漏，考虑完整，解法1体现严谨性；解法2体现精中求简的思维.

解法1：（2）若a≤0，f ′(x)＜0，函数f(x)单调递减，f(x)至多有一个零点.（点评：由（1）是对a分类的，所以，很自然还要利用分类与整合的思想，就每一种情形分别求解，体现逻辑思维的严密性，运用数形结合的数学思想，结合图象，直观感知）若a＞0，由（1）知，当x=-lna时，f(x)取得极（最）小值，极小值为当a=1 时，由于f(-lna)=0，故f(x)只有一个零点；当a∈（1，+∞）时，由于，故f(x)没有零点.（点评：极（最）小值的大小影响函数零点个数，接下来按照极小值是否大于零讨论零点个数，直观想象：若最小值大于0，函数的图象与x轴没有交点，不存在零点；若最小值小于0，函数的图象与x轴可能有交点.利用数学运算，对于f(-lna)的值进行数据处理）

当a∈(0,1) 时即f(-lna)＜0 .（点评：由数形结合思想，当图象在x轴下方有点，若f(x)有两个零点，则在x轴上方必定有点x1,x2，使得f(x1)＞0,f(x2)＞0，因 为-lna＞0，所以在(-∞,0)，(-lna,+∞)分别有一个零点.如何找到点x1,x2就体现数学抽象、逻辑推理、数学直观、数据处理的数学素养，是本题难点所在）下面从不同角度进行分析，突破难点.

三、善于返璞归真、以简驭繁

理性思维就是人们借助抽象思维，在感性思维的基础上，把所获得的感觉材料，经过思考、分析，加以去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的整理和改造.而要说明在某个区间上函数的零点存在，往往要利用函数零点存在定理，即在某个区间(a,b)上，找到两个点（数）x1,x2，使得f(x1)f(x2)＜0.我们要以此为依据，进行由感性思维到理性思维的飞跃.通常利用极限的思想、一般与特殊的思想，数形结合、放缩、换元等实现转化与化归.

接解法2：因为函数f(x)有两个零点，所以在(-∞,0)，(-lna,+∞)分别有一个零点，为方便计算，不妨设x1=-1,-2,-3 等进行试验，不难发现，f(-2)=ae-4+(a-2)e-2+2 ＞-2e-2+2 ＞0.（点评：这样的取值是因为函数f(x)在(-∞,-lna)单调递减，利用数形结合，进行直观想象，返璞归真，当x越小，f(x)的值就越大，运用特殊与一般的数学思想方法，我们取-1,-2 这些数，为方便计算.其实f(-1),f(-2),f(-3) 等都可以）然后，再说明函数f(x)在(-lna,+∞)上有一个零点，因为-lna＞0，故只要说明存在一个正数b，使得f(b)＞0 即可，即f(b)=ae2b+(a-2)eb-b＞0,即f(b)=ae2b+(a-2)eb＞b，只要ae2b+(a-2)eb＞eb因为eb≥b+1 ＞b，故上面的不等式可化为aeb+(a-2)＞1,aeb＞3-a,∴b＞使 得f(b)＞0，故函数f(x)在(-lna,+∞)有一个零点.（点评：函数f(x)在(-lna,+∞)单调递增，自变量越大，函数值越大，为了找到一个合适的“点b”，使得f(b)＞0，就应该把f(x)进行放缩，目的是能够使得不等式可解，体现以简驭繁的理性思维，运用转化化归的思想，故由经典不等式当x＞0时，ex＞x放缩，把b转化为eb）

四、善于质疑思辨、求变创新

质疑思辨是理性思维的核心，求变创新是理性思维的动力.解题要回归本质，教会学生思考，教会学生发展理性思维能力是教学的灵魂，例如在解题教学中启发学生：还有其他方法吗？能否从另外的角度思考？这样的方法有没有普遍的适用性？考虑指数函数与对数函数的关系，我们可以将指数转化为对数，给我们“眼前一亮”的感觉.

五、善于解后反思、提升推理能力

推理是理性思维的重要形式，是数学的“命根子”，是从已知判断推出新的判断的思维形式.我们知道，理性思维是有内容的思维，它必须依据事物的内在规则进行，理性思维以抽象性、间接性、普遍性为特征，以事物的本质、规律为对象和内容.因此，解后反思是提升理性思维能力的重要手段.

例如，解答例题之后，我们就要进行反思：与题目有联系的知识是否都考虑了？是否做过与此题目类似的问题？能否用不同的知识或方法，通过不同的途径求解该问题？此题的解法是否给你启发？接下来，提供近几年的高考题供参考.

1.（2015 年高考全国卷文科数学）设函数f(x)=e2x-alnx.

（Ⅰ）讨论f(x)的导函数f ′(x)零点的个数；

（Ⅱ）略.

2.（2016 年高考全国卷理科数学）已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点.

（Ⅰ）求a的取值范围；

（Ⅱ）略.

3.（2018 年高考全国卷理科数学）已知函数f（x）=ex-ax2．

（1）略；

（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a．

4.（2019 年高考全国卷文科数学）已知函数f（x）=2sinx-xcosx-x，f'(x)是f(x)的导数.

（1）证明：f'(x)在区间（0，π）存在唯一零点；

（2）略.

六、立足理性思维训练

数学是思维的科学，理性思维是数学核心素养的灵魂，数学思想方法是学生获取知识的主要手段，掌握数学思想方法有利于透彻理解数学知识，有利于创造能力的培养.章建跃博士曾强调：培养学生的思维始终是数学课程的核心任务，这是数学的“宗”，因此，在数学教学中，“为学生的核心素养而教”与“为培养学生的理性思维而教”是完全一致的.

习题（2018 年高考全国卷文科数学）已知函数

（1）略；

（2）证明：f(x)只有一个零点.

解析：（1）略；时，g'（x）=0，所以g（x）在（-∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．

解题是一个既有实践性又有探索性的认知活动，弗里德曼在《怎样学会解数学题》中，分析学生解了大量的题目，但还“不开窍”的情况时指出：这些学生没有在应用的程度上分析所解的习题，不能从中分析出解题的一般方式和方法，解题常常只是为了得个答案.所以要从数学思想方法和理性思维的角度进行解题，发展数学核心素养是解题的本质，是提高解题能力的必由之路.