聚焦知识新内核 提高复习有效性——以“圆的基本性质复习”为例

□苏建强

（杭州高新区（滨江）教育研究院，浙江杭州 310051）

复习课不同于新课，教师应努力将学生大脑中点状的知识网络化，并聚焦知识的核心，在问题解决中帮助学生形成“四通八达”的思维通道和解决问题的一般套路.在实际操作中，教师常疏于对所复习内容的深入分析，把复习课变成“炒冷饭”式的新课.为此笔者有意做了一些探索，现以“圆的基本性质复习”为例说说自己的思考和实践.

一、基于学生学习实际 确定知识新内核

要使复习课更有效，首先要明确的是“学生会些什么”“复习重点是什么”.在“圆的基本性质复习”之前，学生经历了三角形、特殊三角形、四边形、特殊四边形、圆等概念的形成及其性质的探究与应用过程，学生的空间想象、几何直观、逻辑思维能力得到较大的发展.同时学生还积淀了从“一般到特殊”对一个基本图形进行研究的思路；明确了对一个新图形的性质进行研究时，重点在于它区别之前所认识的图形特殊之处.例如等腰三角形区别于一般三角形的特点在于它的对称性，直角三角形在于它三边间的数量关系即勾股定理，特殊四边形在于它的中心对称性.像这些基本图形所具有的新的特殊性质，我们称为该图形的“新内核”.圆的基本性质主要体现于轴对称性及圆绕着它的圆心旋转任意角度后都和原图形重合的特性（简称“旋转重合性”）.显然，圆的“新内核”就是“旋转重合性”，因为圆的轴对称性多可转化为等腰三角形问题解决.

二、聚焦知识新内核 有效组织课堂教学

（一）复习回顾，锁定新内核

复习课伊始，教师要求学生在准备好的圆中分别画出符合条件的图形，并结合所画图形说出能得到的信息：在⊙O中，直径EF垂直弦BC于点D.在⊙O中，A为优弧BC的一点，连接OB，OC，AB，AC.

教师：若把大家刚画的两个图结合在一起（如图1），请找出图中相等的角.

图1

众 生：∠A＝∠BOD＝∠COD，∠OBD＝∠OCD…

教师组织学生动手画图并看图说话，一方面努力激活学生已有的学习经验，另一方面通过对各种感官刺激提高学生学习的有效性.学生容易解决单一知识点问题，但对多知识点的综合型问题却常无从下手.由此教师在设计中把圆的轴对称性和旋转重合性应用问题结合起来，在对基本性质复习的过程中，促使学生感知圆心角不仅是圆周角与弧之间联系的纽带，还是圆的轴对称性与旋转重合性间的桥梁，从而锁定圆中角的关系即旋转重合性才是研究的重点，也为学生进一步解决实际问题提供了先行组织者.

（二）由表及里，再认新内核

由对单一知识点的复习转入对多知识点综合问题的探究后，教师水到渠成地提出：

如图2，已知锐角三角形ABC内接于⊙O，OD⊥BC于点D，连接OA.点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED（m，n是正数）.若∠ABC＜∠ACB，求证：m－n＋2＝0.

图2

教师：要研究m，n间的关系，m，n与条件中的什么量有关呢？

学生1：m，n和∠B，∠C，∠OED有关.

为了说明方便，教师引导学生设∠OED＝α，则∠ABC＝mα，∠ACB＝nα.

教师：若把m，n转化成角来研究，就是要证明什么？

学生2：在m－n＋2＝0 两边都乘以α，问题就转化成探究圆周角∠B，∠C的关系了.

教师板书“mα－nα＋2α＝0”，即“∠B－∠C＋2α＝0”.

经过尝试分析与问题解决，教师引导学生开启探索“何由以知其所以然”模式.

学生3：由前面的分析，作OF⊥AC于点F（如图2），那么∠B就可以换成∠AOF，都等于mα（学生指着黑板上的图形，一边标注一边解释）.

教师（自言自语）：利用垂径定理，圆周角和圆心角的关系，转移了∠B的位置.

学生4：在△OED中，因为两底角为α，所以∠EOD＝180°－2α，∠DOF＝180°－2α－mα.在四边形ODCF中，由四边形内角和性质知结论成立.

教师（自言自语）：把分散的条件集中到四边形中.

学生5：因为在△OAF中，∠OAF＝90°－mα，所以在四边形ODCA中同样可证结论成立.

教师（自言自语）：把分散的条件集中到四边形中使问题得以解决，那么集中到三角形中可以吗？

深度有效的学习不仅仅在于“知其所以然”，而应刨根问底直至明确“何由以知其所以然”.教师在课堂中引导学生对“m，n和∠B，∠C，∠OED有关”的分析，意在突出研究问题的一般思路，建立“未知”与“已知”的联系，并将抽象的“数”的问题转化成具体的“形”的问题研究.又因为∠B，∠C与∠OED在物理位置上相距“甚远”，所以有必要借助圆的旋转重合性将其距离“拉近”，集中到四边形中使问题得以解决，并顺其自然地提出能否将问题转化到三角形中解决.学会学习，学会思考，往往就启航于教师这样的“自言自语”.新的解法也许就此诞生：延长AO交BC于G，∠GOD＝2α，则∠AGC＝90°－2α，在△AGC中利用三角形内角和定理可证结论成立.同样在△ABG，△EDG中也可以完成问题的解决，于是3种、5种、10种方法自然产生.

教师：在m－n＋2＝0 两边都乘以α……（正当此时，有学生举起了手）

教师中断了自己的讲述，并引导学生共同分析.

学生6：还可以在m－n＋2＝0 两边都乘以2α，这里的2mα，2nα可表示∠B，∠C所对

教师：还是将数量关系转化成图形间的关系.

图3

众生：这么简单！

教师：厉害！将相关条件集中到圆弧上，再把图形关系转化成数量关系.

学生8：老师，我明白了！为什么这里会出现4α？因为原本相等的两段弧点F沿着圆弧移到点A，相当于同时

见眉头紧锁的学生不在少数，教师示意学生8 再次解释自己的发现.转瞬间，教室里又开始闹腾起来，甚至有学生拍着桌子感叹道“原来是这样！”

学生9：其实，这个题也可以把条件集中到等腰三角形FBC中，利用∠ACB－∠ACF＝∠ABC＋∠FBA，得nα－α＝mα＋α.

教师：直接利用圆周角间的关系，就事论事.

围绕圆的旋转重合性，学生将圆周角转换位置或转化成圆心角、弧后，把条件集中到三角形、四边形中，也可以将条件集中到弧或周角上使问题得以解决.期间，圆的旋转重合性所体现的变换圆周角呈现形式的功能也就凸显出来了.精彩的课堂教学，往往源于学生的奇思妙想和教师对课堂的精准把控.学生8的出现让原本不平静的课堂再次掀起波澜，真是一波未平又起一浪，所求等式中“2”的来由也就一眼望穿.图形中F点的移动打破原本的平衡，因为“2”的出现又促使平衡重新建立.

（三）从经验到方法，拓展新内核

课堂教学终有曲尽人散之时，留下的一定是那些值得细细品味的思考.最后教师引导学生从问题解决的经验出发，归纳梳理得此类“新内核”问题解决的一般思路：

1.结合所求结论与已知条件找联结点，变数为形；

2.借助圆周角定理变换角的呈现形式，化分散为集中；

3.利用数量关系刻画图形间位置关系，变形为数.

三、反思教学实践 提高教学设计有效性

复习课与新授课区别在于：点上的突破与面上的思考.如何让无序的思考变得有序，找到连接已知条件到所求结论之间的桥，将授之以“鱼”变成授之以“渔”.

（一）激活已有知识，凸显知识新内核

学习最近发展区理论表明，复习课的展开应基于学生已有知识和能力.因而，教师在课前须对学生已有的知识储备、能力积淀了如指掌，并对所复习内容做出深入细致的分析，确定所复习内容的新内核.在课堂中，主要表现在教师通过复习回顾激活学生的已有知识，并通过简单的练习、综合应用明确研究对象.在课例中，教师以学生的两次画图并“看图说话”引入新课，意在通过学生的动手操作与观点“众筹”激活学生已有知识，调动学生多感官参与课堂学习.而在圆的轴对称性中引入角的探讨，意在引出并强化本节课复习的重点，即“圆的旋转重合”的特性，为接下来的复习指明方向.

（二）聚焦核中核，举一反三突出重点

考虑问题面面俱到是一种良好的思维品质，而聚焦核心是提高效率的主要策略.圆的旋转的重合特性是区别于之前所学图形的本质特征，这一特性集中体现于圆周角定理.在圆心角的学习中，通过圆心角与弧间对应的位置关系，将1°的圆心角所对的弧称为1°的弧，从而建立起圆心角与弧间的数量关系，突破了不同类图形间的“楚河汉界”.再者，通过三角形内外角的关系探索得到同一条弧所对的圆周角和圆心角间的数量关系，由此可得圆心角在圆周角与弧之间的桥梁作用.因而抓住了圆心角这一“核中核”，问题解决的思路也就明朗了：可将圆周角转化成圆心角或圆心角的一半，也可将圆周角转化成弧使问题得以解决.在问题解决中，教师引导学生在不断地“反刍”中形成有序思考的习惯.

（三）数形结合巧转化，以退为进破难点

直面问题是一种为人处世的态度，以退为进是问题解决的一种策略.问题呈现的背景往往是错综复杂的，厘清脉络并化繁为简的过程就是问题解决的过程.很多时候，一味地追求势如破竹式的解题速度往往适得其反，这时更需要教师带着学生静下心来分析问题中隐含的信息，甚至以退为进提高复习的有效性.要证明数量间的关系m－n＋2＝0，先退一步将其转化为“∠B－∠C＋2α＝0”研究具体的角度问题，最后利用圆的基本性质将相关条件集中到基本图形中，利用三角形、四边形内角或弧度间的数量关系使问题得以解决.