《线性代数》课程混合式教学的设计与实施

阎昕明， 田德路， 张然然

（广东第二师范学院 数学系， 广东 广州510303）

0 引言

《线性代数》是高等院校理工类和经管类专业的数学基础课程. 关于该课程的改革、教学方法等研究受到了学者们的普遍关注［1－2］. 随着大学课程在线学习平台和信息化教学手段的广泛发展和取得的良好教学效果，有学者针对已上线的线性代数在线开放课程予以介绍［3］，也有对课前以在线学习引领线性代数课堂教学的混合式教学的研究［4］， 以计算思维驱动线性代数的现代教学和课程改革的研究［5］，以及线性代数课程中可视化教学案例的研究［6］等，但对基于在线学习平台的线性代数课程混合式教学的具体教学设计与实施的研究尚未见到.

在传统授课模式下，线性代数课堂教学存在一些难以逾越的困境. 例如，在一个约60 人的授课班级里，学生的数学学习基础存在着明显的差异，认知水平、理解能力和学习习惯都有较大的不同，教师很难顾及到每一个学生的学习状况，导致有些学生“吃不饱”，有些学生“吃不着”，教学效果难以达到理想的水平. 另外，大学数学基础课程普遍进度快、坡度大、概念强，外延知识较多［7］，仅凭借课堂教师的教学，难以最大程度地传授知识. 因此针对类似线性代数的课程，在线开放平台的利用和线上线下多种混合教学渠道将有利于解决教学活动中规模化与个性化之间的矛盾，并提供课前、课中和课后多种教学形态，满足不同学习程度学生的需要.

鉴于利用在线学习平台的教学与传统意义上的教学在教学过程、教学方法和师生互动等方面存在明显差异，作为一线教师如何最大程度地利用好信息化手段服务教学，教学设计方案的制定和实施就显得尤为重要. 本文将从学情与教材分析、课前、课中、课后和教学反思5 个方面来制定和实施基于在线学习平台的线性代数课程线上线下混合式教学设计方案.

1 《线性代数》课程混合式教学的设计与实施

1.1 学情与教材分析

在线学习平台的真正价值在于辅助课堂教学并实现原有的教学手段难以达到甚至达不到的教学效果.因此，线性代数的教学设计须先进行学情分析和教材分析.

1.1.1 学情分析

《线性代数》课程教学对象为大学一年级非数学专业理工科学生，他们有强烈的好奇心、认知的敏锐性，具备一定的自学能力和对基本概念的理解能力，但仍欠缺大学数学学习的逻辑思维能力和深入分析问题的能力. 因此，针对各节教学内容，教师可借助学生已有的知识经验帮助其理解概念. 为了增强学生的求知欲，教师在教学中可创设富有挑战性、新颖有趣的数学问题，并以微课和网上答疑的形式给出解决该问题的思路和方法.

针对学情，教师要“身临其境”为学生着想，基于线性代数课程分析如何从学生角度出发，如何调动学生学习的主动性，充分利用在线开放课程获得更多知识； 巧设教学内容，“知行合一”探索教学设计改革； 通过上一章节作业的在线反馈数据，精确地了解学生对上一节课学习内容的掌握情况等.

1.1.2 教材分析

教材在线性代数课程的教学中有很重要的作用，在线性代数课程混合式教学设计中，教师要认真分析和研究、理解和掌握教材内容，进而灵活地运用、组织和处理教材，合理地划分线上和线下教学内容. 首先，教师应充分分析教材中知识发生的前因后果，例如“行列式”一节引入二阶和三阶行列式，是以加强与中学数学内容的衔接为目的； 又如先引进矩阵的初等变换和秩的概念，藉此建立线性方程组有唯一解和无穷多解的充要条件，解决线性方程组的求解问题. 其次，教师通过教材内容的结构分析，确定教学中需发布在平台用于引入课程的材料，从而建立合理的课程结构并确定重难点. 例如“向量的正交性”一节共涉及4 个重要知识点：标准正交基、施密特正交化方法、正交矩阵和正交变换. 教学重点是标准正交基的概念和应用，教学难点是施密特正交化方法的推导过程. 通过分析教材，确定该节课程的结构：基本概念可以放在课前导学预习中，利用导学案或微课的形式线上推送； 教材中关于施密特正交化的几何展示可在课中用多媒体演示，这更利于学生形象理解； 由于时间有限，教材中关于施瓦茨不等式的证明可留作课后练习并以网上推送证明过程的方式解答； 关于标准正交基有何优势可作为开放性思考题在课后以微课的形式展示并留言互动.

针对教材，教师要分析本节教材的哪些内容适合设计为在线开放课程的预习微课，哪些内容适合情景创设教学，哪些内容适合课后讨论型微课，哪些内容可以推送给学生作为课外学习资源等.

在学情与教材分析环节，教师通过深挖教材，以培养学生能力为目标，确定课程的教学目标、完成课程所需的学时以及设计课程结构和学习活动来整合线上线下学习，从而促成教学目标的实现.

1.2 课前导学预习

在线学习平台是利用信息化手段开发的教学资源，可供学生在线观看和学习. 针对线性代数课前导学预习部分， 学生可在线阅览教学资源，完成课前测试（多数章节配有导学案或知识点微课供学生课前观看，生动易懂，便于理解）. 根据上一节课后作业的完成情况，教师可适时调整课前预习内容，合理应用技术以促进学生学习.

例1“矩阵的运算”一节的课前导学案见表1.

表1 矩阵与行列式的区别

例2“向量的正交性”一节的课前教学设计要点如下.

第一部分以微课的形式介绍解析几何中内积的概念、性质以及由此内积定义的长度、角度，启发学生能否将此内积性质抽象化，得到数学上一般的内积概念的定义. 第二部分以线上导学案的形式给出本节基础知识点的总结，具体见表2.

表2 “向量的正交性”导学案

在课前环节，学生通过导学预习本节学习内容并检测认知水平； 教师通过线上反馈掌握学生学习情况，为高效的课堂教学奠定基础.

1.3 课中探究学习、实时检测

教师在授课过程中可借助线上信息化教学资源让教学内容直观化、动态化和多元化，这有助于学生领会教学内容. 根据课程特点，线性代数教学中常见的信息化教学资源有：动画（二维或三维）、在线资源库、思维导图、线上实时检测试卷和二维码实时互动等. 在具体的制定和实施课中教学设计时，要注意设计的内容和形式是为了更好地解决当下的教学问题，改善教学效果.

例3“向量的正交性”一节的课中教学设计要点如下.

1）在学生课前线上预习的基础上，教师要着重强调数学上向量内积的一般定义. 在讲解定义的过程中强调内积是一个二元实函数，2 个向量作内积的结果是实数，不再是向量. 内积的正定性常常用于证明一个向量是零向量.

2）给出施瓦茨不等式，证明留作课后微课扩展学习.

3）动画演示向量的正交性和线性相关性之间的关系.

4）给出标准正交基的定义，结合定义给出判断标准正交基的充要条件，即设n维向量e1，e2，…，er是向量空间V（⊆Rn）的一个基，则e1，e2，…，er是V的一个标准正交基的充分必要条件是

注意结合几何图形演示：三维几何空间中的基就是坐标系的坐标向量，标准正交基就是直角坐标系的坐标向量.

5）请同学们思考为什么在给向量空间取基时常常要取标准正交基，即标准正交基有何优势？ 针对这一思考题，学生课后可在充分自主探究后观看线上微课.

6）几何图形演示二维和三维空间中的施密特正交化方法（如图1 和图2 所示），易于学生理解和记忆［8］.

7）板书讲解例题，有助于学生领悟解题过程和掌握解题技巧.

8）讲解正交矩阵和正交变换的定义和性质，关于正交矩阵和正交变换的扩展内容可留作课后线上阅读材料.

9）本节涉及的知识点较多， 课上可借助思维导图总结，如图3 所示.

10）借助线上教学工具设计练习题，题型为选择题或填空题，用于实时检测本节学习内容，学生可借助电子终端设备作答，具体题目见表3.

在课中环节，教师充分利用线上可视化教学手段设计该节教学内容，可有效地帮助学生梳理线性代数中的数学概念、理解推导过程和建立数学模型应用等.

图1 二维空间中的施密特正交化方法

图2 三维空间中的施密特正交化方法

图3 “向量的正交性”一节思维导图总结

1.4 课后微课辅导、答疑互动、批阅作业

在线开放课程为课后阅读、释疑和扩展训练带来了丰富的交流渠道，由单一的线下交流变为线上、线下多途径交流，这为学生提供了更多的互助沟通的机会，提高了学生的表达能力和分析解决数学问题的能力. 鉴于线性代数中各章节的关联性较强，学生还可利用线上工具自主完成一节或一章内容的意义建构，他们在整合知识、充分思考后更乐于观看和参与微课讨论活动. 同时，信息技术成为学生主动学习的资源收集、建构以及分析的工具，例如基于Maple T.A.系统的在线进阶测试，可以引导学生进行循序渐进的学习，前一环节的测试完成才可进入下一环节的测试，这有利于强化学生的薄弱环节［8］.根据线性代数各章节涉及的相关领域的发展背景，课后可增加前沿领域的相关介绍和联系生活实际的数学问题，使学生具有较宽的数学知识面.

表3 “向量的正交性”课堂在线练习题

例4“矩阵的运算”一节课后线上题目如下.

假设某只股票的行情有3 种状态：涨、跌、停， 如果这只股票今天跌，则明天涨的概率为1／2，跌的概率为1／4，停的概率也为1／4. 如果这只股票今天涨或停，则明天行情会出现另外的概率，如表4 所示.

表4 股票行情分析

我们将这些概率排成一个矩阵，设

已知这只股票今天涨、跌、停的概率可写为

请问这只股票明天涨、跌、停的概率是多少？

该题目通过将矩阵乘法运算应用在预测股票行情的实际问题上，进而培养学生利用数学模型解决生活实际问题的能力.

例5“向量的正交性”一节的课后教学设计要点如下.

1）创设思考题.为什么我们在给向量空间取基时常常取标准正交基？ 即标准正交基有何优势？ 设计微课内容：首先，教师针对研究该问题所需的基础知识进行复习回顾.其次，逐步探讨标准正交基的优势，尽可能详尽地为学生展示推导过程，并给学生预留分析的空间.再次，用通俗易懂的语言对标准正交基的优势进行小结：在标准正交基下一个向量的坐标可由内积得出； 在标准正交基下计算2 个向量的内积最简单，进而计算向量的长度、2 个向量的距离等度量性质也简单； 由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵有特殊形式，是正交矩阵.最后针对这一开放性问题提出：若同学们找到更多的优势可以留言互动.

2）线上阅读材料.材料1：欧式空间V 中的正交变换只包含：旋转、反射以及旋转加反射的组合（即瑕旋转），分别对这3 种几何直观予以介绍； 材料2：正交矩阵的一些性质和证明； 材料3：施瓦茨不等式的证明.

3）除了书本习题作业以外，线上创设有一定难度的题目.如：“一组向量α1，α2，…，αn的格拉姆行列式是这组向量的关于内积的对称矩阵的行列式，即

设α1，α2，…，αn是向量空间V 的一个线性无关向量组，β1，β2，…，βn是由α1，α2，…，αn通过施密特正交化所得的向量，证明这2 个向量组的格拉姆行列式相等.”

在课后环节，教师充分利用在线学习平台投放阅读材料，以弥补学有余地的学生课上知识量获取的不足. 录制的教学微视频有助于学生完成知识整合，引导学生将知识碎片有效聚合，形成系统. 创设的思考题有助于激发学生的学习兴趣，从而提高他们的自我效能感.

1.5 教学反思

因为基于在线开放课程的线性代数课程混合教学模式的开展还处于探索阶段，所以教学设计中有必要通过教学反思部分审视教学环节的合理性和必要性，从而不断地调整教学内容、改进教学手段和创新教学模式.

例6 “向量的正交性”一节的教学反思如下.

课前线上微课和导学案的预习有助于培养学生自主探究的能力，也节省课时. 课中利用线上多媒体直观性展示说明性质、定理和方法的推导过程，使课堂教学变得生动、形象. 课后自主探究开放性思考题，可发挥微课补充课堂教学的作用，也体现基于问题解决的课程设置理念［9］，学生在充分思考后更乐于观看和参与微课. 总之，制定此教学设计的初衷是让学生获得愉快的学习体验，增强学习的信心，通过这种“线上＋线下”混合教学的模式改变知识单向传递的弊端，极大地发挥了学生学习的主体地位.

在一节课的教学反思环节，教师应本着实事求是的原则，总结优势和不足，进而引导和启发后续章节教学的设计和实施.

2 结语

应用信息技术变革教学方式、制定符合实际需要的教学设计是一个漫长而艰辛的进程，教学中通过调整课程结构、提供多种课堂形态、鼓励任课教师积极学习和掌握多媒体技术以适应快速发展的教育教学方式.教学关涉师生的成长，课堂不能为了迎合技术而应用技术，而是合理应用技术以促进学生学习，只有教师恰当地运用技术和精心地设计教学，才能够达到线上与线下相辅相成和相互交融，从而提高教学质量和教学效率. 本文仅针对线性代数课程的教学内容并选取有代表性的章节进行教学设计，希望通过该教学设计的阐述，启发教师更多地将线上线下混合式教学的设计方法、理念应用到其他课程中.

总之，线上学习平台的引入并不代表教师为了最大化应用信息技术而丢失最基础的教学设计环节. 恰恰相反，由于混合教学模式的运用给教师的教学设计带来了更多的创新和挑战，教师应整合教学内容，重视每一节的教学设计，有的放矢地应用信息技术、创新教学模式，从而达到更好的教学效果.