算法优化后，不妨更进一步

管小冬

《分数除以分数》一课的教学中，在呈现教材例题（如下图），学生阅读、分析并列出算式后，我请他们先独立思考，再在小组中交流。随后进行的全班交流中，大家一起梳理出了三种代表性方法：1.化为小数后计算；2.用分母除以分母的商作分母，分子除以分子的商作分子；3.将除以改为乘它的倒数。接着，大家又在更大范围内分析、思考这些方法的适用性，进而发现前两种方法均有一定的局限，方法3 则普遍适用。由此，学生总结出分数除法的计算方法——“除以一个数（0 除外），等于乘这个数的倒数”。

一节课下来，颇有些酣畅淋漓的感觉。原因有二：一是学生呈现了多种个性化算法。这表明即使在面对单纯的计算问题时，他们也能积极从自身的知识、经验出发，思考解决问题的方法，思维趋于开放状态。二是在算法优化环节，学生并未轻易否定与书本不同的方法，而是深入分析了各种方法的适用范围，展现出他们分析问题时的审慎态度与思维的全面性。

欣喜之余，我习惯性地开始思考，课堂之中有哪些环节还可以处理得更好？在学生的生成中，是否还有些“灵光”未能被我及时捕捉？

盘点中，我的目光渐渐聚焦于一位学生提出的方法二——“用分母除以分母的商作分母，分子除以分子的商作分子”，她的灵感来自于分数乘法的计算方法。

初始，大家对她的方法是惊讶且欣喜的，她的脸上也洋溢着自豪。我想，这种惊讶、欣喜、自豪，可能源于他们其实已经知道了分数除以分数的“正规算法”，而又突然发现“分数除法竟然还可以这样算！”随后，经过进一步的尝试、对比和分析，当发现这种方法的“局限”而又重归“正规算法”时，大家又是平静的。现在回想起来，在这种平静之中，他们似乎在对我、对这位学生、对他们自己说，“瞧，最后还得这样吧！”

是的，纵观整节课，虽说有学生的生成、碰撞、辨析与精彩，但作为组织者与引导者的我，一直都坚定地带领他们从算法多样化，经由算法优化，最终走向算法一致化。而这，也是当下计算课堂的经典招式。因为，在我们的潜意识中，理解算理、掌握算法仍是计算课最重要的教学目标。还因为我们很清楚，学生个性化的算法，终究是敌不过教材呈现的那历经人类千百年智慧凝练而成的算法的。所以，虽然我们始终在倡导算法多样化，但其实只是将之作为通向“正规算法”路途中的点缀而已。

但对学生而言，重要的恰恰却是那些属于他们自己的算法。因为最终的“正规算法”可能早已经由书本、成人向他们传递，而这些属于他们自己的个性化算法往往却是他们经验的汇聚、灵感的萌发。我想，带领他们紧抓住自己的灵感，持续深入地思考下去，进而获得属于自己的解决问题的方法，感受数学学习、研究的乐趣，应该要远比掌握一个“正规算法”重要得多。因为，数学学习的目的，不止于基础知识与基本技能，更为重要的是带领他们学会思考，特别是长时间的思考。

基于以上想法，我对这部分内容的教学做了如下改进与补充。

首先，在课堂的总结与回顾环节，引导学生思考：针对方法二的局限性——只适用于被除数的分子、分母分别都是除数的分子、分母的倍数这一情况，我们能否想办法化解，使之也能普遍适用。之所以放在总结与回顾环节，是因为分数除法的计算方法是学生后续探究分数其他相关问题重要的基础知识与基本技能，对个性化算法的继续探究应建立在学生理解算理、掌握算法的基础之上。同时，这样的安排也使得在课末，对“分数除法可以怎样算？”这一问题的探究，不因“正规算法”的归纳得出画上句号，而是给学生留下了进一步思考与探索的空间，促使其根据问题的症结所在，充分调动自身已有的知识与经验，探寻解决问题的方法，并在此过程中进一步增强知识间的联系与融通，达成对分数及分数运算的深度理解。

其次，将对方法二的研究作为学生近期数学研究的小课题，持续关注学生的研究进展，协助其解决研究中的疑难，组织开展交流讨论活动。事实上，学生的后续研究也确实给大家带来不少惊喜。有些方法甚至脱离了方法二的思路，真正是“条条大路通罗马”“给我一个舞台，还你一片精彩”！

现将部分学生的方法摘录如下。

最后，组织学生对相应方法进行适当归纳、提炼。如对方法A，引导学生理解要求，即是求，根据分数乘法计算法则，有。显然，被除数是除数与商的分子分母分别相乘并约分后的结果。由此理解“用分母除以分母的商作分母，分子除以分子的商作分子”这一算法的合理性。同时，引导学生进一步细化分析，即，发现虽然思路不同，计算途径迥异，但最终仍可归纳提炼为“除以一个数（0 除外），等于乘这个数的倒数”，进而理解教材呈现的“正规算法”其实是建立在多种不同算法基础上的最优化、最简洁的数学表达，并获得算理的多元理解与算法的深度掌握。

在此基础上，就算法优化后，如何更进一步，让我们的计算教学更好地由“方法的统一”和过于“注重计算技能”转变为“尊重学生的思维特点、重视学生思维能力的培养”，我总结出以下几点建议，与大家交流。

一、宜在算法优化后进行

将对个性化算法的持续、深入研究放置于算法优化后，主要基于三个方面的考虑。首先，在计算新授课中，我们往往需要在四十分钟内带领学生完成算理理解、算法掌握及巩固等任务。而学生的个性化算法往往源自其自身知识、经验基础上的独特思考，有些在短时间内可辨析清楚，有些需要较长时间的思考与理解，有些甚至短期内无法解决。其次，依据心理学的“首因效应”——“当不同的信息结合在一起时，人们总是倾向于重视前面的信息”，我们应首先促成学生对“正规算法”算理的理解和算法的掌握。最后，这样的安排可以使学生认识到，算法的得出并不意味着研究的结束，后续持续深入的研究仍会有新理解、新发现。这也有利于培养、发展学生“长时间思考”的习惯与能力。

二、更需教师的适时参与与适度点拨

算法优化后的持续探讨，研究内容往往是课上暂时搁置的学生一些极具个性化的想法，或是在理解、掌握“正规算法”过程中引发的另类思考。这些想法的产生或基于经验，或源自直觉，或初具理性。研究中，思路的梳理、方法的转换、难点的突破、最终的表达都需要学生具备较高的分析、推理、判断与决策能力，其间的困难不言而喻。而教师的适时参与与适度点拨，往往会使学生由“山穷水尽”到“柳暗花明”，从而完整经历数学研究的全过程，并增添勇气，增强攻坚克难意识，不断树立学好数学的信心。如上述教学中，交流方法A 后，教师适度点拨，“除了分数的基本性质，想想，还有哪些我们学过的知识可能对计算分数除法有帮助呢？由此，你能找到新思路、新方法吗？”正是这样的追问，促使学生不断开阔思路，进而催生出之后呈现的更多方法。

三、可适当增加形式思维的比重

基于小学生的思维特点、教材编排，我们的教学通常会将算法的研究放置于具体情境中进行，从而借助具体事件、直观模型帮助学生理解算理、掌握算法。但我们应明白，培养、发展学生的抽象思维与逻辑推理能力是数学教学的必然追求，且“很多数学知识其实都是数学内部抽象与演绎的结果”。因此，算法优化后的持续研究，可适当增加形式思维的比重，有意识地引导学生从具体直观向形式抽象过渡，进而达成对数学知识形式化、结构化的理解，获得数学思维能力的逐步提升。如上述教学中，引导学生借助已有知识将分数除法转化为除数是整数的除法，乃至除数是1 的除法，都是培养、发展学生抽象思维与推理能力的一次有益尝试。

最后，需要特别指出的是，“算法是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。”因此，对算法优化后如何更进一步的探讨，可从计算教学延伸至更大范围，并借此推动学生数学学习能力，特别是长时间思考与系统思考能力的提升。