用好学习材料 发展思维能力——《20以内进位加法》相关教学再探索

张 慧

数学教育“既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用”。好的教学，与其说是找到了好的教学方法，不如说是精心准备了合适的学习材料。鲍建生教授在指出：培养学生的思维能力，关键是学习材料的设计。本文以《20 以内进位加法》教学为例，谈谈算法多样化和以代数思维启发为手段，培养学生思维能力的教学路径。

一、探索多样的算法，培养思维能力

算法多样是在运算教学中培养学生思维能力和创新能力的重要路径之一。新思维数学积极倡导在学习标准计算程序的同时把训练重点从习得运算技能转向思考性训练，培养学生的创新意识，给学生提供创新机会，帮助学生积累创新经验。鼓励学生探索多样化的算法应当作为运算教学始终如一的教学目标，关键在于问题情境的设计以及教学反馈的组织。《20 以内的进位加法》是新思维数学一年级上册新授课的最后一个单元。此时，学生已经掌握10 以内的加减法、10 加几和十几减几，而这一内容也是以后学生学习多位数进位加法的重要基础，在加法学习中起着承上启下的作用。如何在教学中渗透数学思想，发展思维呢？笔者对《20 以内的进位加法》做了如下设计——

师：同学们玩过飞镖吗？你们喜欢玩吗？不仅你们喜欢，森林里的小动物们也非常喜欢玩呢！森林运动会的射击比赛就要开始了，狐狸裁判再一次邀请我们去观看射击比赛，大家愿意去看看吗？

课件演示：射击比赛场景；小动物争第一的场景；射击成绩表。

师：究竟谁是第一名呢？（学生猜测）到底谁是第一名，我们有什么办法可以确切地知道？

?

生：通过计算可以知道。

师：我们先算谁呢？先算小猪好吗？怎么列式？

生：8+5。

（学生独立计算）

方法1：10＋5＝15，9＋5＝14，8＋5＝13。

方法2：8 ＋2 ＝10，2+3 ＝5，8 ＋2+3=13。

方法3：5＋5＝10，5＋6＝11，5＋7＝12，5＋8＝13。

方法4：8＝10－2，8＋5＝10＋5－2＝13。

方法5：5 ＋5 ＝10，5 ＋3 ＝8，8 ＋5＝5＋5＋3＝13。

（学生汇报交流）

师：小组讨论，哪些方法你能看懂？哪些方法你有不懂的要提出来。选择能解释的方法来说一说。

生：方法1 一个一个地推。10加5 等于15，那么9 加5 少了1，是14，8 加5 就再少1，是13。

生：方法3 两个5 相加是10，5 加6 多1 个是11，5 加7 多2个是12，5 加8 多3 个是13。

生：方法5 把8 里面分出5，两个5 相加是10，10 再加上3 就是13。

师：你们都解释得很好。有没有不懂的问题？

生：方法4 为什么要减2 呢？

师：算加法怎么会跑出减法来呢？

生：把8 看成10，就多了2。10+5 是15，再把多加的2 减去，就是13。

师：真能干，不仅自己会算，还能解释别人的算法。再来一个更有挑战性的问题，哪些方法有共同点？

生：方法1、2、3 都是根据我已经会算的算式，然后根据之前学过的规律，其中一个加数不变另一个加数增加或者减少，和也相应增加或者减少。

师：这是一个算式推导出来的。能利用我们学过的知识解决问题，这是一个好方法。

生：方法4、5 都先凑出一个10，然后再用我们之前学过的10加几和十几加减几来计算。

师：你们给这种方法起个名字吧。我们叫“凑十法”。

师：凑十法的两种方法有什么相同点和不同点？

生：相同点是都要找到10。

生：不同点是第一种凑十法是找8 和几凑十，第二种凑十法是找5 和几凑十。

师：方法2 是看大数拆小数；方法5 看小数拆大数。

师：我们在计算的时候可以拆大数也可以拆小数。

师：今天我们学习了“凑十法”，谁能根据鸡蛋的情境图说得更具体一点？

生：从5 个鸡蛋里取2 个，放在8 个鸡蛋的蛋架里，8 和2 凑成10，10 再加剩下的3 等于13。

生：我们是这样想的，从8 个鸡蛋里取5 个，放在5 个鸡蛋的蛋架里，5 和5 凑成10，10 再加剩下的3 等于13。

对于大多数一年级上学期的学生来说，他们在教师正式教学20 以内进位加法之前，都已经能正确地算出答案。本课教学的目标不能局限于算出结果，或是追求算得又对又快，更为重要的是通过算法多样来发展学生的思维能力。算法多样并不是对一个学生的要求，而是对全班学生集体思考的要求。教学只要留给学生足够的时间去思考，学生就会想出很多的计算方法。进一步，组织学生理解这些不同的方法，获得广泛的解决问题的思路，积累解决问题的经验，这既是算法多样的教学目标要求，也是通过算法多样发展学生思维能力的路径之一。

那么，学生何以产生如此丰富的思考呢？

一是前期教学打下的基础。主要基于两个方面：其一，在学习10 以内的加减法时，掌握了对一个数进行灵活拆分的方法。其二，在认识十几的数时经历了丰富的圈十数数的活动。在这样的活动中，不仅有利于学生概括十几的数的组成，同时也积累了十加几就是十几的思维经验。

二是得益于本课的问题情境。教材提供的放鸡蛋的蛋架，是有结构设计的，学生根据已经放的鸡蛋和留存的空位，容易产生凑十的思路。这也就是说，好的计算情境，不仅能从情境中引出要计算的题目，还要能对算法的探索提供智力支持。

二、萌发代数思维，培养思维能力

学生对数学知识的理解及能力发展不是一蹴而就的，是有一个逐步提高的过程。新思维小学数学教学体系，致力于使学生在学习重要知识与形成能力时，像“滚雪球”那样滚动发展，经历由浅入深、由小到大、逐步积累的过程。

众所周知，算术和代数知识是两个不同阶段的学习内容，通常是先学习算术，到了高年级才开始学习代数，导致了算术和代数学习的脱节，这可能是影响学生从算术思维转向代数思维困难的重要原因。新思维小学数学从一年级开始就把算式计算与代数运算有机整合，促进代数思维的早期萌发。

在20 以内进位加法的练习课中，笔者设计的练习是8+7=10+（ ）。对于初次接触这个问题的一年级学生来说，这是一个颇具挑战的数学任务，学生需要重构对等号的理解：即把等号从原来所理解的“得到答案”调整为“左右两边平衡”。事实上，对等号的两种不同理解，在一定程度上代表了算术思维与代数思维的差异。

一般来说，学生习惯于看到一个算式，马上算出一个答案，如果这个问题设计成8+7=（）+10，那么在括号内填15 的学生将会很多。考虑到代数思维早期萌发是一个有挑战性的研究课题，学生习惯于根据既定的程序进行计算，而不善用“平衡”来思考上述问题，我们给出了如8+7=10+（）这样的形式。

师：你在括号里填了几？请你仔细地想一想，并说明理由。

生：我填了5。

师：你是怎么想的？能与大家分享吗？

生：我是这样想的：先算左面的和是15，再想10 加几是15，10+5=15。

生：先算左面的和是15，再算15-10=5，所以括号里填5。

师：先算出左边的得数，再用它减10。哪些同学也是这样想的？

师：还有不一样的想法吗？

生：我是这样想的，可以把8看成10，这里多加了2，另一个加数就要减2，所以括号里填5。

师：这位同学的想法可行吗？为什么括号里的数比7 少2 呢？

生：因为把8 看成10，多看了2，所以另外一个加数7 要减去2，保持平衡。［使用天平进行直观演示：先在天平两边都放上两袋（8+7）个小球，然后在天平右边一个口袋里再放入2 个小球］

师：想要天平平衡，右边另一个小袋里应该——

生：拿出2 个小球。

师：还有别的想法吗？

生：可以想把7 变成10，这样等于多加了3；另一个加数8就要减3，所以括号里填5。

学生解决这个问题的意义，主要不在计算上，而在于对等号的理解上。对等号的理解是从算术思维走向代数思维的关键步骤。在小学数学中，学生第一次接触等号是在数的大小比较中，得到两个数的大小比较关系。之后一直在运算中使用等号，如：1＋2＝3，因此学生很自然地将等号与得出结果联系在一起，把等号看作一种运算符号。而在代数思维中，等号的意义需要从“得出”拓展为“等价关系”。对于等价关系的理解，亦不仅局限在两边结果相等上，更应该关注到等式中的“结构”关系，即8→10 增加了2，如果要保证等式平衡，那么7就应该相应地减少2，得到5。从通过计算结果来判断到通过分析关系来判断，学生的代数思维又进了一大步。

在教学中，我们需要创设既能联系基础又能拓展思维空间的开放教学情境，把加强基础知识与培养思维有机地结合起来，落实到具体的课堂行动中。