以知识应用看数学概念的建构策略——以“公顷”概念教学为例

费岭峰

“公顷”作为一个测量土地面积常用单位的学习，人教版教科书是编排在四年级上册的第二单元。从学习起点来看，学生对“公顷”的认识，有两个维度的经验基础：一是知识储备基础，即对面积的认识基础，面积是指“面”的大小，表现为“二维”的空间感知；二是能力经验基础，这也是学生对面积概念理解的数学活动经验，即如何与长度建立联系、如何建构起相应的量感等等。

从学习目标来看，我们可以从对“公顷”概念的“认识”水平来考查。常见测评题如填空：5 公顷=（ ）平方米或20000 平方米=（ ）公顷。重点考查“公顷”与同为面积单位的“平方米”间的进率关系，体现的是知识的记忆与技能的简单应用。还可以从对“公顷”的“理解”水平来考查。可设计成这样的测评题：在（ ）里填上适当的面积单位，如，动物园的占地面积约是3（ ）。较之前面填空，在知识的认知要求上已经提高了，测查的不仅仅是知识的记忆与简单应用，还在测查学生对相应面积的量感把握与理解水平。

我区在2019年第一学期小学四年级数学“能力素养”监测卷中，设计了对“公顷”概念“应用”水平的考查。测评题如下：

小敏家有一个长方形农场，面积为3 公顷。这个长方形农场的长可能是（ ），宽可能是（ ）。

给定的分值是每空2 分，共4 分。其测评的意义在于检测学生对“公顷”这一面积单位的空间感与概念理解的活动经验这两个方面的水平状况，有较大的创新与丰富。主要表现为：以知识的应用，考查学生对“‘公顷’是面积单位”的认知水平（包括“公顷”与“平方米”的转化，以及图形面积与长度之间的关系把握）。形式上虽采用的是“填空”形式，但答案却是开放的，寓本质内涵于多样的表现形式中，了解学生对概念的建构水平。

【测试数据分析】

此题的基本思路：一个长方形的面积是3 公顷，也就是30000 平方米。长方形的面积=长×宽，现在面积是30000 平方米，也就是说长×宽的积是30000平方米。解答时，只要去想，（ ）米×（ ）米=30000平方米，这里的两个长度量就是本题的答案。总体抽样300 份试卷（包括城市实验学校、城市小规模学校、乡镇中心小学、村级完全小学的学生）进行统计，正确人数为110 人，占抽样人数的36.7%。

正确答案中主要有两类：

一类答案：长300 米、宽100 米，占抽样总人数的17%，占正确人数的46.4%，接近一半。

另一类答案：长600 米、宽50 米（或长500 米、宽60 米），占抽样总人数的11%，占正确人数的30%。

以上两类答案共占正确人数的76.4%，接近八成，可以认为这两类答案为基本答案，为一般学生所采用。当然也会有：长200 米、宽150 米，长1000 米、宽30 米或长1500 米、宽20 米，合计占抽样总人数的4.3%，占正确人数的11.8%。

以上解答的过程，应该属于比较常规的思路。解答正确，思路也比较清晰。这样的解答过程，对于“公顷”是个面积单位是理解的，且对于“1 公顷=10000平方米”的认识也比较清楚，而且转化的技能也掌握得比较好，“3 公顷=30000 平方米”转化也比较到位，我们可以用“四平八稳”来描述。

【典型答案解析】

接下来就本题解答过程中的两类典型答案进行解读与分析。

第一类：值得商榷的答案。

图1（略）。

答案中，长30000 米、宽1 米（或长10000 米、宽3 米），占抽样总人数的3.3%，占正确人数的9.1%。

图2（略）。

答案中，长15000 米、宽2 米（或长5000 米、宽6 米），占抽样总人数的1%，占正确人数的2.7%。

这样的答案，在数学层面（也就是我们常说的理论层面）还是相当的简洁且清晰。结果完全符合数理结论。但从生活角度来思考，却是不切实际的。此类答案，在评分时没有扣分，但在数据解读时，需要提醒教师应该注意进行适当的引导，以使学生在解决生活问题时，应关注问题的现实意义，即解题结果相对符合常理。

第二类：典型的错误答案。

对学生的错误解答，我们分成了四个水平层次来统计与分析：一是完全错误，属于“零”水平（包括没做的）；二是直接将“公顷”当作一般的面积单位思考（如平方米等），属于一级水平；三是转换成了长度来思考，但把30000 平方米作为周长来计算，属于二级水平；三是转换成长度来思考，同时还考虑到长方形的面积是用长×宽来计算的，但结果算错，属于三级水平。

归因分析：

1.“零”水平学生（占比14.7%）：对“公顷”的知识一无所知。如下面学生的答案，不知道是怎样想的，需要进行访谈才能知晓。

图1（略）。

图2（略）。

2.一级水平的学生（占比16.7%）：单位错误，主要是指直接将“3 公顷”作为长度来计算，出现两种情况：一种是长为3 公顷，宽为1 公顷，长方形面积计算方法正确，但对“公顷”是面积概念的认识有误；还有一种是长为2 公顷，宽为1 公顷，同样对“公顷”是面积概念的认识错误。不包括转换成了面积单位，最后数据正确，后缀单位写成“平方米”的学生。

图3（略）。

图4（略）。

3.二级水平的学生（占比13.7%）：知道“公顷”是个面积单位，不是长度单位，所以不能直接运算，而是需要转换成面积单位，即30000 平方米。但最后在计算时，想成了周长的计算方法。如长8000 米、宽7000 米；再如长10000 米、宽5000 米等等。

图5（略）。

图6（略）。

4.三级水平的学生（占比18.3%）：思路是正确的，但计算出错（包括单位写成了平方米的错误）。这种错误与计算能力有关，也与学生对面积和长度单位的敏感性不强有关。当然，终究还是对面积单位“公顷”“平方米”与长度单位“米”之间的联系与区别掌握不到位。

刻槽需要在桥面收浆后进行，通常情况下，桥面刻槽的宽度与深度需要分别控制在3mm、5mm之间，并且刻槽的间距控制在30mm范围。

图7（略）。

图8（略）。

【教学活动设计的建议】

“公顷”和“平方千米”作为常用的土地面积单位。首先属于“量与计量”内容，其次属于测量的范畴。因此，教学时需要做好以下几个层面的引导。

一、“情境问题”引出面积，突出“公顷”作为面积单位的“意义”的理解

教学“公顷”时，应以认识“面积”导入，体会测量土地等较大的面积时，需要用到“公顷”。比如，可以用下面的问题切入：

请选择合适的面积单位（口答完成）。

1.橡皮正面的面积大约是6（ ）。

2.单人课桌面的面积约是20（ ）。

3.一间教室地面的面积约是50（ ）。

以上三题指名回答后，请学生用手比划一下面积的大小。然后提出问题：“国家体育场‘鸟巢’的占地面积约是20（ ）”。请学生选择恰当的单位填入。引导发现：“鸟巢”的占地面积20 后面的面积单位填“平方米”不合适，更不可能填“平方分米”或者“平方厘米”。需要一个比“平方米”还要大的面积单位才能表示出来。今天我们就来认识一个测量土地面积时常用的面积单位——公顷。

这是从旧知复习引入，唤起学生对面积单位的认知经验，并以一个新的问题引发学生进入学习状态，新知的引出产生于学生的认知冲突，能够有效激发学生学习的欲望。

二、“迁移类比”思考问题，引导学生注重面积与长度间关系的理解

面积是测量的结果，测量面积需要面积单位。理解面积单位是认识面积和深入探究面积的重要前提。因此，教学中对公顷单位“1 公顷”的认识，可以设计两个层次的活动，帮助学生深度建构。

活动一：回忆面积单位的定义。引导学生回忆1平方米、1 平方分米和1 平方厘米等三个面积单位的描述定义，既唤起学生对面积单位“形”的认知，即面积单位一般用“面积是1 个单位”的正方形来表示；同时也唤起学生对面积与长度联系的经验，即“边长是1 米的正方形，面积是1 平方米”“边长是1 分米的正方形，面积是1平方分米”，这里的1 米和1 分米，即为长度，与之相对应的则是面积单位1 平方米和1 平方分米。这些认知经验都应该是后续理解“1 公顷”的概念所必需的。

活动二：探讨面积单位“1 公顷”的描述。结合以上知识的回顾，告知学生：我们同样可以用一个正方形来描述“1 公顷”这个面积单位，即“边长100 米的正方形，面积就是1 公顷”，并请学生说说理解过程。关键抓住：边长1 米的正方形面积是1 平方米；边长100 米，可以想成1 百米，那么，这个正方形的面积也就是“1 平方百米”。这个活动的目的，在于引导学生将“公顷”与“平方百米”建立联系，将面积单位公顷纳入到平方米、平方分米、平方厘米的认识习惯中，易于学生理解，同时为后续学习“平方千米”积累认知经验。

三、“面积测量”获取经验，重视直观感知与概念表象的建立

当学生对“公顷”与平方米的关系初步建立后，我们可以设计一个实践性活动为其积累量感：在操场上画一个面积是1 公顷的正方形。全班学生一起动手，借助50 米皮尺和标志杆画1 公顷的正方形。完成后，四个顶点处插上标志杆。然后请学生说说对面积是“1 公顷”的正方形的感受，据此推断学校的占地面积大约是多少。如果说，前面的学习更多是着眼于数理上的理解的话，实践性活动的目的则是帮助学生积累直接经验，形成“1 公顷”的直观表象。有了相应的直接经验之后，再辅之以相应的练习，特别是增加一些对实际场所的面积判断的练习，帮助学生更好地建构“公顷”的概念，深刻理解面积内涵。