多算子开集与[α,β]-γ-Ti空间

2020-10-10吴耀强

南昌大学学报(理科版) 2020年3期

吴耀强

(宿迁学院文理学院，江苏宿迁 223800)

1 引言与预备知识

众所周知，自从Levine[1]提出半开集概念以来，近似开集已经成为国内外拓扑学者研究的对象，如O.Njastad[2]、S.KasaharaA[3]以及A.Csaszar[4]等拓扑学者分别提出α-开集等近似开集。利用这些算子，H.Ogata[5]并进一步研究了γ-开集相关性质并得到一些新的分离公理。此外，自从J.Umehara[6]与H.Mark[8]分别引入了双算子以来，一些新的算子以及双算子分离性结论不断加以丰富[8-14]。文章[13]定义了一种多算子(即(α,β)-γ算子)而且获得一些新的结果。本文基于双算子[α,β]-算子与多算子(α,β)-γ算子引入了一个新的多算子[α,β]-γ算子的概念，研究了它们的拓扑刻画，并给出[α,β]-γ-Ti空间与(α,β)-γ-Ti空间(i=0,1/2,1,2,2/5)之间的关系。

在本文中X是非空集合，(X,T)是拓扑空间(或简称X是拓扑空间)，并用P(X),T,Fx分别表示X的幂集族、开集族与闭集族；设A⊂X，用cl(A),int(A)分别表示为A的闭包与内部。本文未申明的概念与记号均引自[1-7]。

定义1.1[3]设X是拓扑空间，设α:T→P(X),若对于任意V∈T，均有V⊂α(V)，则称α为在集合X在T上的一个算子，或简称为T的一个算子；

定义1.2设X是拓扑空间，α,β,γ为T的算子，A,B,C,D⊂X，

(1)[3]若∀x∈A，总存在U∈T使得x∈U且α(U)⊂A，则称A是α-开集，XA为α-闭集，并记Tα,Fα分别为α-开集族与α-闭集族；

(2)[13]若∀x∈B，总存在U∈Tγ使得x∈U且α(U)⊂B，则称B是(α,γ)-开集，XB为(α,γ)-闭集，并记T(α,γ),T(α,γ)分别为(α,γ)-开集族与(α,γ)-闭集族；

(3)[8]若∀x∈C，总存在U,V∈T使得x∈U,x∈V且α(U)∩β(V)⊂C，则称C是[α,β]-开集，XC是[α,β]-闭集，并记T[α,β]，T[α,β]分别为[α,β]-开集族和[α,β]-闭集族；

(4)[13]若∀x∈D,总存在U,V∈Tγ使得x∈U,x∈V且α(U)∪β(V)⊂D,则称D是(α,β)-γ-开集,XD是(α,β)-γ-闭集，记T(α,β)-γ，F(α,β)-γ分别为(α,β)-γ-开集族和(α,β)-γ-闭集族；并记cl(α,β)-γ(D)=∩{F|F∈F(α,β)-γ,且D⊂F}，int(α,β)-γ(D)=∪{U|U∈T(α,β)-γ,且U⊂D}。

定义1.3[13]设X是拓扑空间，α,β,γ为T的算子，若x∈X，对于任意U,V∈Tγ，这里x∈U,x∈V，总存在W∈Tγ且x∈W，使得α(W)⊂α(U)∩α(V)，则称(α,γ)为T的正则双算子。

定理1.1[8,13]设X是拓扑空间，α,β,γ为T的算子，则有如下结论成立：

(1) 任意个α-开集之并仍为α-开集；

(2) 任意个(α,γ)-开集之并仍为(α,γ)-开集；

(3) 任意个[α,β]-开集之并仍为[α,β]-开集；

(4) 任意个(α,β)-γ-开集之并仍为(α,β)-γ-开集。

2 [α,β]-γ-开集

定义 2.1设X是拓扑空间，α,β,γ为T的算子，E⊂X，若∀x∈E，总存在U,V∈Tγ使得x∈U,x∈V且α(U)∩β(V)⊂E，则称E是[α,β]-γ-开集，XE是[α,β]-γ-闭集，记T[α,β]-γ，F[α,β]-γ分别为[α,β]-γ-开集族和[α,β]-γ-闭集族；

注 2.1由定义易知若E是(α,β)-γ-开集，则E是[α,β]-γ-开集；但是反之不真。

例2.1设X={1,2,3},T={∅,{1},{2},{1,2},X},令α,β,γ:T→P(X),α(A)=cl(A)，β(A)=int cl(A)，γ(A)=idX，这里A⊂X。可知T[α,β]-γ={∅,{1},{2},{1,2},X}，而T(α,β)-γ={∅,X}。

命题2.1设X是拓扑空间，α,β,γ为T的算子，则有如下结论成立：

(1) 若(α,γ),(β,γ)均为T的正则双算子，对于∀A,B∈T[α,β]-γ，则A∩B∈T[α,β]-γ。

(2) 任意个[α,β]-γ-开集之并仍为[α,β]-γ-开集。

证明(1) ∀A,B∈T[α,β]-γ,设x∈A∩B，由定义2.1可知存在H,K∈Tγ使得x∈H,x∈K且α(H)∩β(K)⊂A，同理存在W,S∈Tγx∈W,x∈S且α(W)∩β(S)⊂B。从而(α(H)∩β(K))∩(α(W)∩β(S))⊂A∩B，进而(α(H)∩α(W))∩(β(K)∩β(S))⊂A∩B。又因为(α,γ),(β,γ)均为T的正则双算子，根据定义1.3可知，存在U∈Tγ且x∈U，使得α(U)⊂α(H)∩α(W),以及存在V∈Tγ且x∈V，使得β(V)⊂β(K)∩β(S),这样α(U)∩β(V)⊂A∩B，故A∩B∈T[α,β]-γ。

(2) 设x∈∪i∈IAi，这里Ai∈T[α,β]-γ,则∃i0∈I，使得x∈Ai0。由定义2.1可知，存在Ui0,Vi0∈Tγ使得x∈Ui0,x∈Vi0且α(Ui0)∩β(Vi0)⊂Ai0，从而α(Ui0)∩β(Vi0)⊂Ai0⊂∪i∈IAi，故∪i∈IAi∈T[α,β]-γ

注2.2进一步地，设X是拓扑空间，α,β,γ为T的算子，(α,γ),(β,γ)均为T的正则双算子，由命题2.1可知T[α,β]-γ为X的一个拓扑空间。

定义2.2设X是拓扑空间，α,β,γ为T的算子，A⊂X。

(1) 我们把所有包含集合A的[α,β]-γ-闭集的交集称为集合A的[α,β]-γ-闭包，记为CL[α,β]-γ(A)=∩{F|F∈F[α,β]-γ,且A⊂F}；

(2) 记cl[α,β]-γ(A)=∩{x∈A|(α(U)∩β(V))∩A≠∅,这里x∈U,x∈V,且U,V∈Tγ}。显然cl[α,β]-γ(A)⊂CL[α,β]-γ(A)。

定理 2.1设X是拓扑空间，α,β,γ为T的算子，则有如下结论成立：

(1)x∈CL[α,β]-γ(A)⟺∀V∈T[α,β]-γ,且x∈V，均有V∩A≠∅；

(2)A⊂CL[α,β]-γ(A)；

(3) 若A⊂B，则CL[α,β]-γ(A)⊂CL[α,β]-γ(B)；

(4) 若A∈F[α,β]-γ⟺A=CL[α,β]-γ(A)；

(5) CL[α,β]-γ(CL[α,β]-γ(A))=CL[α,β]-γ(A)。

证明由定义2.2易证 (1) ～(3)成立；

(4)一方面，若A=CL[α,β]-γ(A),设x∈A,则存在F∈F[α,β]-γ,且A⊂F,这样x∈F。

由于X-F∈T[α,β]-γ,且X-F⊂X-A。故X-A∈T[α,β]-γ，从而A∈F[α,β]-γ。

另一方面，若A∈F[α,β]-γ，由于CL[α,β]-γ(A)是所有包含A的最小[α,β]-γ-闭集，从而CL[α,β]-γ(A)⊂A，此外，定理2.1知A⊂CL[α,β]-γ(A)，这样A=CL[α,β]-γ(A)。

(5)显然由定理2.1知CL[α,β]-γ(A)⊂CL[α,β]-γ(CL[α,β]-γ(A))。设x∈CL[α,β]-γ(CL[α,β]-γ(A))，根据定理2.1(1)知，∀V∈T[α,β]-γ,且x∈V，均有V∩CL[α,β]-γ(A)≠∅；这样V∩A≠∅，故x∈CL[α,β]-γ(A)，从而CL[α,β]-γ(CL[α,β]-γ(A))⊂CL[α,β]-γ(A)，综上可知

CL[α,β]-γ(CL[α,β]-γ(A))=CL[α,β]-γ(A)

定理2.2设X是拓扑空间，α,β,γ为T的算子，A,B⊂X，则有如下结论成立：

(1) 若A∈F[α,β]-γ⟺A=cl[α,β]-γ(A)；

(2) 若(α,γ),(β,γ)均为T的正则双算子，则cl[α,β]-γ(A∪B)=cl[α,β]-γ(A)∪cl[α,β]-γ(B)。

证明(1) “⟹”由定义2.2易知A⊂cl[α,β]-γ(A)。设x∉A，这里A∈F[α,β]-γ，则x∈X-A，X-A∈T[α,β]-γ,故存在U,V∈Tγ这里x∈U,x∈V，且(α(U)∩β(V))⊂X-A，即(α(U)∩β(V))∩A=∅，因此x∉cl[α,β]-γ(A)，从而cl[α,β]-γ(A)⊂A，故A=cl[α,β]-γ(A)。

“⟸”设x∈X-A，即x∉A，由设知A=cl[α,β]-γ(A)，故x∉cl[α,β]-γ(A)，从而存在U,V∈Tγ这里x∈U,x∈V，使得(α(U)∩β(V))∩A=∅，也就是(α(U)∩β(V))⊂X-A，从而X-A∈T[α,β]-γ，即A∈F[α,β]-γ。

(2) 由定理2.2易得cl[α,β]-γ(A∪B)⊃cl[α,β]-γ(A)∪cl[α,β]-γ(B)。

下证cl[α,β]-γ(A∪B)⊂cl[α,β]-γ(A)∪cl[α,β]-γ(B)。事实上，设x∉cl[α,β]-γ(A)∪cl[α,β]-γ(B)，即x∉cl[α,β]-γ(A)且x∉cl[α,β]-γ(B)。从而存在U,V,W,S∈Tγ这里x∈U,x∈V,x∈W,x∈S，使得(α(U)∩β(V))∩A=∅与(α(W)∩β(S))∩B=∅。从而(α(U)∩α(W))∩(β(V)∩β(S))∩(A∪B)=∅。另外，由于(α,γ),(β,γ)均为T的正则双算子，故对于上述U,V,W,S，总存在E,F∈Tγ且x∈E,F，分别使得α(E)⊂α(U)∩α(W)与β(F)⊂β(V)∩β(S)成立。这样(α(E)∩(β(F))∩(A∪B)=∅，进而x∉cl[α,β]-γ(A∪B)。综上可得证cl[α,β]-γ(A∪B)=cl[α,β]-γ(A)∪cl[α,β]-γ(B)。

定义 2.3设X是拓扑空间，α,β,γ为T的算子，

(1) 对任意x∈X，U∈Tγ，这里x∈U，总存在W,S∈Tγ，使得α(W)∩α(S)⊂U，则称(X,T)为[α,γ]-正则空间。

(2) 对任意x∈X，U∈Tγ，这里x∈U，总存在W,S∈Tγ，使得α(W)∩β(S)⊂U，则称(X,T)为[α,β]-γ-正则空间。

类似地，仿照文[12]定理1.2，我们可以得到如下结论成立

定理 2.3设X是拓扑空间，α,β,γ为T的算子，

(1) (X,T)为[α,β]-γ-正则空间⟺T[α,β]-γ=Tγ；

(2) (X,T)为[α,β]-γ-正则空间⟺(X,T)既是[α,γ]-正则空间又是[β,γ]-正则空间。

下面我们给出T的[α,γ]-开算子的定义

定义 2.4设X是拓扑空间，α,γ为T的算子，对任意x∈A∈Tγ，若存在W∈Tγ，使得x∈W⊂α(A)，称之为T的[α,γ]-开算子。

命题2.2设X是拓扑空间，α,γ为T的算子，且(α,γ),(β,γ)均为T的正则双算子，A⊂X，则有如下结论成立：

(1) 若(X,T)为[α,β]-γ-正则空间，则cl[α,β]-γ(A)=CL[α,β]-γ(A)。

(2) 若存在T的[α,γ]-开算子与[β,γ]-开算子，则cl[α,β]-γ(A)=CL[α,β]-γ(A)。

证明(1) 由定理2.2易证；

(2) 显然cl[α,β]-γ(A)⊂CL[α,β]-γ(A)，下证CL[α,β]-γ(A)⊂cl[α,β]-γ(A)。事实上，设x∈CL[α,β]-γ(A)，对于U,V∈Tγ，这里x∈U,x∈V，由设知存在T的[α,γ]-开算子与[β,γ]-开算子，根据定义2.4可得，存在S,T∈Tγ，使得x∈S⊂α(U)以及x∈T⊂β(V)。利用命题2.1可知S∩T∈T[α,β]-γ,从而(S∩T)∩A≠∅,进而(α(U)∩β(V))∩A≠∅,这样x∈cl[α,β]-γ(A)。