极点处留数的计算方法与技巧
2020-10-09小结常水珍王华敏
科教导刊·电子版 2020年20期
小结 常水珍 王华敏
摘 要 本文将利用函数在极点的特征,对极点处的留数的计算方法进行分析,并结合函数在极点的去心邻域内洛朗级数展开式,给出复变函数的留数计算的又一计算技巧。
关键词 极点 留数 邻域 积分
中图分类号:G642文献标识码:A
函数的留数的计算,是我们复变函数学习的重点和难点,留数的计算也提供了我们计算周线积分的又一方法。因此,留数的计算方法研究,显得尤为重要。孤立奇点的不同的特征,对应有该点处的留数的特殊的计算方法。我们下面给出极点处的留数的计算技巧,方便学生掌握并应用它的结论求出相应点的留数解决其它问题。
根据留数的定义,运用极点的邻域内的洛朗级数展开式的的系数来求,是我们求留数的一般方法。但很多函数展开过程比较复杂,我们希望根据极点的特征,寻找极点处的留数的求法。下面我们分类寻找极点处留数的计算方法及使用技巧和关键点。
首先给出如下定理1、2。定理1、2证明方法类似,我们仅给出定理2的证明,进而分析二者的各自的适用范围。
由例3、4可知,一般定理1都可以运用,但必须保证整个分式求导简单,且极限计算简单。 运用定理3,对分子分母各自求导,还是适当简化了运算,但也需要导数好求,才能快捷计算出答案,读者可以根据情况做出选择。若极点的阶数更高一些呢,我們运用定理3,估计计算也比较复杂,期待以后能够找到更简单的计算方法。
参考文献
[1] 钟玉泉.复变函数论[M].北京:高等教育出版社,2012.
[2] 王见勇.无穷远点的留数计算及留数定理的推广[J].高等数学研究,2004(07).
[3] 张家骥等.浅析留数在积分中的应用[J].科技信息,2007,36(04).