极点处留数的计算方法与技巧

小结　常水珍　王华敏

摘 要 本文将利用函数在极点的特征，对极点处的留数的计算方法进行分析，并结合函数在极点的去心邻域内洛朗级数展开式，给出复变函数的留数计算的又一计算技巧。

关键词 极点 留数 邻域 积分

中图分类号：G642文献标识码：A

函数的留数的计算，是我们复变函数学习的重点和难点，留数的计算也提供了我们计算周线积分的又一方法。因此，留数的计算方法研究，显得尤为重要。孤立奇点的不同的特征，对应有该点处的留数的特殊的计算方法。我们下面给出极点处的留数的计算技巧，方便学生掌握并应用它的结论求出相应点的留数解决其它问题。

根据留数的定义，运用极点的邻域内的洛朗级数展开式的的系数来求，是我们求留数的一般方法。但很多函数展开过程比较复杂，我们希望根据极点的特征，寻找极点处的留数的求法。下面我们分类寻找极点处留数的计算方法及使用技巧和关键点。

首先给出如下定理1、2。定理1、2证明方法类似，我们仅给出定理2的证明，进而分析二者的各自的适用范围。

由例3、4可知，一般定理1都可以运用，但必须保证整个分式求导简单，且极限计算简单。 运用定理3，对分子分母各自求导，还是适当简化了运算，但也需要导数好求，才能快捷计算出答案，读者可以根据情况做出选择。若极点的阶数更高一些呢，我們运用定理3，估计计算也比较复杂，期待以后能够找到更简单的计算方法。

参考文献

[1] 钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2012.

[2] 王见勇.无穷远点的留数计算及留数定理的推广[J].高等数学研究，2004（07）.

[3] 张家骥等.浅析留数在积分中的应用[J].科技信息，2007，36（04）.