选苗—培优—磨尖

易斌

【摘 要】本文分析数学尖子生的特点，阐述数学尖子生的培养之路：选苗—培优—磨尖，论述培养高三学生数学尖子生的具体措施，以启发高三甚至整个高中的数学教师更好地培养数学尖子生。

【关键词】高考数学尖子生 培养之路 选苗 培优 磨尖

【中图分类号】G  【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2020）06B-0154-04

尖子生的培养，能促进整个班的学习力，对数学教学具有重要意义，因此倍受教师的青睐。笔者带高三毕业班十余届，长期致力于高考数学尖子生的培养探索，已培养了高考数学广西前十名 18 人，其中，广西状元 1 人，榜眼 2 人，探花 2 人。如此显著的成绩，绝非偶然。究竟高考数学尖子生培养的秘诀何在？下面将笔者的思考与做法，与同仁交流。

一、数学尖子生的特点

笔者曾认为，数学尖子生应该是天生的数学“考试王”，是数学考试的不倒翁、更是数学中的“领军人物”，即是数学成绩的顶尖者，是数学学习能力的优异者，是数学学习品质的楷模者。其实不然，数学尖子生既有鲜明的优点，又有明显的不足。具有以下两个共性。

（一）优点

根据教学体会，感觉数学尖子生大概有这样的优点：①目标。有远大理想或个人目标作为精神支柱。②行动。行动力强，做事有计划，讲究效率。③兴趣。热爱数学，勤于钻研数学资料，有强烈求知欲，喜欢打破砂锅问到底。④思维。思维活跃、反应敏捷、富有灵感，有独特的思维方式，善于发散，联想和想象能力较强，解题有创造性。善于抽象、概括，挖掘事物的本质和规律，善于对知识进行归纳、总结与分类整理，懂得建构知识框架。⑤智力。人较聪明，悟性较高，理解、模仿、变通能力强，能触类旁通、举一反三。⑥心态。有较强的自尊心、好奇心和好胜心，容易激起上进、竞争的欲望。⑦个性。质朴、踏实、主动、自觉，学求透、思求深、练求实，注重知识的拓展与积累。⑧定力。定力好，静得下心来，自控力好，耐得住寂寞，意志力坚强，精力充沛，精神专注。

（二）不足

多年与数学尖子生朝夕相处，发现他们各有缺陷，大致有如下：①心理情绪。较苛求完美，非常在意成绩，非常害怕失败，心理较脆弱，有一定嫉妒心。②数学基础。数学基本功总体不错，知识丰富，但存在漏洞;方法多样，但方法的应用存在细节错误;数学运算能力较强，但心算不熟练，常出错。③解题思维。数学基本问题，能做到顺利解答，但复杂或技巧性高的数学问题，解题有较大障碍，经点拨启示，又能完成解答，解题思维有很大发展、提升空间。④解题方法。解题少用通性通法，常用特技，解答题所用方法易超出高考评分细则给出的方法，容易造成阅卷老师扣分。⑤书写表达。善思但不善于书写表达，答题书写过程不规范，书写很随意、不工整、经常跳步，容易造成扣分，对考试因书写丢的分不太在意，认为方法会了就行。⑥数学交流。有问题除了问老师、查资料外，不太愿意与同伴探讨、交流，有点唯我独尊，谁也不服谁。

二、尖子生培养的实践

“玉不琢，不成器”。如何改进尖子生的不足，琢玉成器呢？笔者在实践中探索出了一条尖子生培养之路：选苗—培优—磨尖，屡试屡爽。

（一）选苗

笔者一般在进入高三学习第二周，选 8 个“苗子”组成尖子群，分成两个尖子团队，每队 4 人，每个团自选团长，做好团队分工，确定团队目标、打造团队精神。采取两团竞争，发挥团队力量，这是培尖的有效手段。能成为高考数学尖子，自身必须要有一定的天赋，因此，笔者选苗时在考虑上述尖子生优点的同时，还特别关注：

①真心地热爱数学。喜欢数学内在美，做题胃口好，不是因高考的功利主义而喜爱数学。

②自发地勇于挑战。敢于竞争，敢于主动向他人发起解题挑战。

③旺盛的进取精神。不甘落后，不服输，屡败屡战，勤奋刻苦，肯钻研。

④较好的数学天赋。逻辑思维较强，运算能力较好，书写较工整，表达较规范，有创新精神。

（二）培优

通过培优，解决尖子生存在的基本问题，培养尖子生的数学内功，使他们逐渐脱颖而出，成绩由起伏不定变得稳在前列。培优包含思想意识培养与数学内功培养。

1.思想意识培养

尖子生存在的问题，很多是思想意识问题，因此，培优时要培养以下思想意识：

（1）分分必争的意识。高手較量，差别在毫厘之间，经常是一分之差，决定了名次。因此，要培养尖子生分分必争，从多拿一分抓起，不要在一些低级问题上丢分。

（2）注重细节的意识。细节决定尖子生成败。要经常提醒尖子生及时弥补做题时发现的基础知识的漏洞，注意方法应用及数学运算中的细节，避免犯低级错误。比如，用导数解单调性，不要忽视定义域，等式两边约去一个式子，要按约的式子是否为零进行分类讨论等。要求尖子生纠错时分析错因，写好纠错笔记，反复纠正细节上的失误。

（3）规范答题的意识。养成审题、答题、书写的好习惯，由做题型向得分型转化。审题时对题目的关键语句、重要条件及要求解的问题，要圈上标记。答题时要把因果关系，逻辑推理过程，算理、算法等规范、完整地表达清楚，要注意淡化特技，最好不用特殊技巧，能运用通性通法，化平淡为神奇，解决问题。答卷书写做到工整、无涂改，不啰唆。认真研究高考题的解答标准，针对高考的六道解答题，每类题抄写八道历年高考试题的国标解答过程，边抄边琢磨答题的得分点、如何书写才能不丢分，做到答题落笔踩分，颗粒归仓。

（4）分数最大化意识。尖子生喜欢挑战和证明自己，考试时，答简单题掉以轻心，易出错，爱选难题做，结果容易题丢了分，难题又没拿下，经常陷入“高不成、低不就”的尴尬境地。要引导尖子生先易后难答题，合理选择与放弃一些考题，高考不是比谁做出最难的题，而是比谁得分最高，因此，平时考试必须按“分数最大化”的原则进行练兵。

（5）洗脑提升的意识。按常规教学进度，尖子生吃不饱，需额外“加餐”，要精选适量好题，不断给尖子生进行拓展训练;精选期刊中介绍方法的专题，让尖子生研究。不断给尖子生“洗脑”，提升尖子生的水平。

（6）突破瓶颈的意识。尖子生只有突破碰到的瓶颈，才会有质的飞跃。如某尖子生长时间出现解题常出错的瓶颈，笔者建议他分析一下自己出错的具体原因，究竟是审题错、知识错，还是方法错，或是运算错？然后再探寻解决问题的方法。他在笔者的启示下找出了错因并纠正，后来在考试中有了质的飞跃，勇夺高考数学广西榜眼。

（7）数学交流的意识。萧伯纳说过：“倘若你、我各一个苹果，彼此交换，依然各一个苹果。倘若你、我各一种思想，彼此交换，每人有两种思想。”因此，互相交流能开阔眼界。笔者常引导尖子生在遇到某道题不会解时，要懂得利用团队进行合作探究;对方法的应用心得，阅读专题后的感悟，考试的得与失，面对考试成绩的正确心态，如何做好考试的总结、反思、纠错等问题要在团队内部及两个团队之间彼此交流。数学知识、方法及学习中的问题越讨论越清楚，越辩越明，相互交流越深入，双赢效果越理想。

（8）调整状态的意识。高考不仅是考生数学知识、方法、能力的较量，还是身体状况、心理能量与精神状态的比拼。只有良好的状态，才能正常发挥水平。要引导尖子生在平时考试中做到自信、冷静、沉稳，学会调好竞技状态。有了平时的经验，高考时才懂得怎样把状态调到巅峰，能正常甚至超常发挥水平。

2.数学内功培养

高考主要考查学生的数学内功，即数学的“四基”（知识、技能、思想方法、活动经验）与“五能”（空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解与数据处理能力），因而培优要狠抓尖子生数学基础，发展其核心素养，挖掘其潜力，打造其数学内功。笔者培优是通过“系统复习，进行集训，限时考练，组织讨论”等活动，全面提升尖子生的数学功力。

（1）系统复习，增强内功。尽管尖子生基础与素养不错，但与高考的高要求相比，仍没有真正达标，功夫还欠火候，这会给登顶数学高峰形成巨大的障碍。因此，要在高三一轮常规复习中，兼顾培优。高三一轮既要“扫荡式”全面、系统复习，夯实尖子生的数学基础，做到数学知识系统化，又要培养尖子自主学习能力、开放探究能力等，发展尖子生的数学核心素养。为培养这些数学内功，笔者以浙江省培优的“四个给他”（给他一个问题，让他自己去寻找答案;给他一个悬念，让他自己去讨论;给他一个对手，让他自己去竞争;给他一个空间，让他自己去发展）为一轮复习指导思想，实际做法如下：

①构建知识系统。引导尖子生按知识纵向发展规律将知识串点成线，粘线结块，将知识板块化，再结块成面，将知识系统化。

②渗透数学思想。有意识、有目的地结合数学知识和方法，巧妙地设置数学问题，在“问题解决”中反复运用数学思想方法，将数学思想方法的渗透溶入思维活动中，在运用思想方法解题的过程中自发形成逻辑推理、数学建模等数学核心素养。

③注重一题多解。创设一题多解情境，培养灵活与创造性思维。例如在一次教学中，笔者给出下面的题目：

这里的每一种解法，都充分发展了尖子生逻辑推理等核心素养，展现了其创新的智慧。笔者及时引导尖子生探讨每种解法的数学思维和其中所蕴含的数学思想方法，比较各解法优劣，建议考试时择优而行，优化尖子生解题策略。笔者还常对某些参考解法很繁琐的试题，要求尖子生发挥集体智慧，合作探究更简单的解法。结果尖子另辟蹊径，每题都探究出神解法，并津津乐道地在班上展示，让其他同学钦佩不已。一题多解让尖子生“圈粉”不少，内心备受鼓舞，充分享受到探究数学的乐趣和美妙。

④课后延伸拓展。尖子生能力的培养，是培优的核心，但光靠课堂教学远远不够，需要课后拓展，因此，课后延伸很关键。一堂数学课结束时，对尖子生而言，是深入学习数学的开始。因此，每节课结束时，笔者都会拓展性地抛出一个问题或任务，让尖子生带着悬念走出课堂，激发尖子生课后的探究欲和更深层次的探究力。比如，复习《数列概念》时，笔者以教材谢宾斯基三角形例子为原型进行拓展，抛出课后研究任务：“了解雪花构成，计算雪花曲线构成中，第 n 条曲线有多少条边，周长是多少，围成的面积是多少？”任务的趣味性激发了尖子生的好奇心，他们都高兴地去探索。此外，笔者经常给尖子生提供一些难度大、综合性强的数学难题，贴在墙上或抄在小黑板上，给他们课后一起探讨，充分调动尖子生的探究能力，合作能力;还经常给尖子生精选某些开拓视野的专题阅读资料（如数列通项的求法等）或數学竞赛书籍，让他们钻研、探讨，培养他们的自学能力、表达能力及合作学习能力，发展他们的核心素养。尖子生的数学能力在这样的拓展中日新月异，经日复一日的积累，练就了强大的数学能力。

⑤遵循个性施教。“大众教学”出现顶尖生，是纯属偶然，根据尖子个性，因材施教，才能使顶尖生不断涌现。在教学中，笔者根据某尖子生的课堂表现，针对该尖子布置个性化的作业，进行单独辅导。个性化作业，能真正检测并解决尖子生存在的问题，让他变得更强。单独辅导可以是面批作业或探讨问题或谈心鼓励等。面批作业，能及时解他所疑;探讨问题，让他说思路，能了解尖子生所想;谈心鼓励，能激活学习热情，把尖子生“点燃”。

⑥科学指导学法。引导尖子生养成学习好习惯，经常进行学习反思，在学习中学会比较、归纳、总结，解题不要就题论题，要找出母题，归纳综合，做到举一反三，触类旁通，做好笔记，做好知识梳理与解题方法积累，修正解题错误，建立自己的好题本、听课本、纠错本。

（2）进行集训，挖掘潜能。在培优中，开展课外兴趣小组活动，通过对尖子团进行课外集训，“玩通”数学，挖掘潜能。集训主要以专题讲座形式，引导尖子生利用团队合作力量。做到：

①主干知识立体化，网络化构建。在知识系统化的基础上，再按主干知识间横向联系将知识进行模块重组，构面成体，将知识网络化。比如在专题讲座中将函数、解析几何、导数、不等式间的内在联系、交汇关系梳理清楚，打通知识间的“经脉”，做到融会贯通。

②高考试题模块化规律化透视。“年年岁岁考相似，岁岁年年题不同”。“考相似”是指高考的考点、考法、解题方法相似;“题不同”则需要考生以不变应万变去应对。在集训中，笔者采用“先做后评”模式去抓好“相似”和“不变”，“先做”是要求尖子生先将近六年的全国卷高考试题逐套做完，并参照答案逐题弄懂;“后评”是对经典的试题、经典的方法、经典的知识网络交汇方式加以分析点拨，让尖子生系统领会解高考题的数学思想方法，并引导他们将近六年的全国卷高考试题按三角、数列、立体几何、统计概率、解析几何、导数、参数方程与极坐标、不等式等模块进行分类，对每一类按照“题型+知识+方法”的模式进行透视，研究每个模块的命题思想和各类题型解题的通性通法，探索高考的规律，感悟高考的精髓。

③思维能力灵活化，尖端化打造。集训时穿插适当的竞赛讲座，剖析数学联赛等各类竞赛与高考有关的试题，加深和拓宽知识，让尖子生欣赏、领悟赛题的“巧思妙解”，开拓数学视野，拓宽、拔高数学思维，打造尖端能力，充分挖掘尖子生继续到大学深造的潜能。

尖子生非常渴望集训，原因有三点。一是通过集训把数学知识梳理清楚，“玩透”数学。二是被集训题的巧思妙解所陶醉、迷倒。三是集训课堂的畅所欲言释放了尖子生的内心世界，集训课堂给了每一个尖子生畅所欲言的机会，他们的发言富有个性，对别的同学很有启发，让发言人很有成就感。当然，也有部分尖子生为了体现高人一筹，发言时散发出一定的傲气，但不要嫌弃他们的傲气，正是他们的与众不同，才造成他们的出类拔萃。集训中要利用教师的人格魅力和学术功力，引导学生学会包容、取长补短，共同感受数学的美妙、好玩、神奇。兴趣是最好的老师，只有觉得数学好玩了才可能学好数学，成为数学的顶尖学生。

（3）限时考练，锤炼技能。在培优中，精选考题，进行多次 40 分钟的限时考试，两团队按队员的平均成绩排名比赛，连续两次胜出的团队有一定的奖励。考试有重要模块的专题考试，比如导数专考，选择填空专考等，也有“滚动式”的综合考试。试卷结构是 8 道选择，填空与解答各两道。限时考练的目的，一是考查活用知识解题的能力，二是提升答题速度与技能。为不拉团队后腿，每个队员都会与队友探讨、交流、感悟解题的最合理方法与答题策略，都会私下“悄悄”花时间做大量的题，把自己的速度、正确率练上来，以便为团队赢得荣誉。

（4）组织讨论，感悟真谛。在培优中，组织尖子团每半月就学习中的问题进行一次 40 分钟的讨论。先是团队内部讨论，再团与团之间进行分享。讨论的主题由团长根据组员需求确定，比如这半个月各有什么收获？各自在哪些知识模块有怎样的突破？各自在哪些内容还存在问题？打算如何去解决存在的问题？下一阶段团队的共同任务是什么？对某类题型有哪些解题的数学思想方法？如何规范解答某个模块的解答题？怎样做到考试不慌张？考试压力大时怎么办？等等。在讨论期间，他们还会看彼此的笔记、答题试卷，反思自己的不足，学习队友做笔记的好方法和书写规范的答题格式等。通过交流讨论，尖子生深化了对数学知识本质的理解和对高考题的感悟，优化了学习数学的方法，提升了高效学习数学的能力，还解决了很多心理问题，真正做到了取长补短，相互激活，快乐学习，共同进步。

（三）磨尖

磨尖是对尖子生精心打磨的过程，一般始于二轮复习。这一过程，要有两个大的改变，一是教学模式，二是训练方法。

1.改变课堂模式，激活尖子

教学模式由一轮的“先讲后练”改为二轮的“先做后讲”，即课前学生先做精选的题，课堂由尖子生当小老师先讲，没讲到位的教师与其余同学补充，再自己总结、训练。学生非常认同“能亲口说清楚的，才是真正掌握的”，因此，检测尖子生是否真的掌握好了相关内容的最好的方法就是让他说。二轮中由尖子团人员轮流主讲，老师与其他同学辅讲，是打造顶尖学生的非常有效的教学模式。因为尖子生为了能讲出彩，能回答同学的问题和质疑，会全力以赴去弄清、弄透所讲内容及关联，从而潜能被最大限度地激发，自主、探究、合作等学习能力被“催化”提速，而且在尖子生讲解时，其思维的闪光点与存在的不足会充分暴露，教师可以根据尖子生的个人展示情况，对尖子生进行更有针对性的指导，把尖子磨得更尖。“尖子生主讲，老师与其余同学辅讲”方式，让所有学生不再是课堂的“看客”，都能享受到学习数学的成就感和乐趣，从而愿意用最大的热情学数学，做数学。当然，教师点拨要画龙点睛，让学生有真正的启发、拓展和提升。

2.采用磨尖特训，打造王者

从 4 月的模拟考后，尖子生进入“磨尖特训”阶段，此过程中要打造出尖子生最高层次的能力和强者心态，打磨出頂尖的尖子王。磨尖特训是除常规训练外，专门对尖子生进行针对性的特训。磨尖特训目标是使顶尖生做到 6 个“无”：知识无漏洞，方法无偏差，书写无涂改，计算无错误，难题无畏惧，考试无失误。简言之，就是做到滴水不漏、天衣无缝。磨尖特训的关键是精选试题，试题是高三学生的生命，成也试题，败也试题，因此，选题要绞尽脑汁，千题挑一。磨尖特训主要进行以下三类训练：

（1）缺漏训练。对尖子生的知识错漏、盲点，方法错漏、偏差，审题错漏，书写表达不到位，思考不慎易掉陷阱等进行专门训练。缺漏训练是最有效的增分训练。

（2）障碍训练。障碍题是“拦路虎”，是尖子生的极限增分题，也是致命题。尖子生只有具备了解决障碍题的能力和信心，才能正常发挥得高分，因而障碍训练是出尖子王的杀手锏。在三轮复习时，笔者精选历年各地高考的中、高档题及部分竞赛题对尖子生进行障碍训练。在障碍训练中突破难度，练题、练心、练人、练变通、练境界，练成尖端的考试能力。障碍训练要针对高考试题的障碍构成特点进行，高考障碍题包括：

①综合交叉的障碍。知识网络交汇（知识交汇，方法交织、思维交叉）题，需综合、灵活运用知识，这是解题的障碍。

②方法多样的障碍。多层次，多角度，宽视角的考查题，这类题解法多样，要从一题多解中迅速选择最优的方法赢得时间，这是解题的障碍。

③运算技能的障碍。按常规算运算量大，需要考生能调整运算方法进行灵巧运算，这是高考运算的障碍。

④试题新颖的障碍。试题新颖会成为阅读与理解、转化与化归的障碍。

⑤思维奇异的障碍。考查的是奇异思维或特殊技能，思维跳跃大，逻辑推理素养要求非常高，考生很难想到，这是高考的“绝杀”题。

（3）心理训练。尖子生习惯了一帆风顺，一旦考差或生活受挫，心理承受能力往往比别的学生更小，变得不知所措。因此，磨尖时要磨炼尖子生的心志。笔者的做法是：适时让他们受挫，让他们考得“一败涂地”，再及时引导，与他们共同分析考差原因，找出改进办法，争取下一次考出理想成绩。下一次考试时要把题目出得活而不难，不露痕迹地给他们找到成功感，如此反复，就能培养出尖子生百折不挠、愈挫愈勇、决不服输、永不言弃的精神。

教学实践证明，不管学生多么富有数学天赋、多么智慧、多么好学，都不可能无师自通成为出类拔萃的尖子，尖子生的培养需要老师针对性的精心指导和精雕细琢。

【参考文献】

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[4]赵敬党.浅谈新理念下培养学生三种学习能力[J].呼伦贝尔学院学报，2006（03）.

[5]魏 军.关于中学生学习能力可持续发展的研究[J].辽宁教育，2011（12）.

【作者简介】易 斌，数学高级教师、特级教师，现职业于桂林市第十八中学，研究方向：中学数学教学与研究。

（责编 卢建龙）