新课标下对高中生数学思维灵活性的培养

陶宏玲

[摘  要] 随着新课程改革的深入推进，数学教师积极转变教学思路，更新教学观念，将学生思维能力的培养提升到一个较高的层面. 文章对数学思维灵活性培养的具体路径进行探讨，以期引起广大数学教师的关注与研究.

[关键词] 高中数学;思维能力;灵活性;培养

由于受应试教育的影响，在高中数学教学过程中，教学定位于知识技能的传授，淡化对学生思维品质的要求.但数学是一门以锻炼思维能力著称的学科，那么缺失了思维参与的数学课堂教学，其低效是不言而喻的. 众所周知，思维的灵活性是多个思维品质形成的基础和保障，是众多思维品质的核心[1].因此，新课改风向标下，教师需在教学中强化思维灵活性的作用.

心理学研究表明，高中学生的思维已经逐步趋向成熟化，早已实现了从经验型向理论型的过渡. 作为高中数学教师，应把握好学生思维发展的高速期，牢牢把握学生思维可塑性最大的成熟前期，進行思维灵活性培养的具体路径实施，让数学的教育价值真正得以实现. 那么，如何才是让高中学生的思维更具灵活特点呢？笔者在教学实践中做了如下探索：

训练逆向思维

“逆向思维”作为一种反常规方法的合理运用，自然是相对于“正向思维”而论的，它们之间的区别在于思考问题的方向不同. 它隶属于思维品质领域，是重要的思考能力，同时也是一种求异思维的体现. 不少问题通过正向思考解决时呈现“山穷水尽”的景象，而变换为逆向思维时则可达到“柳暗花明”的奇效. 因此，在数学教学中，训练学生的逆向思维可拓宽学生的思路，克服思维定式的影响，开辟新的思维路径，提高思维的灵活度. 例如，在讲授三角公式、导数公式等数学公式时，可以通过逆向推导来活跃灵感，从而达到求解的目的.

例1：应用排列数符号表示18×17×16×…×11×10=________.

分析：若引导学生去计算A■，不少学生则可以较为轻松地完成，多多少少对训练学生思维也有些益处.不过，本题“反其意而为之”，解决的关键是逆向思维与解题经验，难度和思维量自然是提升了，思维的方式也发生了改变，对思维的训练也达到了.

例2：已知定义在（0，+∞）上的可导函数f（x）对于定义域中的任意x都满足f（x）+xf ′（x）>0，那么不等式■·f（■）>0的解集是________.

分析：应用导数公式来求导已知函数，并判断函数的单调性是正向思维的考查方法，学生解决起来难度较小，属于低阶思维要求.而本题以“其导函数”为载体，解决的关键是逆向思考原函数的解析式，突出考查了逆向思维，属于高阶思维要求.

开放题教学

开放题型的形式千变万化，不仅可以开放条件，引领学生勤思和善思;而且可以开放结论，让求异思维自然落地;同时也可以开放策略，为学生的思维空间留有余力. 其主要特征体现在思维灵活和策略多样，对思维灵活性的培养大有裨益.因此，教师针对性地精选一些开放题型进行训练，给予学生灵活思维的时机，并鼓励求异思维，激励学生多方法、多途径思考，这有利于培养学生孜孜不倦的探究精神及创造力.

例3：请写出一个以下两个条件均满足的函数________.

（1）在定义域（0，+∞）上单调增加;

（2）对于任意x，y>0，都有f（xy）=f（x）+f（y）+1成立.

传统题型中，一道题仅仅只有一个标准答案，不利于思维灵活性的发展.为了改变这一现状，本题中仅仅出示了函数的2个性质，给予学生思维驰骋的广阔空间，引导学生依据自身所学内容，灵活机动地进行检索，答案自然也是多种多样和丰富多彩的，从而有效地活跃了学生的数学思维.

展开变式训练

在教学中，我们不少教师会发现，一道典型例题教师分析后学生可以掌握，而之后的练习中对试题稍加“变脸”，不少学生就思维卡壳，无从下手. 若想改变这一现状，应增强数学中的变化性，可以结合习题教学中的变式训练来拓展学生的思路，达到启迪思维同时潜移默化地提升思维灵活性的目的.

例4：已知A（2，2），点F1为椭圆■+■=1的左焦点，点P为该椭圆上的一动点，试求出PA-PF1的最大值.

分析：从三角形的特征进行探究可得：动点P位于线段AF1的延长线和椭圆交点时，PA-PF1有最大值■，该最大值为线段AF1的长.

从差式延伸开来，可作如下变式：

变式1：原题的条件不变，将问题“试求出PA-PF■的最大值”变换为“试求出PA+PF■的最小值”.

变式2：原题的条件不变，将问题“试求出PA-PF1的最大值”变换为“试求出PA+■PF1的最小值”.

变式3：原题的条件和问题均改变，变换为“已知A（-6，2），点F1为双曲线■-■=1的左焦点，点P为该双曲线上的一动点，请求PA+■PF■的最小值”.

注重等价转化

等价转化是高中数学中的重要思想方法之一，其本质就是将陌生问题转换成熟悉的、已知的范畴内可以解决的问题的方法，在一次一次的转化中，实现思路的变通，强化学生解题中的应变能力.因此，在日常教学中，教师需做到因地制宜，从学生的实际认知水平出发，设计融入等价转换思想的教学环节，培养学生将陌生、烦琐、复杂、抽象的问题熟悉化、形象化、简捷化，逐渐提升综合素质以及思维灵活性. 在高中数学教学中，等价转换的例子各种各样，如立体几何中与线面平行或垂直问题通常可以转换成线线平行或垂直的问题来解决;而面面平行或垂直的相关问题又可以转化成线面平行或垂直的问题进行解决[2].

例5：试判断函数f（x）=■的奇偶性.

分析：学生在判断时，一般都是以f（-x）为原型进行变形，找寻出f（-x）和f（x）的关系. 不过观察本题可以发现，分母和分子的结构都十分复杂，运算过程烦琐不堪，不少学生束手无策.事实上，判断函数的奇偶性等价于■可否等于1或是-1，此处等价转换思想充分运用就有效地简化了此题的运算. 求解过程如下：

解■=■·■=■=■= -1.

所以f（-x）=-f（x），又因为f（x）的定义域关于原点对称，所以f（x）是奇函数.

当然，在实现等价转化的过程中，学生需将问题逐步转换为最易于操作的问题，在不经意的转换中，“打通”思路脉络，有效激活思维.

体会“正难则反”的思想

一些数学问题从正面着手解决时常常会困难重重，此时可以转换方向，从反面入手解决，这样的策略就是“正难则反”. 正难则反易，“正难则反”是一种极其重要的数学思想，千古传诵的“草船借箭”的历史故事从很大程度上显示了此数学思想的巨大威力. 有意识地训练这种思维方法，可以引导学生通过正向迁移改善解决问题的能力.例如，在求解概率问题时，可从对立事件的概率公式P（A）+P（■）=1入手，优化解题策略，减轻烦琐计算，提高解题效率.

例6：已知抛物线y=x2-x+m，y=x2+2mx+4和y=mx2+mx+m-1中，至少有一条抛物线与x轴相交，试求出實数m的取值范围.

分析：从“正面”入手解决，则需分类讨论“三条抛物线至少有一条与x轴相交”的多种情况，过程繁不堪言. 如果从结论的反面入手，也就是思考“三条抛物线都不与x轴相交”这一种情况，由此将其转化为“二次函数根”的问题，进而求其补集以达到求解本题的目的.

解：据题设反面“三条抛物线都不与x轴相交”，设上述三条抛物线的判别式分别为Δ1，Δ2，Δ3，则有Δ1=1-4m<0，Δ2=4m2-16<0，Δ3=m2-4m（m-1）<0，解得■

又因为y=mx2+mx+m-1是抛物线，所以m≠0.

再求补集，则m的取值范围为mm≤■或m≥2且m≠0？摇.

“正难则反”的思想具有灵活性和发散性，常常打破常规思维的禁锢，是创新思维的源泉.

总之，新课程标准理念下，良好的思维品质是学生受益终身的法宝.本文在多个实例的分析过程中，自然呼出思维的灵活性，并与多种思维品质相关联，让学生参与到思维活动中来，以思维引导学习，使思维品质的自然形成成为学生主动思维的结果[3]■. 当然，思维品质的提升也不是一蹴而就的，学生应当努力磨炼，使自己成为思维活跃中的一名“猛将”，让数学思维在自身的磨炼中真正“落地”;教师也应当创造性地运用好教材这一“利剑”，不断攀登数学课程改革的新高度.

参考文献：

[1]  赵思林，朱德全. 试论数学直觉思维的培养策略[J]. 数学教育学报，2010，19（2）.

[2]  钱从新. 运用推广与引申的方法培养学生的创新能力[J]. 数学教育学报，2003，12（1）.

[3]  李海洋. 在数学教学中如何培养学生思维的灵活性[J]. 成才之路，2007（08）.