核心素养视角下高中数学课堂教学效果的分析与思考

周书琴

[摘  要] 数学核心素养的培养越来越受到国内一线教师的重视，精心设计“问题链”，启发引导辅助探究，对培养学生数学核心素养起到了非常重要的作用. 文章主要从概念形成、公式推导和模型建构三个课堂教学片段中渗透数学的抽象素养和逻辑推理素养的培养.

[关键词] 数学核心素养;启发;引导;问题链;探究

数学核心素养

数学核心素养是高中数学课程修订稿提出来的新的数学课程目标，数学的核心素养是适应个人终身发展和社会发展需要的具有数学特征的思维品质与关键能力. 高中阶段数学核心素養包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析.这些数学核心素养既相互独立，又相互融合，是一个有机的整体.

数学核心素养的形成与发展，是在教师的启发和引导，通过自己的独立思考或与他人交流，最终自己“领悟”出来的学习过程，是一种长期积累才能养成的思维习惯和思想方法. 因此，在教学中，基于教师启发和引导学生探究，从而把握数学内容的本质. 为此精心设计科学、合理、高效的教学方案就非常重要.

对培养学生数学核心素养下，在不同课型中的启发引导学生探究的课堂教学设计的探索

1. 在概念形成中，提升“数学抽象、直观想象素养”

数学概念是数学知识体系的“细胞”，是建立数学理论的基础. 数学概念是数学的逻辑起点，是学生认知的基础，是学生进行数学思维的核心，在数学学习与教学中具有重要的地位. 因此，概念教学是培养学生的数学核心素养的关键关节，数学概念的建立是从现象的感性认识中抽象出实物本质属性的思维过程. 以启发引导辅助探究为方式的概念是发展学生核心素养的有效途径和方式.课堂教学中教师要精于设计问题，通过“问题解决教学”组织学生探究，通过对问题的探究在解决问题的过程中获得新知、获得感受、获得解决问题的方法和思想，从而获得核心素养的发展，获得能力的提升.

案例1：圆锥曲线的共同性质的教学片段（苏教版选修1-1）.

问题1：由本章第一节课知道，椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线，比较它们的定义结构，相似吗？

（提问意图：从椭圆、双曲线的定义结构来看，非常类似;但给抛物线下定义时，结构却发生了变化）

问题2：平面内动点P到一个定点F的距离PF和到一条定直线l（F不在l上）的距离d的比等于1，则动点P的轨迹为抛物线，此时■=1. 若动点P的轨迹是椭圆或者双曲线时，则■为定值吗？范围是什么？

此处教师留给学生自主探索的时间和空间，学生开始思考，教师再结合几何画板动态演示（此处让学生动态感受形与数的结合），学生得出结论：当曲线是椭圆时，■为定值，范围在（0，1）;当曲线是双曲线时，■为定值，范围在（1，+∞），学生猜想■=e.

问题3：刚刚我们是从图形的角度猜想■=e，那你可以从代数的角度加以验证吗？

此处给定时间充分思考. 在推导椭圆的标准方程时，我们（师生合作）曾经得到这样一个式子a2-cx=a■（因为猜想■=e，所以学生很自然地想到把此式转化为比值的形式），从而得到■=■.

问题4：请学生分析上式的几何意义.

预设结果：椭圆可以定义为到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个常数■.

问题5：椭圆和抛物线都具有比值■，而差别就在等式的右边，那么双曲线有这个几何意义吗？

预设结果：通过类比椭圆几何性质的推导过程，等到双曲线的几何性质.

问题6：现在你能归纳出三类圆锥曲线的共同性质吗？

预设结果：学生组织语言，得出圆锥曲线的共同性质.

平面内到一定点F与到一条定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹. （点F 不在直线l上）

（1）当0

（2）当e>1时，点的轨迹是双曲线.

（3）当e=1时，点的轨迹是抛物线.

其中常数e叫作圆锥曲线的离心率，定点F叫作圆锥曲线的焦点，定直线l就是该圆锥曲线的准线.

案例1中，为了形成圆锥曲线的共同性质，教师精于设计“问题链”，启发引导学生探究，从而形成概念. 教师引导学生观察和类比分析，启发学生猜想与概括. 通过类比、对比和归纳，把新的知识化归到学生原有的认知结构中去. 利用多媒体辅助教学，增强动感与直观性，提高教学效果和教学质量. 引导学生学数学勤于思考，善于发现渗透，用代数的方法研究几何;用几何的眼光处理代数问题（几何直观能力的体现）;会用数学中“数形结合”思想：由数联想到形，由形转化为数. 从而提升学生的数学抽象、直观想象素养.

2. 在公式推导中，提升“数学逻辑推理素养”

？摇？摇数学公式推导是数学教学的一个重要环节，通过对公式的推导，提升学生研究问题、分析问题、解决问题的能力;培养学生观察问题、思考问题的能力，以及能灵活运用基本概念分析问题、解决问题的能力，自主探究的能力、锻炼数学思维的能力;同时渗透类比、化归、分类讨论等数学思想，从而提升学生的数学逻辑推理素养.

案例2：等比数列前n项和公式的教学片段（苏教版必修5）.

问题1：如何求等比数列{an}的前n项和Sn：Sn=a1+a2+a3+…+an.

问题2：在等差数列求和中，用基本量a1，an，d，n中三个量可表示Sn，a1，an，n或a1，d，n;那么在等比数列中有哪些基本量呢？

预设结果：学生能答出有四个基本量a1，an，q，n.

问题3：四个基本量a1，an，q，n，从其中选三个，可以有组合a1，q，n;a1，an，q;a1，an，n;an，q，n. 用哪一组合可表示Sn呢？

预设结果：有了等比数列通项公式an=a1qn-1，学生很快答出用a1，q，n表示Sn，得Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1.

问题4：已经用a1，q，n表示Sn，但式子太长，能再简洁点吗？

预设结果：学生知道能化简，但没有具体方法.

问题5：能不能用等差数列求和方法去求？倒序求和？

预设结果：学生知道不能，进入思考中.

问题6：那怎么办？（此处放手让学生自主探究）

预设结果：学生想到两边同乘以q. 从而有Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，qSn=a1q+a1q2+a1q3…+a1qn-1+a1qn.

问题7：怎么想到的呢？（等式右边有什么特征？）

预设结果：学生回答，等式右边，从第二项起每一项比前一项多乘以q，这样有n-1项相同项.

问题8：如何进一步求Sn？（此处给学生充分的观察、思考的时间，让他们探究出求解的方法：作差）

预设结果：学生回答，观察有n-1项相同项，作差可以消去，从而得到（1-q）·Sn=a1（1-qn），再两边同除以1-q.

问题9：能直接除吗？

预设结果：学生补充，要讨论分母等于0和分母不等于0两种情况：

（1）当1-q=0时，即q=1，得到Sn=na1;

（2）当1-q≠0时，即q≠1，得到Sn=■.

所以得到等比数列前n项和公式：Sn=na1，q=1，■，q≠1.

反思：（1）将Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1两边同时乘以公比q后会得到qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn，两个等式相减后，哪些项被消去，还剩下哪些项，剩下项的符号有没有改变？这些都是用错位相减法求等比数列前n项和的关键所在，让学生先充分思考，自主探究，再讨论交流，最后教师用多媒体予以突出强调，加深印象！

（2）两等式作差得到（1-q）Sn=a1（1-qn）时，肯定会有学生直接得到Sn=■，此时教师启发引导分母不能为0，所以讨论公比q=1与q≠1两种情况，避免后面应用公式时，漏掉对公比是1的讨论，从而加深对公式的理解.

案例2中，为了形成等比数列前n项和的公式，教师精心设计的“问题链”巧妙地把每个知识的环节有机地联系起来，层层递进，思维热点环环相扣，教师始终站在学生的立场上去对待问题的发现和处理，使得学生的参与意识被充分地调动起来，体会知识的发生、发展和运用过程，从而抓住问题的本质;鼓励学生自主探究、敢于探索、善于创新的学习品质，从而提升学生的数学逻辑推理素养.

3. 在模型建构中，提升“数学抽象素养”

数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象，简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段. 数学建模为学生提供了一个自主探究的空间，有利于激发学生学习的兴趣和热情，让学生体验数学在解决实际生活中的作用与价值，有利用培养学生自主探究的能力和概括归纳的能力. 在数学课堂教学中，教师应启发、引导让学生自主探究建立模型的过程，并选择适当的数学变量，抽象出数学模型和数学的本质属性，从而提升学生的数学抽象能力.

案例3：函数零点存在的判断方法的教学片段（苏教版必修1）.

图1是某市1月份的某一天从0点到12点的气温变化图，假设气温是不间断变化的，请将图形补充成完整的函数图像.

问题1：这段时间内，是否一定有某时刻的气温为0 ℃？

此处教师留给学生自主探索的时间和空间，学生开始思考、画图，一种、两种、三种……教师实物投影展示学生的作图情况.

师：同学们作图丰富多彩，但有个共同点都穿过了x轴，为什么？

生：0时-2 ℃，12时6 ℃，且图像不间断，所以一定穿过x轴.

师：穿过x轴，那x轴所对应的时刻就是0℃所对应的时刻，这个时刻就是函数的零点.

问题2：生活中，0时-2 ℃叫零下，12时6 ℃叫零上，从函数值的角度讲，什么叫零上，什么叫零下？

生：零上，对应函数值为正，即y>0;零下，对应函数值为负，即y<0.

问题3：从这个实际问题中，你能得到什么启发？

此处教师留给学生自主探索的时间和空间，同学们开始思考，相互交流讨论.

问题4：如果我们用区间[a，b]表示这个时间段，它们两个端点的函数值应该怎样呢？

生：异号，即f（a）·f（b）<0.

问题5：若f（a）·f（b）<0，则函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点吗？

生：图像不间断（不能断开，并举例函数y=■，f（-1）·f（1）<0，但在区间（-1，1）没有零点）.

生：f（a），f（b）可能同号.

师：同号，异号，哪个更可靠？

生：异号（并举例说明）.

问题6：函数y=f（x）存在零点的条件是什么？

生：（1）图像不间断;（2）端点函数值异号，即f（a）·f（b）<0. 有这两个条件才能保证函数在区间[a，b]上有零点.

师：很好，所以我们得到了零点存在的判断方法.

函数零点存在的判断方法：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点.即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根.

问题7：定理逆过来行吗？若函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，则f（a）·f（b）<0，对吗？

问题8：若满足判断方法，则函数y=f（x）在区间（a，b）内只有一个零点吗？

问题9：再加上什么条件就“有且仅有一个零点”呢？

案例3中，为了让学生直观感知函数零点存在的判断方法，教师引导学生从生活中的温度曲线图中建立数学模型，将抽象的函数零点存在的判断方法的问题转化为具体形象的“温度曲线”型，从而让学生经历了从“形”到“数”抽象概括的过程.教师设计环环相扣、具有多层次的“问题链”，启发引导学生通过自我探究、交流合作、概括归纳出函数零点存在的判断方法，并在体验与感悟中提升了数学抽象素养.

总之，数学课堂教学要以知识为中心轉向以能力为中心，以教师为中心转向以学生为中心，以教学生知识转向引导学生探究为中心;通过启发引导学生的探究，亲身经历，调动学生学习数学的兴趣和热情，体验数学学习的成就感，发展学生的数学素养. 当然，学生素养的培养，是一个长期的过程，需要在课堂教学中慢慢渗透;提高学生的学习能力，培养学生的数学核心素养，必将成为我们数学教师努力的方向.