关于高三数学复习课的教学设计思考①

孙居国

(南京师范大学附属中学 210003)

高三数学复习课与习题课是两个不同的概念，主要表现在复习课是与具体数学内容相关的，例“函数单调性”复习课，“数列通项”复习课，是通过讲解习题为载体，达到巩固知识方法，发展能力的目的，而习题课则是以讲授解题方法为主要目标，通常不受具体内容的约束，主要用于考前集中训练，专家讲座等．因此，高三数学复习课，应根据具体特点，进行整体设计，分步完成，从而提高课堂效率．

当前的高三复习课主要是以精讲多练为主，师生都有比较成熟的教辅资料，课堂教学基本环节包括：回忆知识要点、分析例题、反馈练习、巩固提高等环节.但由于教辅资料的编写者与授课者往往不是同一个人；还有例题通常按题型分类，选题还是由易到难，由简单到复杂的自然分类方法；如果按部就班按讲义资料的顺序讲解问题，则针对性不强，教学的整体目标还不明确，每一个题目承载的目标功能不能充分的发掘．

下文结合“平面向量基本定理”复习课，对如何处理好课堂中的题目、方法、知识、能力等方面的关系，谈谈高三数学复习课的一些想法．

1 题目服务主题

高三数学复习是将高中所学的所有数学内容，按计划、分阶段的分配到每一个具体的课时中，也就是说，每一节高三数学复习课都有具体的复习内容和任务． 这一具体的复习内容和任务就是我们每节课的主题，因此，每一节数学复习课要紧扣主题． 现在有的课堂是在课前将主题内容罗列一遍，提醒注意要点，然后开始讲解习题，还有的课堂就直接给出课题，然后解决习题，给人的感受就是主题服务题目，学生将题目解决了，就顺利完成了学习任务． 还有在课堂一开始，将主题内容罗列一遍，提醒注意要点，就是将解题思路告知学生，特别是好学生失去了尝试回忆自主探究的机会．

为了做到提高复习效率，可以以题目为载体，在解题目的过程中回忆知识，探究方法，使得主题清晰明确．

应说清楚为什么就可以得出λ，μ的值．突出平面向量的基本定理是什么？

学生解答解析：

教师追问1：这个题目用到了平面向量中的什么知识？

学生回答：平面向量基本定理．

教师给出平面向量基本定理的内容：

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2．其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

其实这一过程中，由于是填空题，绝大部分学生都能得到答案，问题解决了，也给出了平面向量基本定理的内容．其实在这一过程中，“题目服务主题”的还不够，深化概念知识，提升能力的机会还是“滑过”了．

“题目服务主题”的方法，就是教师不要轻易把学生的解法视为必然，而是要追问“你是怎么想到的？你为什么这样想？”这是数学理性精神最自然的体现．

S：根据平面向量基本定理．

T：什么是平面向量基本定理？

S：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2．其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

在这一对话交流中，将学生的模糊知识得到清楚．让学生明确通过这一问题的解决，学生认识到今天学习的主题——平面向量基本定理．

因此，题目服务概念、知识和方法；题目是无限的，做不完的，概念、知识和方法是有限的． 通过有限的题目达到巩固概念、知识和方法的目标，通过有限的概念、知识和方法解决无限的题目． 同时，教师在选择问题时，要明确题目承载的知识．

问题的设计立足于学生已经学习过的定义、定理、公理、公式、法则等基础知识和基本技能，要求学生解答时对需要的知识内容进行再现和确义．这类问题的价值主要表现为两个方面，一个是原有知识再一次强化，使学生在原来认识的基础上再加深认识，从而进一步巩固，另一个价值是为本节课较高要求内容作准备，在原有的基础上认识得更清晰、更完整、更深刻．

2 现象服务本质

在一节数学课上，不同的问题承载的功能不一样，要达成的目标也不一样． 如果问题1是为了服务于主题，把今天所要学的知识内容在原来学习的基础上，重新整理一遍，那么接下来通常是利用知识解决问题．

由于学生已经学完了高中数学所有内容，不同的学生有不同的思维风格和习惯，因此，面对同一问题在同一个班上会出来不同的想法和做法．例如看下面问题．

解法1：如图，过M点作AN的平行线交AC于D点，

由平行线比例性质可知

CD∶DN∶NA=1∶1∶4，

故PN∶MD∶BN=4∶5∶10，AP∶AM=4∶5,

解法2：连接PC，设△BPM面积为x，△PCN面积为y,

点M是BC的中点，AN=2NC，

所以△APN面积为2y，△BPA面积为3y，

=0，

又因为e1与e2不共线，

且B,P,N三点共线.

且A,P,M三点共线.

还有同学提出建立坐标系，用解析法解决问题．以上是师生共同探讨，得出的解决此题的一些方法．

如果此问题到此结束了，教师只是给出了问题，并罗列了一下解题方法，这只是停留在方法的层面上，还没触及本课的本质——向量解法的优势，对学生的数学能力的提高不大，达不到较好的复习效果．

由于此问题比较特殊，中点、二比一关系，几何意义比较明显，用向量方法并没有体现出优越性，但是说明了同一数学对象可以用不同方向去解决.通过问题，为学生提供所学的数学知识与已有的经验建立内部的联系的实践机会．

在学生对这些问题进行充分的感知后，再进行抽象概括，使学生的数学知识建立起内在联系，成为一个有机的知识整体，达到对数学理论的理性认识．使数学思维能力得到深化．

为此，将问题2中的BM=CM，AN=2NC改为BM=xCM，AN=yNC，由于用几何方法过分依赖图形的直观性，而一般化以后，比较难以得出结果，此时用向量方法解决，则会体现平面向量基本定理的必要性和优越性．

解法如下：因为BM=xCM,AN=yNC,

因为B,P,N三点共线,

通过这一比较分析，体现向量基本定理解决问题的一般性和普适性．在比较、联系、辨析中获得基本方法和经验．更能体现向量基本定理的本质．

3 目标服务能力

在问题1、2解决的基础上，学生获得了知识、方法，这都是学生用来解决问题的工具，本课基本上完成了教学目标任务，对于学生而言是重要的． 但教会学生独立解决问题的能力则更重要． 当能力达到了一定的程度，学习新知识，解决新问题相对就容易了．

有的教师认为，提高学生的能力，就是讲难题，做难题，这种认识是不全面的．为了提高学生的能力，选择问题应能反映数学的本质，与本节课的数学概念和性质相关，具有发展性，表述形式简洁，流畅且好懂，能给学生提供比较分析、抽象概括的机会．

=-1，

=AD2-DC2=9FD2-DC2

=4，

解法3：坐标法

设D(0，0),B(-a,0),C(a,0),F(x,y),E(2x,2y),A(3x,3y),

通过问题3，你对利用平面基本定理解决数学问题有什么新的感悟？

利用平面向量基本定理，选择恰当的基底是更好的解决问题的关键．到此为止，顺利地完成了教学目标．但在目标中，为了更加突出能力目标的重要性，在完成目标后，进行反思，给学生提供比较分析、抽象概括的机会，体现目标服务能力．

反思这个环节是对本节课的过程进行整理，对其中涉及的基础知识、数学思想方法进行归纳总结，对不同解题思路进行比较，并思考优化、改进解题过程，所以是学习过程中的一个再概括环节．由于是在已有实践基础上进行的学习活动，因此学生对问题所涉及的知识、思想和方法的体验、领悟会更加深刻．从感性到理性、从具体到抽象、从模糊到清晰逐渐过渡的过程，逐渐走向深入．让学生感受到完成任务的满足感，战胜困难的喜悦感，引起继续解决数学问题研究数学问题的热情．

通过本课3个问题的解决，追问学生是怎么想到的．提炼出用平面向量基本定理解决问题的方法步骤．

通常有三种方法解决向量问题，即：根据几何意义；选择基底运算；建立坐标系转化为坐标运算，其中坐标法是选择单位正交向量为基底．

解决问题的步骤：

选择基底，线性表示，化简运算，获得结果．

将问题解决方法提升到一般化的层面，这些都是推理论证，抽象概括等能力培养和指导思维的方式，让学生学会思考，从而极大的提高学生的解题水平和数学能力．

当然，高三数学复习课中，一节课要完成各方面的功能不大可能，但是作为教师，对于每一个选题都要有所思考，至少在某一方面要达到其应有的价值，努力做到服务主题、服务本质、服务能力．