数学问题解答

2020年7月号问题解答

(解答由问题提供人给出)

2551设△ABC的面积为S,证明：

(华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心 彭翕成 曹洪洋 430079)

=ab+bc+ca.

(2)a2-(b-c)2=2bc(1-cosA)

则

=S.

(江苏省溧阳市光华高级中学 钱德全 213300;江苏省溧阳市永平小学 张晓蔚 213333)

证明如图，建立平面直角坐标系，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，

△ABC的重心为M.根据三角形的重心坐标公式，

设D(xD,yD)，E(xE,yE)，F(xF,yF)，

根据线段的定比分点坐标公式，得

所以点D((m+1)x1-mx2，(m+1)y1-my2).

同理可得

点E((m+1)x2-mx3，(m+1)y2-my3)，

点F((m+1)x3-mx1，(m+1)y3-my1).

设△DEF的重心为M′(x′M,y′M)，

根据三角形的重心坐标公式，得

所以△DEF的重心M′的坐标也为

所以，点M与点M′重合.

因为点H，J，K，分别是DA，EB，FC的中点，

设△HJK的重心为M″(x″M,y″M)，

同理可得M″的坐标也为

所以，点M、M′、M″三点重合，命题得证.

2553在锐角△ABC，求证：

2cosAcosB+2cosBcosC+2cosCcosA

≤4cosAcosBcosC+1

≤cosA+cosB+cosC.

(安徽省枞阳县宏实中学 江保兵 246700)

证明首先证明

4cosAcosBcosC+1

≤cosA+cosB+cosC.

因为在△ABC中有三角恒等式

cosA+cosB+cosC

所以原不等式等价于

即4cosAcosBcosC+1≤cosA+cosB+cosC.

再来证明

2cosAcosB+2cosBcosC+2cosCcosA

≤4cosAcosBcosC+1.

则有1-2cosA≥0.

因为2cosAcosB+2cosAcosC+

2cosBcosC-4cosAcosBcosC-1

=2cosA(cosB+cosC)+

2cosBcosC(1-2cosA)-1

+cos (B-C)](1-2cosA)-1

所以

2cosAcosB+2cosBcosC+2cosCcosA

≤4cosAcosBcosC+1.

综上

2cosAcosB+2cosBcosC+2cosCcosA

≤4cosAcosBcosC+1

≤cosA+cosB+cosC.

(当且仅当三角形△ABC为正三角形时等号成立)

2554已知⊙O为△ABC的外接圆，⊙Ia为∠BAC内的旁切圆，∠A的外角平分线交⊙O于点P，直线PIa交⊙O于点T,⊙Ia切BC于点D,切AB的延长线于点E.求证：∠ATP=∠DTP.

(江西省高安市石脑二中 王典辉 330818)

证明联接AIa交⊙O于点Q,联接PQ交BC于点K,AP是∠A的外角平分线，

可得∠PAQ=90°,可知PQ是⊙O的直径，

根据垂径定理知PQ垂直平分线段BC.

联结BQ，BIa,

因为∠EBIa=∠CBIa=∠CBQ+∠QBIa

=∠BAQ+∠BIaQ,

而∠CBQ=∠BAQ，

所以∠QBIa=∠BIaQ,得BQ=IaQ.

联结PB、KIa,根据直角三角形的射影定理，有

BQ2=QK·QP=IaQ2，

从而△PQIa∽△IaQK,

所以∠IaPQ=∠KIaQ.

联结IaD，又因为PQ⊥BC、IaD⊥BC,

所以PQ∥IaD,得∠IaPQ=∠DIaT,

所以∠KIaQ=∠DIaT,

从而有∠DIaK=∠QIaT，

联结TQ,可知有

∠PTQ=90°=∠QTIa=∠IaDK，

所以有△IaDK∽△IaTQ,

因为∠KIaQ=∠DIaT,

所以△DIaT∽△KIaQ.

易得

△DIaT∽△KIaQ∽△IaPQ∽△IaAT,

有∠IaTD=∠ATIa,

所以∠ATP=∠DTP.

2555正实数x,y,z满足xyz≥1，证明：

(兴化市教育局教研室 张 俊 225700)

证明由六元均值不等式有

①

由十一元均值不等式及xyz≥1有

②

由①②有

以上三式相加得

≤1．

③

以上三式相加得

≥1.

④

由③，④得

≥0.

2020年8月号问题

(来稿请注明出处——编者)

2556如图，已知Rt△MNT，∠MTN=90°，点O是MN中点，点I、J是TM、TN上的点，满足OI⊥IJ，点X是IJ中点，点Y是MN上的点，满足∠NIY=∠TMN，证明：XY⊥MN.

(安徽省滁州中学 李伟健 239000)

(河南省南阳师范学院软件学院2017级9班 李居之 孙文雪 473061)

(浙江省慈溪市慈溪实验中学 华漫天 315300)

(1)

(河南质量工程职业学院 李永利 467001)

2560⊙O的半径等于等边△ABC的高，且⊙O在BC边上滚动时与AB、AC两边交于E、F，求证：无论⊙O滚到什么位置，△OEF总是等边三角形.

(安徽省淮南三中 王秉春 232007)