从课本中汲取解题营养

张 俊

(江苏省兴化市第一中学 225700)

由于高考最终以试题的形式出现，因而在高三复习中，很多教师往往把提高学生的解题能力作为数学教学的中心任务．这本无可厚非，但笔者在调研中发现，不少老师往往抛开课本，或围绕一本复习资料，或围绕备课组自编的讲义组织复习，讲练题目．在与不少老师的交流中，笔者了解到下面的想法颇为流行：教材只是讲授知识的载体，对指导怎样解题作用不大．事实上，勿论知识传授与解题本身并不割裂，即便单纯地从指导解题出发，教材中同样蕴含着丰富的解题营养．只要深入地研究课本，就能汲取课本中富含的养分，提高解题技能，充分发挥其应有的价值．

限于篇幅，本文所举案例皆来源于苏教版必修4、必修5中“三角恒等变换”、“解三角形”两个章节．

1 扩大课本中例习题的应用范围

课本中除了必须掌握的定理、公式、法则外，还有很多的例题、习题．它们散落在课本中，其中不少题目的结论或简洁深刻，或内涵丰富，是经典命题．由于各种原因所限，它们只能以例习题的形式屈居在课本中．比如向量的定比分点公式、三角形内外角平分线定理、海伦公式等，它们本身都是著名的结果，熟知它们，解题时犹如多了克敌制胜的法宝，对跨越思维障碍，迅速解决问题帮助很大．

案例1苏教版(必修4)中有一道习题：求证：sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β.

这道题形式简洁，结构整齐，与平方差公式交相辉映，极富美感，不仅便于记忆，而且应用方便，我们不妨称之为“正弦平方差公式”．

题1(2017届南通扬州泰州二模)：在△ABC中，已知AB=2,AC2-BC2=6，则tanC的最大值是．

题2(2019届无锡高三零模：)在锐角ABC中，已知2sin2A+sin2B=2sin2C，则

类似于正弦平方差公式这般的经典结论课本中俯拾皆是，我们切忌不加选择地强行推销给学生．只有那些便于记忆便于运用的我们才可择其精者教给学生，而且还要注意时机和学生水平，否则不仅未曾变成学生降服难题的倚天剑，反而徒增他们的负担而已．

2 发挥课本中例习题的题根功能

雅诺夫斯卡娅有句名言：“解题就是把题目化归为已经解过的题”．课本中的很多题目历经岁月的锤炼，发展空间大，变化方向多，是很多试题的题根．一方面，解题时我们可以通过联想、构造、连续转化等手段将其化生为熟，另一方面，我们面对课本题时要在领悟本质的基础上，主动变式， 从而获得对问题的全方位认识．

此题是2019年高考江苏卷中的一道把关题，有一定难度．事实上，它是苏教版(必修4)中一道例题的改编，即，

所以sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα

题5(苏教版(必修5)例题)：在△ABC中，已知sinA=2sinBcosC，试判断该三角形的形状．

3 善用公式定理证明中的变形手段

课本中的很多公式、定理本身就是解题教学的良好范例，其中蕴含着丰富的数学解题方法、技能、策略等．教学中我们要将它们充分地挖掘并展示出来，杜绝那种抛售结论后就匆忙应用的功利性教学方式．还要注意是，一定要让学生全程参与，仔细体会，认真消化，并尝试将它们应用到解题实践中．

题6(2016年高考江苏卷第14题)：在锐角三角形ABC中，sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．

有趣的是，题6可看作案例2中题5的变式，这样我们就看到了这些形式各异的问题之间的联系，揭示了它们的本质，类似的问题随手可编，比如：

题7：在锐角三角形ABC中，cosA=2cosBcosC，求tanAtanBtanC的最小值．

题8：在△ABC中，已知BC2+4AC2=AB2，求tanA+2tanB+3tanC的最小值．

4 领悟公式定理证明中的思想方法

作为传递数学知识的载体，课本中孕育着丰富的思想方法．除了数形结合、函数方程、化归转化等耳熟能详的思想方法外，我们还要善于提取一些隐藏于所学习知识和例题习题中，对解题有直接帮助的的思想方法．它们以内隐的形式躲在幕后，却往往是解决问题的关键．比如对数公式证明中的取对数方法；等差数列、等比数列通项公式推导中的累加法、叠乘法，再如课本中散落着很多的题、定理和公式，它们的形式或结构或解决方法无不指向一个共同的本质：齐次，而化非齐次式为齐次式是解决很多问题的一种重要策略．这些闪烁着智慧光芒的东西，躲在知识定理公式题目的背后，熠熠生辉．它们是高级的解题武器．但需要我们沉入教材才能找到它们，并将之用于解题实践．

案例4题9(2018年高考江苏卷第13题)：在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．

相距十年，同一位置(第13题)，同以三角形为背景，基于同一思想，我们给出了它们优雅的解答，也许这就是冥冥之中的巧合吧！

图1

=2mRcos∠ADB=2mRcosC，

故m=sinA=sinθ．

课本为什么要在“三角函数”与“三角恒等变换”这两个三角章节之间插入“平面向量”一章呢？显然是想凸显向量的工具性作用，我们要深刻体会这一点，对于可用向量处理的内容，在教学时千万不能轻易滑过，要舍得花力气，尽量突出向量方法的优越性．

代入数据即可算得答案，一道难题谈笑间灰飞烟灭.

两边平方实现向量等式数量化的方法也可以用于题11的解决，限于篇幅，不在赘述．经历了前面两道题目的解决过程，我们对课本正弦定理证明处的一段旁白也许会有更深的理解，这段话是：向量的数量积是将向量等式转化为数量等式的常用工具．

图2

据此求得m+n=3．

解题是教师普遍关心的话题，怎样学习解题，我们往往求助于各种所谓的解题宝典、秘笈，却忽视向课本学习，从中汲取解题营养．对课本的研究越深，越觉其包罗万象，博大精深．作为教学的首席资料，课本不仅是我们教知识的载体，同样也能教我们怎样去解题．诚愿我们每位数学老师读好课本，学好课本，用好课本，充分发挥其应有的价值．正是：解题宝典何处寻？教材博大孕乾坤.外接古今群贤智，内含数学思想魂.千招万式源不尽，妙法巧思趋无穷.恰如方程求善解，朝研暮究道方通.