运用规律解决几何问题

王勇安

(安徽省芜湖市鸠江区马渡学校 安徽芜湖 241000)

姚敬东先生主编的《学生发展核心素养下的课堂教学指南》中指出，有效的归纳能激发学生主动构建，反推法、综合法就是让学生学会如何根据众多几何知识的组合，探求知识点之间的本质特征、内部联系，并在解题过程中培养学生的数学建模能力，思维的发散能力，促进学生主动有序探索，吸纳构建。下面我针对自己的教学，对如何在解题过程中运用好反推法、综合法，浅谈自己的几点看法[1]。

一、什么是分析方法

（一）反推法

数学的反推法与警察破案十分相似，都是要逆向推理，从题目要证明的结论出发往回推理，从未知看需知，逐步靠近已知，在此过程中有两点需要对学生重点培养：

1.做题时在草稿纸上画分析引导图

学习画数学引导图可以有效锻炼学生的思维能力。在不断画图的中过程，学生的思维会越来越清晰，做几何题越来越快，从而增强学习自信心。

2.注重几何语言的培养

在完成数学引导图以后，要让学生反过来把引导图翻译成几何语言。几何教学中存在不同形式的语言，大致有图形语言、文字语言和符号语言三种。教师在教学过程中，首先要让学生理解、掌握这三种不同的语言，继而还需培养学生将这三种语言相互转化的能力。不同语言在几何内容的学习中发挥着不同的作用。图形语言一般较为直观，能够形象地向学生展示问题；而文字语言则是概括和抽象的，重点是对图形或图形本身中蕴含的深层关系予以准确的描述，对几何的定义、定理、题目等予以精确的表述；符号语言则是对语言文字的再次抽象，它具有简化作用，有更深的抽象性，也是最难掌握的一种，是逻辑推理必备的能力基础。

（二）综合法

综合法是针对一些无法用反推法解决的难题，从已知条件猜测考点，结合图形进行解答。综合法是几何题目解题中通常会用到的逻辑思维方法。其特点在于从已知推可知，逐步再推出未知，在较为复杂的问题中，需要良好地运用综合分析法，从已知出发，从结论入手，形成完整的体系，寻求最后解决问题的接洽点，进而达到解决问题的目的。用综合法解决几何题比反推法要难的多。在此过程中，需要重点培养学生同类知识的归纳积累习惯，从而增加猜测的准确度。如证明角相等的方法有：对顶角相等，平行线里同位角相等，内错角相等，余角、补角定理，角平分线定义，等腰三角形、全等三角形的对应角等方法。

二、分析方法解题案列

兴趣是最好的老师，兴趣也是学习数学的最佳营养品和兴奋剂，对于学困生来说，激发他们的学习兴趣尤为重要。让学生产生兴趣的课堂最大的特点就是老师少说学生多做、多思考，但现在从小学开始的教学模式就是让学生大量重复地进行题海战术，学生虽然在做但真正自己思考的时间却很少，思维得不到有效锻炼，这样学生到了初中根本无法有效审题和思考。所以，在七年级一开始我就有意识地训练学生运用反推法和综合法的能力，早期有一次教学内容如下：

12.如图，已知a∥b，∠1=70o，∠2=40o，则∠3= 。

学生看到图后积极尝试，这道题本身不难，但学生刚涉及几何学习，除了少数数学天赋好的同学很快算出答案，大部分同学几分钟后还是没有做出来，为了锻炼学生的口语，我就请了最先做出来的孙同学给大家讲解过程，但他只是把答题步骤读了一遍，底下还是有多人眼神很迷茫，于是我先表扬了孙同学，让底下听懂了的同学举手，结果还是有一半人没举手，于是我在这部分人中点了成绩中下的王同学和我一起进行反推法的演练：

师：请问什么角等于∠3？

生：∠ABC。

师：所以我们可先求∠ABC，那么求∠ABC可以先求什么角？

生：可以用内角和先求∠ACB。

师：那么∠ACB又可以由什么角求得？

生：∠2是它的对顶角，可以由∠2得来。

师：说的很好。

我一边问一边画引导图，这种分析方法和直观的引导图立马被很多学生接受，在后面的几何教学中，一直让学生采用这种分析方法和画引导图的解题方法，让他们主动发现问题、探索问题、解决问题。学生课堂参与度越来越高，数学兴趣非常浓厚，后来我将例题的解题直接分割成三部分，审题找已知，已知析思路，思路化步骤，其中课堂讲题时重点训练一二两部分，特别是第二步分析方法，果然在后来的教学中同学们给了我惊喜。一次公开课就出现了这样的情况。

教学内容如下（多媒体出示）：

例2：已知：如图所示，AD=BC。求证：AB=CD。

在那次的九年级数学公开课上，我和同学们一题多解，同学们用综合法竟然找到多达5种证明方法，特别是龚同学不仅思路清晰，语言分析有条理，方法也最简。他开始从结果出发：

AB=CD

↑

弧AB=弧CD

↑

发现不好推以后又从已知猜测AD=BC

↓

弧AB=弧CD

↓

弧AB+弧AC=弧CD+弧AC

↓

弧AB=弧CD

这节课后，很多听课老师都说我们班的同学对问题的分析非常老到，而且都非常自信。实际上，几何分析法不仅是一种解题方法，也是学生与学生、学生与老师之间最简单直接的沟通方式，更是我们优化课堂、培养师生感情的重要方法。

三、研究分析方法的目的是让放手成为习惯

初中一节数学课不管是习题课还是新授课容量都非常大，要学的内容多，每节课都有许多知识点要求学生学习掌握，因为怕学生通过自主探究分析完成不了教学内容，又怕学生学得不够深、不够细，同时顶着中考的压力，导致许多教师不敢将课堂还给学生，不敢放手让学生去自主分析探究解题思路。“填鸭式”的课堂教学应运而生，一节课下来教师累的疲惫不堪，怎奈“落花有意付流水，流水无情葬落花”，老师讲得累，学生听得晕，我想我们是时候精简题数，细化题型，放手让学生在反推、综合法的借鉴下自由发挥了[2]。