基于线性规划模型中多目标规划模型处理的研究

熊庆如

（浙江东方职业技术学院，浙江 温州325011）

在科学管理和社会、经济与生活的各种活动中，经常会用到一类合理地分配和使用有限资源，使能获得“最优效益”的问题。如果要研究问题的目标函数和约束条件的函数都是线性的，这类问题就是线性规划问题。对于只有单个的目标函数的线性规划，我们都能方便地解决。但是在实际应用中往往出现多个目标函数的线性规划，为了帮助解决此类问题，笔者罗列了几种常见的情形，利用数学的基本思想和方法，归纳出几种解决的方法。

1 化多目标模型为单目标模型——目标法

1.1 模型1

1.2 模型求解

求解思路：把多目标化为单目标。求解方法：使用多种方法，视模型特点而定。这里介绍目标法。

从多个目标中选出一个目标来（这些目标函数往往是相互矛盾的），这里不妨选择利润最大作为主要目标。把其他的目标函数转化成约束条件，这样就称为了单目标。如何将目标函数转化为约束条件呢？

首先，我们要知道需要转化的目标函数的范围，为求范围，就需要求其最大值和最小值。在其范围内取一个合适的值作为约束条件值，形成约束有条件。

现在以案例1 为例说明求第二目标范围。这里先把删除第一目标，再求第二目标最小值。其程序如下：

从结果发现，f2的最小值为0。

同理求最大值，得到如下结果是，f2的最大值为60，因此，我们可以确定目标2 的取值范围是：f2∈[0，60]，不妨取f2燮50。（这里可根据题意也可以取0 至60 之间的其他数）

因此，原多目标模型就转化为单目标模型，结果如下：

结果显示：（f1*，f2）=（106，50），（x1，x2，x3）=（8，2，1），此未知数的值，不是最优解，只是满意解。

2 化多目标模型为单目标模型——线性加权法

2.1 模型2

2.2 模型求解

分析：两个目标都求最小，我们考虑将将这两个目标函数相加，然后求最小，minf1+f2，但是考虑到两个目标函数的系数权重有所不同。

比如，上述模型中，

第一目标范围是：f1∈[230，1150]

第二目标范围是：f2∈[12，60]

这两个目标的数量级不同，如果就这样简单相加，会造成“大数吃小数”的现象，从而造成结果失真。所以不能贸然将两个目标加到一起，为此需要进行“标准化”处理。使得f1与f2的数量级相同，达到具有可比性。

如何进行“标准化”呢？

第一目标标准化：

第二目标标准化：

f1与f2都是[0，1]之间的数，其数量级相统一了。但考虑到两个目标因素相对有所偏重，两个目标函数应该采取偏重的办法进行处理。这里引进权重比系数w1与w2（其中w1+w2=1，w1，w2>0），

化为单目标就得到：minf=w1f11+w2f22

比如w1=0.6，w2=0.4 或w1=0.7，w2=0.3，在同一数列级上的两个因素就有所偏重了。这种方法我们就定义为线性加权法。

根据这一思路，在lingo软件中，编写程序如下：

3 化多目标模型为单目标模型——功效系数法

3.1 案例3

3.2 模型求解

案例3 与案例2 的不同点，在于目标1 函数与目标2 函数不同，一个是求极大值，另一个是求极小值，两者就直接相加了。

第一目标标准化：

在第一目标标准化中，f1与f11是同向的，即f1取得极大值时，f11也取得极大值；在第二目标标准化中，发觉f2与f22是逆向的，即f2取得极小值时，就是f22取得极大值。

所以，将f11与f22合并相加就得到一个同向的函数，称作极性统一，数列级也统一。求这一个函数的极大值就满足题意了。

最后，引进权重系数，将多目标化为单目标了：

将此法通过lingo软件编程如下：

运行结果显示，目标值是（f1，f2）=（990，44），自变量取值是（x1，x2，x3）=（11，0，0）

4 化多目标模型为单目标模型——理想解法

4.1 模型4

4.2 模型求解

目标函数相互矛盾。

第一目标的范围是：f1∈[230，1150]，第一目标是求最大值，它的理想解是1150；

第二目标范围是：f2∈[12，60]，第二目标是求最小值，它的理想解是12；

化为单目标：minf=w1（1150-f1）+w2（f2-12）

通过求f的最小值，让f1逼近其理想值1150，f2逼近其理想值12，这样就可以取到最优值。

在软件lingo中运行程序：

程序运行结果显示：目标值是（f1，f2）=（1150，57），自变量取值是（x1，x2，x3）=（7，1，3）