基于核心素养的解三角形模型例探*

王瑞生

广东省惠州市惠阳区崇雅实验学校 (516213)

解三角形是高考必考知识点，从历年高考试题分析可知，其难度适中，考查知识点较为综合，求解入手容易但数学运算能力、逻辑推理能力要求较高，以致很多学生在解题过程中出现“会做不得分”的现象.为此，我们要对典型高考题、常考模拟题等进行分析总结，发现规律，掌握某一类问题的解题方法，以至事半功倍.

引例1 (2013年高考数学全国新课标卷Ⅱ理科第17题)ΔABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a=bcosC+csinB．

(Ⅰ)求B，(Ⅱ)若b=2,求△ABC面积的最大值.

方法二：在ΔABC中，由正弦定理得a=

反思：(1)余弦定理b2=a2+c2-2accosB是三角形三条边长和一个内角的等量关系式，可变形为b2=(a+c)2-2ac(1+cosB).当已知b和B时，余弦定理可以看作a+c和ac的等量关系式，结合基本不等式,可分别探求a+c和ac的最值问题.

(3)已知三角形的一边及其对角，求该三角形面积的最大值.这类问题的解题思路有以下模型1：

在ΔABC中，已知内角A及其所对的边长为a.

求(1)AB+AC的最小值；(2)AB·AC的最大值.

图1

高考题再现：(2019年高考数学北京卷文科第8题)如图1,A、B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( ).

A.4β+4cosβ

B.4β+4sinβ

C.2β+2cosβD.2β+2sinβ

思路探求：本题灵活考查学生直观想象、数据分析等数学核心素养.

图2

如图2,设该圆心为点O,连接OA、OB,半径r=2,∠AOB=2∠APB=2β,阴影部分Ⅰ(扇形)的面积S1=βr2=4β为定值,SΔOAB=

在ΔOAB中可得AB=4sinβ，问题转化为已知ΔPAB的一条边AB及其对角∠APB，求另两边PA·PB的最大值.利用模型1的解题方法可得正确答案为B.

引例2 (2015年高考数学全国新课标卷Ⅱ理科第17题)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD是△ADC面积的2倍.

反思：(1)余弦定理具有将三角形的三条边和一个内角建立等量关系式的重要功能.

(3)条件线段和待求线段组成以一对邻补角α、β分别作为一个内角的两个三角形的三条边时，结合余弦定理，建立方程cosα+cosβ=0可解三角形.即有以下模型2:

图3

如图3，在ΔABC中，线段AB、BD、AD、CD、AC组成以∠ADB与∠ADC为一对邻补角的两个三角形，由cos∠ADB+cos∠ADC=0，结合余弦定理可解三角形.

高考题再现：(2019年高考数学全国新课标卷Ⅰ理科第10题)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若│AF2│=2│F2B│，│AB│=│BF1│，则C的方程为( ).

图4

教学感悟:数学核心素养下的解三角形问题应重视数学学科观念、规律探索，注重数学思想方法的渗透和考查.高考试题在解三角形问题中常考利用公式或公式的变形直接求值，分析正弦定理、余弦定理的结构特征与题设条件的关系，特别是三角形的边角联系，精准选用公式及变换的方向，体培养学生的直观想象、逻辑推理、数学运算和数据分析等核心素养.