核心素养视角下的高中数学结构教学法*

黄启贤

福建省莆田第十中学 (351100)

核心素养视角下的结构教学法实践研究,要求着眼于高中数学这一整体,在发展学生的高中数学核心素养的视角下使用结构教学法进行系统性地效率教学.结构教学法的特点就是充分挖掘学生对整体与局部之间的认知规律,探索新旧知识之间的联系,构建系统化的知识体系.让学生理解学科知识内部的横纵联系,拥有知识整体的认知性与操控性,转变知识学习的被动性,促进学习主动性的形成,培养其在不同情境中形成、运用和解释数学的能力.

1.结构教学法

结构是系统内各组成要素之间的相互联系、相互作用的方式,是系统组织、有序化的重要标志.结构既是系统存在的方式,又是系统的基本属性,是系统具有整体性、层次性和功能性的基础和前提.[1]“结构化”是指使一个事物由混沌、散乱和无序状态转变为某种结构形态的动态过程.[2]就数学学科的教学而言,结构教学法是立足于教与学的结构化,细分为数学知识的结构化、思想与方法的结构化、学科核心素养的结构化.结构教学法的目的让学生站在系统的高度看问题,成为规律和结论的发现者、探究者,并形成终生学习的能力.

1.1 数学知识的结构化

数学是一个系统,理解和掌握数学知识需要系统思维.系统思维就是把认识对象作为系统,从系统和要素、要素和要素、系统和环境的相互联系及相互作用中综合地考察认识对象的一种思维方法.[3]知识的结构化包含知识整体认知的结构化与知识学习过程的结构化.结构教学法要求过程与内涵是具体的、明确的、可操作的,是现有教学方式的融合与提升.

知识整体认知的结构化,是从系统的角度探究一节课在整体中的位置与作用,理清一节课的特殊性与联系性,是在学生的最近发展区,从系统的角度去认知,引导学生建立知识网络结构,强化新旧知识之间的横纵联系,让每一章节、每一课时的内容成为知识网络结构的有机组成.

知识学习过程的结构化,是从研究数学对象的角度看待新知的学习过程,使得学习过程清晰明确,有章可循,化抽象为具体,提升学生自学能力.数学的学习过程就是研究数学对象的过程.研究数学对象,就是研究概念、性质、应用等三方面的内容.数学对象的概念包含概念的抽象、概念的表达、概念的辨析、概念的内涵与外延等几个方面.概念的抽象一般经过类比、归纳、猜想等.概念的表达常有直观图形语言、数学自然语言、数学符号语言等三种形式.概念的内涵与外延,一般通过有效的辨析题,加深对定义的本质的理解与掌握.数学对象的性质是数学概念所蕴含的结论或推论,是变化中的不变性与规律性.对于数学对象性质的研究常对逆命题、否命题、条件或结论的充分性与必要性做研究,既要从具体到抽象,也要从抽象回归具体.数学对象的应用是数学概念及其性质在数学相应问题中的应用,包含基础知识的初步应用,知识交汇问题的解决、学科融合问题的解决、实际生活中的应用等.

1.2 思想方法的结构化

数学思想方法是对数学对象的本质认识,是对数学知识进一步提炼、概括而形成的.[4]思想方法的结构化,是从思想方法的角度,认知数学对象研究过程及思想方法的联系,进而形成认识问题,分析问题,解决问题的结构化方法体系.高中数学包含七大思想方法:函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想、有限与无限思想、或然与必然思想.在数学对象的研究学习过程中常需要一个或多个思想方法的共同参与.教学中适时地融入思想方法框架,将数学对象学习的结构体系按思想方法与知识要点两方面归类,构建知识与方法的双向对照体系,搭建思想方法体系,并融入教学中,帮助学生形成更具形象的思维体系.

数学思想方法的认知与应用不同于一般意义上的数学知识的学习过程,其贯穿于数学的学习过程,带有隐匿性.中学生正处于形象思维到逻辑思维的上升阶段,需要一定量的实例累积,课堂的引领渗透,方法结构化体系的融合应用,才能领会内在的数学思想方法.这一过程要注重于方法结构化体系,才能知其然并知其所以然.思想方法是贯穿着数学课堂的精髓.思想方法是将课堂中的知识与方法有机地结合.

在概念的探究阶段,需要对一定量相关的实例作辩证分析,通过合情推理得到初步结论,再通过演绎推理给予证明,经历了从具体到一般,从直观到抽象的过程.在性质的探究阶段,需要探讨条件和结论中的每个要素的充分性与必要性,探讨概念所包含的一般性与特殊性,经历了从一般到特殊的演绎推理,相近类比的合情推理过程.在概念的应用阶段体现为数学概念及其性质在数学相应问题中的应用,既有简单的概念与性质的应用,也有交汇问题等较高难度的应用,经历了从一般到特殊的演绎推理过程.在数学对象研究的不同阶段,侧重涉及了不同的数学思想方法.

1.3 核心素养的结构化

核心素养的落地依赖于数学课堂的实施.数学课堂教学活动形式可划分为知识教学、解题教学、问题解决教学等三种形式,这三种形式分别聚焦了相应的核心素养,它们之间既突出各自的个性特征,又相互联系.在课堂教学中抓住教学活动中的素养内涵,落实基于素养的结构化教学.

在知识教学的环节,主要是研究数量关系与空间形式,在这一过程中落实直观想象与数学抽象这两种数学思维素养.直观想象素养的落实,体现在原有知识和经验的基础上对数学知识的认知与理解.数学抽象素养的落实,体现在数学知识学习的目的上,即获得数学对象抽象的认知与理解.

在解题教学环节,主要是算法与演绎,在这一过程中落实数学运算与逻辑推理这两种数学方法素养.数学运算素养体现在解题教学过程中由运算对象利用相应的法则进行的运算.主要有利用公式法则的运算、利用概念性质的运算及综合多种对象与方法的运算等三种不同层次的运算,运算的目的在于加深教学知识的理解,方法与技能的熟练掌握.数学的逻辑推理素养,是伴随着数学运算的一种数学推理的方法,推理的过程实质是对目标命题的论证、是执果索因的体现,能真正体现学生的数学能力素养.

在问题解决教学环节,主要是应用数学知识和方法为工具来解决问题,在这一过程中落实数据分析与数学建模这两种工具素养.数据分析是收集、整理、分析数据,并获得推断.数学建模是在实际情景中建立数学模型,是数学与生活的纽带.

2.结构教学法案例分析

下面是关于人教A版必修第一册《函数的单调性》这一节课的结构教学法的案例分析.

2.1 知识的结构化

知识整体认知的结构化.研究函数的单调性,从学生的最近发展区出发,组织以下几个探究问题或过程,单调性是什么(数学对象的概念),单调性的上下文是什么(新旧知识之间的横纵联系),函数的基本性质是什么(从系统的角度看问题),单调性与基本性质的联系是什么,单调性的怎样表示(数学对象的表达),单调性的性质是什么,单调性的应用在哪些方面.由此来构建知识网络,明确学习的最终目标,实现知识的结构化认知,并反作用于单调性的深刻理解.

知识学习过程的结构化.《函数的单调性》即是概念课,也是一节数学研究对象课.所以既要有概念的研究方式,也要有研究数学对象所具备的整体性.在函数概念的探究上包含以下内容.单调性概念从具体到一般的抽象;单调性概念的三种语言表达及其转化;单调性概念的准确理解.单调性概念理解主要通过辨析法进行的,如通过“任取两个数”换作“存在两个数”的辨析,阐明单调性局部与整体的关系;通过“小于号”换作“小于或等于号”或换作“大于号”的辨析,理清单调性在区间的端点或拐点处的表征及在某一区间上的增减性的类比探究.

2.2 方法的结构化

在单调性概念的探究过程,借助图象直观感知自变量与函数值的变化关系引出单调性的概念,并通过“增减区间的分界点”这一矛盾,导出了用数量的大小关系探索函数单调性的必要性,这一过程突出了数形结合、分类与整合的数学思想,再引导学生抽象出单调性的定义,学会用数学的语言精确地描述变量与函数的变化关系.这一过程突出了特殊与一般、分类与整合、化归与转化的数学思想.

在单调性性质的探究过程,通过辨析得到单调性具有局部性这一特性,突出了数形结合、特殊与一般的数学思想,通过概念的等价转换,得到判别单调性的其他几种代数形式,突出了化归与转化的数学思想.

在单调性应用的探究过程,主要有利用函数的单调性求变量的取值范围,探求组合性或复合性函数的单调性问题等,突出了化归与转化、数形结合、特殊与一般等数学思想方法.

2.3 素养的结构化

在单调性概念的知识教学环节,先借助于生活中的实例,并利用学生已有的知识引入新知,研究函数值随自变量的增大而增大(或减小)的特性,接着从直观图形语言、数学自然语言、数学符号语言等三种语言逐步抽象出单调性的一般性定义,然后通过概念的辨析,探究单调性的性质.在这一过程中落实直观想象与数学抽象这两种数学思维素养.

在解题教学环节,利用单调性概念与性质研究新函数的单调性、值域、解不等式等.这一过程要注意解题过程的完整性与规范性.如定义域的取值范围,临界情况的分析,命题转换的充分性与必要性,并在解题后要有充分的思考,如考察了哪些内容,运用了哪些方法,哪些内容与方法没考察到,还可以从哪些角度与方式设计问题.这一过程中落实数学运算与逻辑推理这两种数学方法素养.

在问题解决的教学环节,引用生活实例抽象函数单调性概念,经历了从具体的直观描述到形式的符号表达这一过程,体会了形到数的转换过程.另外选用生活中的实例,如城市人口与时间的关系,人体的体温与时间的关系,池塘中鱼的产量与养殖的密度,果树的花蕊密度与产量等,需要对研究对象获取数据,整理,分析,形成论断,促使定量到定性的分析意识与能力的形成.在这一过程中落实数据分析与数学建模这两种工具素养.