基于GHZ态与cluster态的双向量子操作传送

柳人菊， 柏明强， 吴 帆， 张玉春

（四川师范大学数学科学学院，四川成都610066）

量子纠缠在量子信息论中处于核心地位［1］.当前处理量子信息任务的有趣之处大都源于纠缠的特性.一方面，纠缠可以产生非局域关联性，这些性质无法用局域的，现实的理论来解释；另一方面，它也可以用作量子资源.例如，利用量子纠缠可以将一个未知的量子态传送到遥远的地方，而不需要直接的物理传送，这个过程就是量子隐形传态［2］.以量子隐形传态的思想为基础，学者提出了量子远程制备［3］，量子秘密分享［4］，量子操作传送等.不同于经典的量子隐形传态，2001年Huelga等［5］利用局域操作和经典通信以及共享纠缠，首次提出了传送一个任意酉操作的方案.作为一种新型量子远程控制，量子操作传送（QOT）引起了学者的广泛关注［6-17］.例如 Zou 等［6］探索了通过使用线性光学元件实现非确定性的量子逻辑操作；利用不同的纠缠信道，Wang等［7-8］研究了部分未知酉操作远程作用于多量子比特的问题；Zhang等［10］结合量子操作传送和秘密分享的思想，首次提出了量子操作共享的概念和3个实现量子操作共享的方案；Lin等［17］利用部分纠缠态作为量子信道，提出一个受控远程实现任意单量子比特操作的协议.这些方案涉及的量子操作传送都是单向的.

一个自然的问题，是否可以利用一条信道实现发送者和接收者同时传递信息呢？2013年，Zha等［18］利用五粒子cluster态作为量子信道，首次提出一种双向受控隐形传态方案.该方案中，在控制者Charlie的帮助下，Alice和Bob可以同时发送一个未知单粒子态给对方.从此，双向量子通信引起了学者的研究兴趣.例如，2013年，以五粒子复合GHZ-Bell态为信道，Li等［19］提出一种双向受控隐形传态方案；同年，Li等［20］进一步提出一个基于五粒子纠缠态，传输任意单粒子态的双向受控安全直接通信协议；2014年，Duan等［21］提出一种基于七粒子最大纠缠态双向传送任意单粒子态的协议；2015年，Hassanpour等［22］利用 EPR 对和纠缠交换，提出一个双向传送任意单粒子态的协议；2016年，Peng等［23］利用八粒子cluster态实现了四方双向量子态分享；2017年，刘乾等［24］提出一个基于GHZ纠缠态进行纯EPR对双向隐形传态的协议；2018年，Zhou等［25］将双向隐形传态的思想应用于量子操作传送，设计了利用不同纠缠态作为量子信道的双向量子操作传送（BQOT）的协议.基于此，本文将研究基于GHZ态和cluster态的双向操作传送方案.

1 双向量子操作传送

本节中，利用不同量子态作为量子信道，提出了2个双向量子操作传送方案.方案中2个参与者Alice和Bob既是发送者也是接收者.假设Alice有一个任意态的粒子A，

其中，a0和 a1是复数，并且｜a0｜2＋ ｜a1｜2＝1.Bob有一个任意态的粒子B，

复数 b0和 b1满足｜b0｜2＋ ｜b1｜2＝1.Alice想将其酉操作UA作用在Bob所在系统的目标态｜φ〉B上，同时，Bob想将其酉操作UB作用于Alice所在系统的目标态｜φ〉A上，并且Alice和Bob不知道自己想要传送的酉操作的任何信息.

为后文叙述方便，给出Bell态和Pauli算子定义［26］如下：

1.1 基于GHZ态的双向量子操作传送方案假设Alice和Bob以2个三粒子GHZ态作为纠缠信道，即

其中

假设粒子 1、2、5 属于 Alice，粒子 3、4、6 属于Bob.结合2个目标态，系统总态为

方案由以下5步依次进行.

1）Alice和 Bob分别在粒子对（A，2）和（B，6）进行Bell测量，并通过经典信道公布结果.随后Alice和Bob根据测量结果作相应的酉变换.测量和对应的塌缩态以及酉变换如表1所示.

表1 Alice和Bob测量所得结果以及相应的酉变换Tab.1 Alice and Bob's measurement results and corresponding operations

由表1可以看出，不论Alice和Bob的测量结果是什么，通过执行适当的酉变换，都可以将测量所对应的塌缩态转化为

2）Alice和Bob执行复合的酉操作 T1，T1＝N13H3N35N45.其中酉算子NC1C2是以C1为受控粒子和 C2为目标粒子的受控非（CNOT）门，H＝是 Hadamard门.

因此，酉操作T1后将（8）式中的量子态转变为

3）Alice和Bob分别在粒子1和4上执行酉操作 UA和 UB，即

这表明需要传送的2个酉操作UA和UB已被同时作用在了2个目标态｜φ〉1和｜φ〉4上.因此，总系统的联合量子态可写作

4）Alice和Bob执行复合的酉操作 T2，其中T2＝N43N54N14.于是，（11）式中的量子态｜Ψ3〉转化为

5）Alice对粒子1进行｛｜＋〉，｜-〉｝基测量，其中

同时Bob对粒子3进行｛｜0〉，｜1〉｝基测量，然后通过经典信道公布测量结果.测量和对应的塌缩态以及酉变换见表2.

表2 Alice和Bob测量所得结果以及相应的酉变换Tab.2 Alice and Bob's measurement results and corresponding operations

由表2可知，当Alice和Bob执行联合酉变换之后，都能得到如下塌缩态

即Alice的酉操作UA作用在了Bob所在系统的量子态｜φ〉4上，同时Bob的酉操作UB作用在了Alice所在系统的量子态｜φ〉5上.

因此，基于GHZ态的双向操作传送方案成功实现.

1.2 基于GHZ态与cluster态的双向量子操作传送方案假设Alice和Bob的纠缠信道由三粒子GHZ态和五粒子cluster态构成，形式为

其中

假设粒子1、2、4、7 属于 Alice，粒子 3、5、6、8 属于Bob.系统总态为

方案分为4步进行.

1）Alice对粒子对（A，4）上执行 Bell测量，同时Bob对粒子对（B，6）执行Bell测量，并通过经典信道告知彼此的测量结果.随后，Alice和Bob根据测量结果作相应的酉变换.测量和对应的结果以及酉变换如表3所示.

表3 Alice和Bob的测量结果以及对应的酉变换Tab.3 Alice and Bob's measurement results and corresponding operations

由表3可以看出，在Alice和Bob分别执行适当的酉变换后，每一种测量所得塌缩态都可以转化为

2）Alice和 Bob执行复合的酉操作T3，其中T3＝N12H2N87N75N25.因此，酉操作 T3将（17）式中的量子态转变为

3）Alice在粒子7上执行酉操作UA的同时，Bob在粒子8上执行酉操作UB，即

这表明需要传送的2个酉操作UA和UB已被分别同时作用在了2个目标态｜φ〉7和｜φ〉8上.因此，整个系统总态可表示为

4）Alice和 Bob 分别对粒子对（7，1）、（8，5）进行Bell测量，并告知彼此测量结果.测量结果以及对应的操作见表4.

表4 Alice和Bob测量所得结果以及相应的酉变换Tab.4 Alice and Bob's measurement results and corresponding operations

由表4可知，当Alice和Bob执行联合酉操作之后，都能得到如下塌缩态

显然，Alice的酉操作UA已被成功执行在Bob所在系统的量子态｜φ〉3上，与此同时，Bob的酉操作UB也被执行在Alice所在系统的量子态｜φ〉2上.

因此，基于GHZ态与cluster态的双向操作传送方案成功完成.

1.3 比较与分析对上述2个方案（以下简称S1和S2）与文献［25］中的2个双向量子操作传送（BQOT）协议（分别简称P1和P2），下面从资源消耗、使用的必要操作以及效率方面进行了比较.类似于文献［27］，双向量子操作传送方案的本征效率定义为：

其中，P是方案成功的概率，q是用作量子信道的量子比特数，t是方案执行过程中传送的经典比特数.

表5 4个BQOT方案之间的比较Tab.5 Comparison of four BQOT schemes

比较S1和S2.从表5可以看出：S1的量子信道为2个三粒子GHZ态，S2的量子信道为一个三粒子GHZ态和一个五粒子cluster态，S1的量子资源消耗更少，由于S1比S2消耗更少的经典资源，所以总的来说S1资源消耗比S2少；因为Bell测量往往可以分解为一个CNOT操作和一个Hadamard操作以及2个单粒子测量，故S1使用的必要操作比S2简单；对于本征效率，S1为，而 S2为，所以S1的效率更高.综合这几方面，S1优于S2.

把S1与P1，P2作比较，明显S1使用的两粒子酉操作比P1少，而且S1执行了2次Bell测量和单粒子测量，P1则使用了3次Bell测量.综合来讲，S1使用的必要操作的比P1简单.与P2相比，S1的资源消耗更少，效率更高.因此，对于实现任意单粒子酉操作的双向传送，S1较P1和P2更具有优势.

把S2与P2作比较.由表5可知，S2多用了2个单粒子酉操作和一个两粒子酉操作，而2个方案消耗了相同的资源，都使用了4次Bell测量，并且2个方案的效率是相同的.从某种意义上来讲，S2可以作为P2的一种候选方案.

讨论S1和S2的实验可行性.从方案的描述可以看出，S1和S2使用的所有酉操作都是局域性的：单量子比特操作和两比特控制门，单粒子测量和Bell测量.而Bell测量，单量子比特操作和两比特控制操作已经广泛应用于许多量子系统，如离子阱系统［28-29］、光学系统［30-31］和 QED 系统［32-33］等等.因此，根据目前的实验技术，这2个方案都是可行的.

2 结论

本文结合量子操作传送和双向隐形传态的思想，利用不同的纠缠信道研究了双向的量子操作传送.通信双方Alice和Bob可以同时传送一个任意单粒子酉操作给对方，且2个方案都能以概率1完美实现.随后对2个方案进行了比较和分析，发现方案S1比S2消耗更少的资源，必要操作更简单，效率更高，所以方案S1优于S2.进一步地，与之前的双向量子操作传送协议P1和P2作比较，发现S1更具有优势，从某种意义上来讲，S2可以作为P2的候选方案.最后，对2个方案的实验可行性进行了说明.

本文提出的2个方案都是基于单比特酉操作的双向传送，那么是否可以基于多比特酉操作实现双向传送呢？同时，考虑到方案的安全性，能否增加受控方来抵抗内部和外部攻击？另外，可以考虑三方循环的量子操作传送协议，进而研究网络结构的量子操作传送理论.