加强学习设计，提升教学实效

张维

摘要：二次函数的学习设计要在概念的形成、特征的提炼、性质的探究、方法的获得上系统建构。通过学习目标导引学生深刻理解学习内容;为学生提供丰富的学习资源，强化二次函数概念的形成过程;通过具体的学习细节的指导，帮助学生实现学习经验的有效积累;依托学习资源，提升学生的综合应用能力，从而帮助学生理解二次函数的本质，有效提升学习力。

关键词： 学习设计; 二次函数;问题;  积累

数学是培养人的思维、发展人的思维的重要学科。因此在学习过程中，教师要有意识地设计丰富的学习资源，引导学生通过“资源选择—自主思考—分析推理—探索发现—问题解决—评价提升”的学习过程，积极而充分地参与二次函数相关知识的发生、发展和形成的过程，使学生成为基础知识的理解与迁移、基本能力的获得与提升、核心素养发展的见证者、发现者和学习者，使培养学生简单的代数推理能力和逻辑思维能力、深刻理解数学的转化思想和数形结合思想在课堂学习中得到落实。

一、深刻理解学习内容，整体把握学习目标

数学教学的首要任务是“教什么”，那么教师对于所教内容的理解是否到位是做好教学工作的第一步。因此，作为教师要有研究意识，提升个人的数学理解。

对于二次函数，教师首先需要研究二次函数板块每节课的学习内容，同时需要有整体观，理解二次函数板块的知识体系，理解其与一次函数和反比例函数的联系，构建函数问题的一般研究路径。那么后续在研究其他初等函数时，学生就知道：可以通过列表、描点画出函数图像，然后通过图像可以研究函数的性质;对于性质，知道从增减性、最值、分布象限这几个角度研究;对于一个不会解的方程，也能通过理解函数与方程、不等式的关系，运用图像进行解决。教师在教学中要注重整体观思考，从整体上认识教学内容，从整体上设计教学，从整体上启发学生思维，提升学生的学习资源理解能力。于是，我们把二次函数的应用的认知目标定位为：

知识技能：通过学习资源一的学习，让学生体验从具体的问题情境中建立二次函数的过程，掌握二次函数求最值的基本方法;在运用二次函数的图像和性质解决实际问题的过程中，帮助学生形成运用所学知识、已有技能和新生方法等解决简单问题的基本数学活动经验。

数学思考：尝试应用函数表述数量关系，通过学习资源二的自主学习，体会借助数学推理、函数建模思想，依托函数图像和性质解决实际问题的过程，体会数形结合思想、运动变化规律的函数表达，在问题解决的过程中，发展合情推理与演绎推理的能力。

问题解决：通过学习资源三中4个典型问题的学习，使学生灵活运用二次函数的有关知识和方法解决二次函数在数与代数、图形与几何、现实生活中的实际问题，在分析、推理、表达的过程中进一步增强学生的数学应用意识、代数推理能力，从而提高学生的信息加工、逻辑推理、数学表达等高阶认知能力。

情感态度：在各个资源的学习过程中体会二次函数的重要数学模型，感受数学在现实生活中的应用价值，发展学生应用二次函数知识解决数学问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。

学习重点是二次函数在数与代数问题中的综合应用。

难点是用数学的方式表征问题、用数学的方法解决问题、用数学的语言评价问题。

二、提供丰富的学习资源，注重概念的形成过程

学生对于二次函数的概念、图像和性质的本质的认识，需要具备扎实的基础知识和基本技能，而在现实的教学中，教师往往不重视知识的产生过程，对于定义、概念、性质等存在死记硬背的现象，所以在具体的应用过程中学生往往会出现各种错误或者不能灵活运用。

在新授课中，有的老师直接给出形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数就是二次函数，它的图像是一条抛物线，然后开始做基本应用的练习题，没有让学生经历二次函数概念的形成过程的体验，使得很多学生对于概念、图像及其性质的理解是不深刻的，也就不足以支撑他解决问题。于是我们对二次函数相关概念的学习，设计丰富而有意义的学习资源，引导学生独立思考：（1）二次函数是怎样产生的？哪些要素成为其研究对象？（2）二次函数与我们熟知的其他函数有什么联系和区别？（3）对于从二次函数的解析式到借助二次函数的图像研究其性质的研究过程，要让学生经过引入—发现—形成—应用的过程，师生共同经历;（4）经历将二次函数的一般式转化为顶点式的过程，并借助它来研究函数的图像和性质，体会相关特征量的数学意义;（5）由具体问题探索二次函数的图像与性质与a，b，c的关系，并借助图像理解相关性质;（6）在探索二次函数的图像和性质的过程中，感悟二次函数的一般式与顶点式的内在联系，体验利用对称性用“五点法”画抛物线的方法，感受数学关系的对称美、简洁美。

从二次函数的基本关系出发，设计理解概念、明确特征量a，b，c的意义和价值，经历二次函数的建构过程，体会实际问题中自变量的取值范围和函数最值的价值，从而实现对二次函数概念的整体建构。所以在二次函数的基础知识的学习设计中，教师要设计充分体现二次函数的形成过程的问题，让学生经历完整的自主探索的过程，让问题解决成为学生真正的数学学习过程。

三、重视学习细节指导，关注学习经验积累

数学学习的意义不仅仅是知识的获得和能力的习得，还在于学生数学基本活动经验的提炼与积累。当基本活动经验成为学生独特的学习经历的时候，新知识的学习才会有助于学生理解相关数学知识的本质。对于函数知识的学习，要逐步引领学生学会从生活中提炼、发现，理解函数的定义，继而学习三种表示方法、研究函數的图像和性质及应用。而二次函数的学习正是建立在学生已经由一次函数、反比例函数的学习基础之上的学习，沿着这样的学习路径，学习效益自然轻负高质，学习能力也一定会进一步提升。

当然，学生学习经验的积累并不是一两节课就能达到的，在平时教学中遇到相关问题要舍得花时间，让学生经历二次函数的关系建立、在一定条件下自变量的变化引起函数值变化的图像表征、几组对应值之间的特殊关系等完整的问题解决过程，提供解决思路的指导，通过对问题的解析何解释，让学生进行修改和反思，在这样的过程中逐渐积累学习经验，从而能更好地提升问题解决能力。通过下面的资源学习，学生进一步丰富对函数的学习经验，为后续学习提供有力支持.

学习资源：

1.已知二次函数y= -x2+ 2kx+ 1 - k（k 是常数）.

（1）求此函数的顶点坐标.

（2）当 x≥1 时，y 随 x 的增大而减小，求 k 的取值范围.

（3）当 0≤x≤1 时，该函数有最大值 3，求 k 的值.

2.如果二次函数 y1的图像与 x 轴的交点坐标为（-2，0），（4，0），它的形状与二次函数y2 =ax2相同，若y1的图像顶点在函数 y=2x+b 的图象上（a，b 为常数），试探索 a 、b之间的数学关系.

3. 已知函数y1=x2-（m+2）x+2m+3，y2=nx+k-2n（m，n，k为常数且n    0 ）.

（1）求函数的表达式，使函数y1， y2的图像经过点 A（2，5），B（-1，3）两个点中的其中一个点.

（2）若函数y1， y1的图像始终经过同一定点M.

①求点M 的坐标和 k的值.

②若 m≤2，当 -1≤x≤2 时，总有y1≤y2，求 m+n的取值范围.

4.已知，二次函数 y=x2+2mx+n（m，n 为常数且 m≠0）.

（1）若 n=0，请判断该函数的图像与x轴的交点个数，并说明理由;

（2）若点 A（n+5，n）在该函数图像上，试探索 m，n 满足的条件;

（3）若点E（2， p） ，F（3，q） ，G（4，r） 均在该函数图像上，且p

在快节奏的学习设计中，每节课或者每一天安排的学习任务很重，在这样的过程中，往往会忽视细节，特别是解题的规范性指导和问题解决中方法优化的思考。

比如资源中的第2题，学生有3个易错点：（1）二次函数形状相同，那么二次项系数可以取±a，易遗漏情况;（2）根据所给的条件在写函数表达式中选择用哪种形式对于解决本题更有利;问题1是细节问题，是对二次函数系数意义的理解，在复习中往往容易忽视;问题2是二次函数表达式的求解问题，对于本题如果选用交点式能直接得到函数表达式，有助于后续的问题解决，相信在新授课时，对于二次函数表达式的求解中，对于一般式、交点式、顶点式如何选择肯定有方法的指导，到了综合阶段，对于这样的细节问题往往忽视，所以在平时的教学中，即使是复习阶段，也要注重方法的选择和优化指导。

对于答题规范性的要求，也应该在平时的学习中得以加强。如问题4（3），可以结合图像直观得到最后结论，但是结合图像的过程中，对于图像有什么要求，需要结合哪些文字说明，才能严谨体现答题规范也都需要引起关注。所以在平时的教学中，教师要注重答题规范性的指导，对于部分同学也需要进行单独指导，规范答题，提升思维的严谨性。

四、设计专题学习资源，提升综合应用能力

九年级上册所涉及的难点是二次函数的综合性问题，以及几何综合问题。其实，综合性问题也是单独知识点的综合，如果能对于单独的知识点做好理解，那么对于综合性问题的解决就有关键的提升作用。

比如：对于二次函数的性质中主要研究的是增减性，所以可以开设二次函数增减性的专题，所有的例题设置都围绕着这一专题，通过简单例题的解决明确增减性问题的解决，始终抓住：开口和对称轴两个要素进行研究，然后再通过有梯度的例题设置，进一步理解增减性问题解决方法的思考，再进行小结，通过后续的联系再进行巩固，那么对于二次函数增减性的专题性复习，学生对于增减性的问题解决就有了更深刻的认识。

在单元复习或者期末综合复习阶段，可以进行难点分散，通过整理知识点，以小专题的形式进行难点突破。教师首先要基于学生立场，把握教学中的关键点，做到学情理解到位，然后在教学中留给学生尽量多的思考空间，让学生去理解问题、寻找关联，独立思考、信息加工，发现本质。在教学中，教师要教给学生从复杂的题干和结论中分析得到有效信息，从复杂的图形中找到基本图形，能根据条件构造有效的辅助线，这些都需要在平时的教学中和学生一起经历思考、分析、总结的过程，才能积累活动经验，理解數学本质，提升综合应用能力，同时也能促进逻辑推理能力的提升。

参考资料：

[1] 易良斌.中学数学教与学：研究与引领[M].北京：光明日报出版社，2015（12）.

[2]卜以楼.生长构架：复习课的理念创新[J].中学数学（下），2016（10）.

[3]许芬英.任务驱动 引思助学：构建引导学生自主学习的菜单式助学单[J]教学月刊，2015（4）.

（责任编辑：韩晓洁）