基于协调翘曲场的开闭口混合薄壁截面杆件约束扭转一维有限元分析

文 颖，陈泽林

(1. 中南大学土木工程学院，长沙 410075；2. 重载铁路工程结构教育部重点实验室 (中南大学)，长沙 410075)

桥梁工程中广泛应用的箱形梁属于开闭口混合薄壁截面杆件，封闭箱体能提供显著双向弯曲和扭转刚度，适应纵、横向偏载作用，开口悬臂板则为桥面结构提供良好支撑，满足桥梁功能要求。箱梁设计必须解决好空间弯扭分析问题。开口及全封闭薄壁截面杆件约束扭转分析分别由基于Vlasov 假定的Timoshenko 理论和基于Umanskii假定的Benscoter 理论解决[1−3]。研究发现开、闭口断面翘曲刚度差异明显。因此，箱梁约束扭转分析必须考虑开口悬臂板和闭口周边翘曲能力的区别[4]。

具有任意截面形状的薄壁杆件扭转翘曲位移一般可写成截面翘曲函数和翘曲参数的乘积形式。现有文献认为截面扇性坐标和广义扇性坐标分别适用于开口和闭口周边的翘曲函数，反映二者翘曲能力的差异，而描述翘曲沿杆件纵向变化的翘曲参数却是一致的。徐勋等[4]、郭金琼等[5]、周履[6]、张元海和林丽霞[7]、马俊军和蔺鹏臻[8]、聂国隽和钱若军[9]、Dikaros 等[10]和Qiao 等[11]采用Umanskii 第二理论，即开、闭口部分采用相同的待定翘曲参数，进行薄壁构件约束扭转分析。但是，关于翘曲剪流沿开、闭口部分如何分布仍存在分歧，例如文献[5, 7 − 8, 12]认为开口部分参与闭口周边翘曲剪流重分配，导致悬臂板产生附加剪流，而文献[4, 6]则从悬臂板自由端剪应力为零的条件出发，认为闭口周边将产生平衡悬臂板翘曲正应力的附加翘曲剪流。胡启平等[13]和王晓峰和杨庆山[14]认为开口截面翘曲剪流将引起附加翘曲。产生分歧的原因在于采用Umanskii 假定后，悬臂板翘曲剪流究竟由剪应变还是根据与翘曲正应力间的平衡条件来决定。考虑到闭口截面自由扭转刚度远大于约束扭转刚度，Sapountzakis和Mokos[15]、Günay 和Timarci[16]及Cambronero-Barrientos 等[12]采用Umanskii 第一理论，假定开、闭口部分约束扭转翘曲参数取为截面扭转角变化率。然而，它却无法反映翘曲剪应力引起附加翘曲，将产生不可允许的误差[5]。综上所述，现有文献在开、闭口部分约束扭转翘曲参数如何确定的问题上并未达成一致，势必影响约束扭转分析可靠性。

考虑到薄壁箱梁悬臂板宽度有限，且在闭口周边面内弯翘连续性条件影响下，板件中面内形成附加翘曲剪流，本文假定截面开口部分翘曲参数等于扭转角变化率(考虑悬臂板面内弯翘，忽略剪翘)，而闭口部分翘曲参数则满足Umanskii 假定。考虑开、闭口截面公共节点翘曲连续性条件，建立包含待定翘曲参数的协调翘曲模型。基于截面内外力平衡条件，建立闭口部分待定翘曲参数与刚性扭转角导数间的显式关系。依据势能不变值原理，建立开闭口混合薄壁截面杆件约束扭转分析的一维有限元列式。通过数值算例分析并与Umanskii 第二理论、Shell-63 单元、基于Vlasov假定的Beam-189 单元结果进行比较，论证本文方法计算翘曲位移和应力具有良好的精度。通过变化悬臂板宽及梁高，揭示不同约束扭转分析模型计算开、闭口截面翘曲刚度变化条件下杆件翘曲应力变化规律。

1 开闭口混合薄壁截面杆件位移场

开闭口混合薄壁截面杆件位移场的建立基于如下假定：

1) 截面发生整体轴向位移和双向弯曲转动后仍然保持为平面；

2) 截面面内位移满足刚性周边假定，即忽略畸变和横向弯曲的影响；

3) 截面闭口周边约束扭转翘曲函数采用以剪心为极点的广义主扇性坐标，翘曲参数取为待定函数η(x)；

4) 截面开口部分约束扭转翘曲函数采用以剪心为极点的主扇性坐标，翘曲参数取为扭转角φ的变化率dφ/dx。

首先建立描述截面空间位移的笛卡儿坐标系Oxyz(如图1 所示)，它以截面形心O为坐标原点。由于箱梁截面一般关于Oy轴左右对称，则Oy和Oz为截面惯性主轴。取S点(αy, 0)为截面剪心。由假定2 可知，截面上任意点P(y,z)的面内位移(vp,wp)可用S点沿y和z方向的位移分量(vs,ws)以及截面绕S点刚性转角φ来表示，故有：

图1 开闭口混合截面布置Fig. 1 Cross sectional layout for open-closed profile

假设P点沿截面中线切线方向(称为s轴)位移为vsp，并令s轴对z轴的倾角为α(以自z轴按右手法则转到s轴为正)，则有：

图2 开闭口混合截面主扇性坐标Fig. 2 Principal sectorial coordinates for open-closed profile

当开闭口混合截面发生约束扭转时，由假定3 可知，闭口周边任意点翘曲位移为：

不难发现，由式(14)和式(16)表示的开闭口混合截面翘曲场是连续的。

2 约束扭转翘曲参数

由式(14)和式(16)可知，开闭口混合截面任意点翘曲应力的表达式为：

对于闭口部分：

式(19)和式(20)中，只有翘曲参数η 缺乏明确物理概念。为了建立η 与φ的关系，考虑杆件截面受力平衡关系如下：

式中，A表示全截面积。将式(19)和式(20)代入式(21)，并考虑图2 所示的主扇性坐标分布，可知式(21)前两项积分恒为零。由第3 项积分可得：

由于约束扭转条件下，截面闭口部分剪应力包含沿壁厚线性分布的圣维南剪应力τs、沿壁厚均匀分布的Bredt 剪应力τB及沿壁厚均匀分布的翘曲剪应力τω。τs相比τB对截面扭矩的贡献很小，忽略τs对截面内外扭矩平衡的影响。沿壁厚均匀分布的τB及τω可根据剪应变及材料弹性本构关系得到，故有：

3 开闭口混合截面杆件一维有限元

由前两节讨论可知，式(1)、式(14)和式(16)所描述的开闭口混合截面任意点空间位移依赖于截面平均翘曲位移、剪心线位移(vs,ws)和绕剪心扭转角φ。考虑如图3 所示开闭口混合薄壁截面杆件单元ij，假定杆件截面平均轴向位移沿杆件长度方向线性变化，杆件剪心轴线挠曲及扭转角沿杆长方向按Hermitian 三次多项式变化。因此，杆件任意截面独立位移参数u与节点自由度d关系如下：

图3 开闭口混合薄壁截面杆件单元Fig.3 Thin-walled element with open-closed cross section

4 数值算例

为了验证本文提出的开闭口混合薄壁截面杆件约束扭转分析方法和一维有限元刚度矩阵正确性，本节通过典型算例分析，并与ANSYS Beam-189 单元、Shell-63 单元及文献结果(基于Umanskii第二理论[5,18])进行对比。要确保Shell-63 单元结果为准确解，通过施加刚性扭转荷载及沿箱梁纵向增设横隔板，排除箱梁截面畸变、横向弯曲对应力分布的影响。

4.1 偏心轴向线荷载作用下悬臂箱梁约束扭转分析

表1 悬臂箱梁约束扭转位移和正应力Table 1 Displacements and normal stresses for warping torsion of a cantilever box girder

4.2 均布扭矩作用下简支箱梁约束扭转分析

文献[8]分析了均布扭矩(mT=23.5 kN·m/m)作用下30 m 简支箱梁的约束扭转问题。箱梁基本几何、材料参数及截面主扇性坐标见文献[5]。截面形心和剪心位置参数为yo=0.955 m，αy=−0.296 m。与抗扭特性相关的截面常数包括：Iω=2.37 m6，Ipc=9.85 m4，Iωc=1.56 m6，Iωω=−0.18 m6，J=8.07 m4，JB=8.05 m4。本文方法采用2 个薄壁梁单元离散箱梁，分别采用60 个Beam-189 单元和11340 个Shell-63 单元建立简支箱梁有限元模型。通过施加刚性扭转荷载并沿梁长均匀布置11 道横隔板(t=0.25 m)，最大限度地减小箱梁截面畸变对约束扭转正应力和剪应力的影响。本文方法、Beam-189 单元模型、Shell-63 单元模型及文献[8]的结果列于表2。Beam-189 单元模型因忽略闭口周边剪切变形，导致扭转角、约束扭转正应力及翘曲剪应力偏小，而增大截面开口部分剪应力。本文方法和Shell-63 单元模型与文献[8]的正应力结果较接近，但剪应力差异较大。例如，Umanskii 第二理论计算出位于箱梁闭口周边⑦号点剪应力的相对误差为4%，而开口部分⑧号点剪应力的相对误差则达到70%。原因是悬臂板产生的附加剪流引起悬臂板自由端出现剪应力(由Umanskii 第二理论算得⑥号点剪应力为−3.87 kPa)，这显然与物理事实不符，势必改变悬臂板剪应力分布。同时悬臂板根部剪力流变化将改变闭口周边剪力流分布。

表2 均布扭矩作用下简支箱梁约束扭转位移和应力Table 2 Displacements and stresses for warping torsion of a simply-supported box girder under the action of uniformly distributed torques

4.3 横向集中偏载作用下简支箱梁约束扭转分析

表3 跨中集中偏载作用下简支箱梁正应力和扭转角Table 3 Normal stresses and angle of twist of a simplysupported box girder subjected to an eccentric transverse load applied at mid-span

5 参数分析

第4 节所给数值算例仅考虑特定截面下不同计算模型/方法的分析精度，本节将揭示箱梁悬臂板宽及梁高变化对采用不同计算模型/方法得到的箱梁开、闭口截面应力影响规律。以算例4.2 的简支箱梁为研究对象，假定箱梁仍然承受均布扭矩(mT=23.5 kN·m/m)的作用。

首先考虑箱梁悬臂板宽变化对应力的影响。当箱梁顶板宽度保持不变时，为改善箱梁顶板及悬臂板横向受力，悬臂板与顶板宽度之比通常不超过0.5。因此，假定箱梁悬臂板宽从0 m 变化到3.5 m。图4 给出简支箱梁跨中截面④、⑤和⑥点(如图1 所示)正应力随悬臂板宽的变化规律。

图5 给出简支箱梁端部截面(x=30)顶板正中⑦号点和悬臂板中部⑧号点剪应力随悬臂板宽的变化曲线。

从图4 可知，无论箱梁悬臂板宽度如何变化，本文一维梁元和Umanskii 第二理论都能准确计算跨中截面翘曲正应力，得到和Shell-63 单元模型一致的结果，这是因为它们均能适用于描述箱梁板件翘曲变形。然而，当箱梁悬臂板宽较小时，Beam-189 单元模型无法描述箱梁闭口周边对板件翘曲的约束效应，如图4(a)和图4(b)所示，闭口周边④和⑤号点正应力的计算误差较大。随着悬臂板宽度增大，截面闭口周边约束效应逐渐减小，Beam-189 单元结果趋向于准确解(当悬臂板宽b2=3.5 m 时，与Shell-63 单元结果完全重合)。此外，Beam-189 单元模型能较好地模拟悬臂板翘曲，如图4(c)所示，悬臂板自由端⑥号点正应力结果具有较高精度，说明闭口约束效应对开口部分翘曲的影响可以忽略，这也进一步证明本文针对箱梁截面开、闭口部分采取不同翘曲参数是可行的。

图4 简支箱梁跨中截面翘曲正应力随悬臂板宽度变化曲线Fig. 4 Correlations between the warping normal stresses at mid-span and the width of the cantilever slab of a simply- supported box girder

Umanskii 第二理论既能运用平衡关系(简称为U-I 类方法)，也可由剪应变及弹性本构关系(简称为U-II 类方法)计算剪应力。如图5(a)所示采用U-I 类方法计算箱梁顶板⑦号点剪应力是依据文献[5, 8, 18]给出的公式。从图5(a)中可以看出，U-I 类方法由于忽略箱梁悬臂板翘曲而产生的闭口周边附加剪流，将影响闭口周边翘曲剪流精度，导致⑦号点剪应力随着悬臂板宽的增加偏离准确解。U-II 类方法的精度有所改善，原因是并未考虑悬臂板剪流对闭口剪流分布的影响，其实质是计算箱梁板件平均剪应力。一维梁元及Beam-189 单元模型计算⑦号点剪应力则考虑闭口周边受力平衡和开、闭口公共节点(⑤号点)剪流连续性条件。Beam-189 单元模型因忽略闭口约束效应产生的附加剪流，算得的剪应力均减小30%。一维梁元与Shell-63 单元模型结果吻合良好。此外，闭口周边⑦号点剪应力对箱梁悬臂板宽度变化不敏感，这是因为决定截面抗扭刚度的闭口周边扭转与翘曲特征未发生变化。

图5 简支箱梁端截面(x=30)剪应力随悬臂板宽度变化曲线Fig. 5 Correlations between the shear stresses at the right end and the width of the cantilever slab of a simply-supported box girder

由于本文提出的一维梁元及Beam-189 单元模型均基于悬臂板中面剪应变为零的假定计算翘曲变形，故悬臂板约束扭转剪应力只能通过平衡关系而求得。如图5(b)所示，一维梁元与Shell-63单元模型结果基本吻合，U-II 类方法由于受悬臂板附加剪流影响(算得的悬臂板自由端剪应力不为零)，剪应力结果已偏离准确解，只有当悬臂板宽较大时(附加剪流影响减小)，才能靠近准确解。采用U-I 类方法，剪应力精度有了明显提升，但当悬臂板宽增大时，附加剪流引起的附加翘曲导致剪应力结果偏离准确解。Beam-189 单元模型算得的⑧号点剪应力在不同悬臂板宽条件下均大于Shell-63 单元模型结果，这是因为其忽略闭口周边附加剪切变形，降低截面自由扭转力矩，从而增大约束扭转力矩，导致约束扭转剪应力结果偏大。

接下来考虑箱梁高度变化对应力的影响。假定箱梁悬臂板及顶板宽度与算例4.2 一致。为了避免闭口周边宽高比过大或过小带来畸变效应，影响Shell-63 单元模型约束扭转分析精度‚在板壳元模型内部等间距设置横隔板。图6 给出箱梁跨中截面典型节点(④、⑤和⑥点)翘曲正应力随梁高的变化曲线。可以看出各模型/方法计算的截面正应力在不同梁高条件下均吻合良好，说明本文一维梁元和Umanskii 第二理论能准确地描述不同梁高条件下箱梁板件翘曲特征。前文已指出，当箱梁悬臂板较宽(b2>2.4 m)时，闭口周边约束效应已减弱，即便梁高增加后(扭转和抗翘刚度增加)，由于箱梁腹板难以产生弯翘(板件面内刚度增加)，闭口周边约束效应无法显现，Beam-189 单元模型结果充分接近准确解。同时，这也解释了梁高增加后，闭口周边翘曲位移及正应力可以忽略(如图6(a)和图6(b)所示)。

图6 简支箱梁跨中截面翘曲正应力随梁高变化曲线Fig. 6 Correlations between the warping normal stresses at mid-span and the height of a simply-supported box girder

箱梁顶板⑦号点剪应力随梁高变化规律如图7(a)所示。与变化箱梁悬臂板宽度的情形类似，Beam-189 单元模型结果因忽略闭口约束效应产生的附加剪流，算得的剪应力偏小。当梁高增加后，由于闭口周边约束效应减弱，剪应力计算精度明显提高。对于U-I 类方法，当梁高较小时，附加剪流将引起剪应力计算误差。随着梁高增加，因封闭周边抗翘能力显著增强，剪应力结果趋近准确解。U-II 类方法因未考虑悬臂板剪流对闭口周边剪流分布的影响，相比U-I 类方法精度有所改善。

图7 简支箱梁端截面(x=30)剪应力随梁高变化曲线Fig. 7 Correlations between the shear stresses at the right end and the height of a simply-supported box girder

箱梁悬臂板⑧号点剪应力随梁高变化曲线如图7(b)所示。本文一维梁元与Shell-63 单元模型结果在梁高h<2.5 m 时吻合良好。随着梁高增加，因闭口周边翘曲迅速减小，悬臂板受力趋向平面应力状态，一维梁元精度有所降低。U-I 类方法因受悬臂板附加剪流的影响，在梁高较小时偏离准确解，随着梁高增大，附加剪流的影响不断减弱，又趋向准确解。U-II 类方法因无法反映剪应力沿悬臂板宽变化，与准确解存在明显差别。Beam-189 单元模型计算的翘曲剪应力显著偏大，因其忽略闭口周边附加剪切变形，从而增大约束扭转力矩。当梁高增大后，由于闭口周边抗扭和抗翘刚度显著增加，附加剪切变形减小，剪应力与准确解的差距随之减小。

6 结论

本文针对开闭口混合薄壁截面杆件约束扭转分析问题，假定开、闭口截面采用不同翘曲参数。考虑开、闭口部分翘曲连续性条件和截面受力平衡，提出协调翘曲模型。依据势能不变值原理，建立开闭口混合薄壁截面杆件约束扭转分析的一维有限元列式。通过算例分析，论证本文提出的一维梁元具有较高精度。随后开展了不同悬臂板宽和梁高条件下薄壁箱梁截面应力精度分析，对一维梁元、Umanskii 第二理论、Beam-189 单元模型和Shell-63 单元模型性能进行了比较。本文提出的基于协调翘曲场一维梁元具有如下特点：

(1) 与Beam-189 单元模型相比，可以考虑闭口周边对截面翘曲的约束效应，提高箱梁截面正应力与剪应力计算精度。

(2) 与Umanskii 第二理论相比，可以满足开口部分自由端剪应力为零的条件，消除悬臂板和闭口周边“虚拟”附加剪流的影响，提高截面剪应力计算精度。