米勒问题的数学建模及应用

2020-09-10张俊畅

数理化解题研究·高中版 2020年12期

摘要：21世纪的中国迎来了教育大变革的时代，新的课程改革强调数学与实际生活的联系，新课标要求数学建模以不同的形式渗透于必修和选修课程中.数学建模进入高中数学课程已成必然.本文以数学史上的一道数学名题-米勒问题为问题蓝本，探索了数学建模的一般过程及其米勒问题的数学模型在中学学习中的应用.

关键词：数学建模;米勒问题

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2020）34-0014-02

收稿日期：2020-09-05

作者简介：张俊畅（1976.8-），男，广东省梅州人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题.数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式.数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力.

我国《普通高中数学课程标准》中要求数学建模以不同的形式渗透于必修和选修课程中.数学建模进入高中数学课程已成必然，作为一线教师必须改变观念，积极探索数学建模教学实施策略，为学生数学学习营造更为宽广的空间.笔者通过数学史上的一道名题-米勒问题的数学建模与应用作些研究.

一、关于米勒问题

1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在地球上什么部位，视角最大？最大视角问题，是数学史上100个著名的极值问题中第一个极值问题，因而引人注目.因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”.

二、米勒问题的数学问题形式

米勒问题可以转化为这样的几何模型：如图1，线段AB垂直于直线EF，垂足为点O，在直线EF上任选一点C，使得∠ACB的值最大，求此时点C的位置.

三、米勒问题的数学模型及其求解

1.米勒问题的代数解法

解不妨设AB长度为a，OB长度为b，∠ACB=θ，OC距离为x，因为AB⊥EF，所以△AOC和△BOC都是直角三角形.所以tanθ=tan∠ACO-tan∠BCO1+tan∠ACO·tan∠BCO

=a+bx-bx1+a+bx·bx=axx2+a+b·b

=ax+a+b·bx≤a2a+bb.

当x=a+b·bx，即x=a+b·b时，取等号.

2.米勒问题的几何解法（Ad.Lorsch解法）

在水平直线上选择点C，使得△ABC外接圆与水平直线刚好相切于点C，则切点就是视角最大的点.

理由如下：如图2，在OF上任取一异于点C的点C′，连接AC′，BC′，设BC′与圆的交点为D，因为∠ADB=∠ACB（同弧所对的圆周角相等），又∠ADB是△ADC′的外角，所以∠ADB>∠AC′B，所以∠ACB>∠AC′B，因此切点C就是∠ACB取得最大值时的点.由切割线定理可知：OC2=OB·OA，所以x2=a+b·b，即x=a+b·b.

3.米勒问题的推广

如图3，已知点A，B是锐角∠MON的边OA上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当点C在何处时，∠ACB最大？利用Ad.Lorsch的几何解法，我们不难发现：当△ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大（这里证明省略）.

4.结论提炼

通过上面的数学建模的论证，我们可以得出如下重要结论（我们这里称为米勒定理）：

米勒定理已知点A，B是锐角∠MON的边ON上的两个定点，

点C是边OM上的动点，则当且仅当△ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大.

四、米勒问题的应用

例1 要测量电视塔AE的高度H（单位：m），如图4，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠

ABE=α，∠ADE=β，若该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d，使α，β之差较大，可以提高测量精度.若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α-β最大？

解设BD=x，由米勒定理知，当且仅当AE2=AB·AD，即dx+d=1252①时，∠DEB=α-β最大.又由△DBC～△DAE得xx+d=4125②.①×②得xd=125×4.将其代入①得d2=1252-125×4=125×121，所以d=555m，故当d为555m时，α-β最大.

点评本题是以实际应用和平面几何为背景考查最大角问题，此解法以米勒定理和相似三角形等知识为突破口，结合方程思想求解，综合性强，能力立意高，有一定难度.

例2 已知椭圆x216+y24=1的左右焦点是E，F，点P在直线x-3y+8+23=0上，当∠EPF最大时，求PE∶PF.