晾衣架模型的解题策略

摘 要：在两个竖直的柱子之间挂一根绳子，用光滑的衣架钩挂在绳子上，再把需要晾晒的衣服挂在衣架构上，然后就可以在衣架上晾晒衣服了，这种模型我们称为“晾衣架模型”. 这种模型的结论是：绳子的拉力大小与两悬挂点的水平距离有关.两悬挂点的水平距离不变，绳子的拉力就不变;两悬挂点的水平距离变大，绳子的拉力就变大;两悬挂点的水平距离变小，绳子的拉力就变小.

关键词：晾衣架模型;同一根绳子;活结;两悬挂点水平距离;共点力平衡状态

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2020）34-0087-02

收稿日期：2020-09-05

作者简介：张岩松（1963.6-），男，山东省泰安市岱岳区人，本科，中学高级教师，从事高中物理教学研究.

在两个竖直的柱子之间挂一根绳子，用光滑的衣架鉤挂在绳子上，再把需要晾晒的衣服挂在衣架构上，然后就可以在衣架上晾晒衣服了，这种模型我们称为“晾衣架模型”.如图1所示.

结论推导：

因为衣架钩光滑，而且衣架钩两侧是同一根绳子，所以两侧绳子拉力大小相等，这种连接方式我们称为“活结”.两侧绳子的拉力关于竖直方向对称，设两边的绳子与竖直方向的夹角均为α.并设两个悬挂点的水平距离为S（即两根竖直木桩的水平距离是S），绳子的总长度为L，左侧绳长为L1，右侧绳长为L2.如图2所示：图2

则由几何知识，得：S=L1sinα+L2sinα=（L1+L2）sinα=Lsinα，∴sinα=SL.

设绳子的拉力大小为T，重物的重力为G，以衣架钩为研究对象，因为物体处于静止状态，根据共点力的平衡条件，合外力为零，所以：

2Tcosα=G，∴T=G2cosα.

因此可以得出以下两个结论：

①sinα=SL  ;②T=G2cosα.

即在绳子的长度一定的情况下，两悬挂点的水平距离不变，绳子的拉力不变;两悬挂点的水平距离变大，绳子的拉力就变大;两悬挂点的水平距离变小，绳子的拉力就变小.

例题 （2017年天津高考第8题）如图3所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态.如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是（   ）.

A. 绳的右端上移到b′，绳子拉力不变

B. 将杆N向右移一些，绳子拉力变大

C. 绳的两端高度差越小，绳子拉力越小

D. 若换挂质量更大的衣服，则衣服架悬挂点右移.

解析 本题属于“活结”连接，而且“衣架静止”，处于平衡状态.所以上面两个结论成立.

解答：对于A、C：设绳子的张力为T，两边的绳子与竖直方向的夹角均为α.并设两个悬挂点的水平距离为S（即两根竖直木桩的水平距离是S），绳子的总长度为L.根据上面推导出来的结论：sinα=SL;T=G2cosα.可知：A正确，C错误.

对于B：将杆N向右移一些，则S增大，L不变，∴α增大，cosα减小，T增大，故B正确.

对于D：绳长和两杆距离不变的情况下，θ不变，所以挂的衣服质量变化，不会影响悬挂点的移动，D错误.

综上所述，应选AB.

变式：若将衣架钩换成滑轮.

将衣架钩换成滑轮时，仍然是同一根绳子，这种连接方式仍然是“活结”，绳子的张力大小仍然处处相等，因此仍然满足上面的两个结论： ①sinα=SL  ;②T=G2cosα.

练1 如图4所示，A和B是两根竖直立在地上的木桩，轻绳系在两木桩上不等高的P和Q两点，C为光滑的、质量不计的滑轮，下面悬挂着重物G，现保持结点P的位置不变，当Q点的位置变化时，轻绳的张力大小变化情况是（   ）.

A.Q点上下移动时，张力不变

B.Q点向上移动时，张力变大

C.Q点向下移动时，张力变小

D.条件不足，无法判断

解析 因为是通过“活结”连接，且处于动态平衡状态，所以上面的两个结论成立.

解答：又因为两悬挂点水平距离不变，

绳子的拉力不变，故：应选A.练2 如图5所示，为建筑工地一个小型起重机的起吊重物的示意图.一根轻绳跨过光滑的动滑轮，轻绳的一端系在位图5

置A处，动滑轮的下端挂上重物，轻绳的另一端挂在起重机的吊钩C处.起吊重物前，重物处于静止状态.起吊重物过程是这样的：先让吊钩从位置C竖直向上缓慢的移动到位置B，然后再让吊钩从位置B水平向右缓慢地移动到D，最后把重物卸载某一个位置.则关于轻绳上的拉力大小变化情况，下列说法正确的是（  ）.

A.吊钩从C向B移动的过程中，轻绳上的拉力不变

B.吊钩从B向D移动过程中，轻绳上的拉力变小

C.吊钩从C向B移动过程中，轻绳上的拉力变大

D.吊钩从B向D移动过程中，轻绳上的拉力不变

解析 本题属于“活结”连接，而且“缓慢地移动”，滑轮始终处于平衡状态，所以上面两个结论成立.

解答 如图6所示，由C到B的过程，因为水平距离不变，根据结论①sinα=SL 可知，绳子与竖直方向的夹角不变，再根据结论②T=G2cosα，可知轻绳上的拉力不变.因此A对，C错.

由B到D的过程，水平距离变大，根据结论①sinα=SL 可知，绳子与竖直方向的夹角α变大，再根据结论②T=G2cosα 可知轻绳上的拉力变大.因此B、D都是错的.

综上所述，应选AC.

图1练3 在上海世博会最佳实践区，江苏城市案例馆中穹形门窗充满了浓郁的地域风情和人文特色，如图7所示，在竖直放置的穹形光滑支架上，一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑滑轮悬挂一重物G，现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从B点沿支架缓慢地向C点靠近（C点与A点等高）.则绳中拉力大小变化的情况是（  ）.

A.先变小后变大  B.先变小后不变

C.先变大后不变D.先变大后变小

解析 本题属于“活结”连接，而且是“缓慢”移动，滑轮始终处于平衡状态，因此上面两个结论成立.

解答 当轻绳的右端从B点移到直杆最上端时，因为绳子的两悬挂点之间的水平距离S增大，根据结论①sinα=SL 可知，α增大，再根据结论②T=G2cosα 可知，绳子的拉力T 变大.当轻绳的右端从直杆最上端移到C点时，绳子的两悬挂点之间的水平距离不变，根据结论①sinα=SL 可知，α不变，再根据结论②T=G2cosα可知，绳子的拉力T不变.所以绳中拉力大小变化的情况是先变大后不变.

故应选C.

由上面的例题和练习题可以得出两个结论：

①sinα=SL;

②T=G2cosα.

要特别注意，这两个结论是在两个前提条件下推导出来的，第一个条件必须是“活结”，即必须保证是同一根绳子.如果有东西固定在绳子上，比如夹子夹住绳子，再比如在繩子打了个结，或者是两根绳子系在衣架上，那么就不再是同一根绳子了，这种连接方式我们称为“死结”.对于“死结”这种连接方式，两边的张力不一定相等，那么两边绳子与竖直方向的夹角也不一定相等了，这两个结论就不一定成立了.第二个条件是所挂物体必须处于平衡状态，即处于静止状态，或者处于缓慢移动状态，否则合外力就不为零了，两个结论也不成立了.因此，在使用这两个结论时，一定要看清楚两个条件是否满足.

上面这四道题，看上去形式上是不同的，但是解题思路是相同的，是具有相同特点的物理模型——“晾衣架模型”，这就是建模的过程.在物理解题过程中，为了形象、简捷的处理物理问题，人们经常把复杂的实际情况转化成一定的容易接受的简单的物理情境，从而形成一定的经验性的规律，即建立物理模型，简称建模.我们要善于建模，这样做往往能够起到举一反三的作用，达到事半功倍的效果.建模是一种能力，需要长期的积累，经过抽丝剥茧，抓住问题的实质，才能构建出物理模型，总结出解题的一般规律和方法.当再遇到类似的题目时，就可以把原来的思路迁移过来，顺着原来的思路去求解，这样做能够节省时间，提高成功率.当然，同一种模型，必然有相同的条件，要看清条件符合才能利用，千万不能满目的套用.像“晾衣架模型”，必须是同一根绳子，属于“活结”连接，而不是“死结”连接.再者，所悬挂的物体必须处于平衡状态，否则就不能用.

[责任编辑：李 璟]