高中数学解题中线性规划的有效应用

摘 要：线性规划是实现数与形沟通的重要方式，蕴藏着数形结合、化归以及转化等数学思想，在数学解题中有着重要的作用，提供新的解题思路和视角.线性规划是高三数学不等式内容的重要知识点，是学生必须掌握的知识点内容，也是学生解题中常见的辅助方式，在学生之后的学习和解题中有着重要作用.在高中数学解题中，借助线性规划解决最值问题、不等式问题以及函数问题等.文章中分析线性规划在高中数学解题中的应用策略.

关键词：高中数学解题;线性规划;应用策略

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2020）34-0032-02

收稿日期：2020-09-05

作者简介：徐芹（1984.7-），女，安徽省淮北人，研究生，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

高中数学解题中，线性规划的应用和解题是考试的热点和难点，线性规划是一种有效的解题辅助工具，在很多数学问题中广泛使用，优化解题过程，提高学生解题效果和质量.作为高中数学教师，需要引导学生利用线性规划解题，培养学生良好的解题意识，发挥线性规划的优势，明确数学问题解题思路，简化数学解题计算，有效解答数学问题.结合具体的数学解题，引导学生掌握线性规划应用技巧，不断地归纳和总结，更好地利用线性规划解决问题，提高学生解题能力.

一、线性规划思想迁移，解决函数最值问题

高中数学教学中，函数知识是重要的内容，函数最值求解是函数解题的重点和难点，也是高考数学中常考的内容.在函数最值解题中，解题的方式有很多，应当根据题目特点，灵活选择解题方式，保证解题效率.利用线性规划解决函数最值问题，是一种有效的解题方式，特别是特殊的二元函数最值解题，降低问题解答难度，保证学生快速解决函数问题.

例1 当a2+b2-4a+6b+11=0时，求a+b+4的最值.

分析 在解题时，需要对题目进行分析，结合已知条件进行转化，之后根据线性规划知识，绘制相应的图形，完成函数最值的解答.根据已知条件得出（a-2）2+（b+3）2=2，如图1所示，是以（2，-3）作为圆心的圆，其半径是2.假设k=a+b+4转化得出b=-a+k-4，表现在坐标系中是和b=-a相平行的一簇平行直线，其在b轴的截距是k-4.当圆和直线相切时，截距存在最值.通過这样进行计算，得出|2-3+4-k|2=2，求解得出k的值为1或者5，因此，得出a+b+4的最小值是1，最大值是5.

高中数学函数最值求解时，根据题目条件进行分析，借助数形转化思想，灵活利用线性规划方式，明确问题解题思路，保证题目有效解答.

二、有效利用线性规划，解决数列问题

高中数学教学中，数列是重要的知识内容，其数学概念和公式比较多，数列问题解题难度比较大，也是高考数学考查的重要内容.数列范围问题是数列问题中的典型问题，题目综合性比较强，通常情况下常将数列范围问题转化成函数问题解题，但是，一些数列范围问题不适合构造函数，影响学生解题.因此，教师可以引导学生将数列问题转化成不等式问题，通过变形将原问题转化成线性规划问题，完成数学难题解答.

例2 已知数列{an}为等差数列，Sn为数列的前n项和，S4≥10，S5≤15，求a4的最大值.

分析 在解题的过程中，需要对题目中的已知条件进行分析，根据已知列出相应的不等式组，2a1+3d≥5，a1+2≤3，a4=a1+3d.通过这样的分析，实现问题的转化：已知实数x、y满足2x+3y≥5，x+2y≤3，求解z=x+3y的最大值.通过这样的转化之后，引入线性规划方法，画出相应的直角坐标系，标记出不等式表示的区域和z的直线，找出距离最大的点，则是其最大值.通过这样的思考和解题，主要利用等差数列的基本量，利用首项和公差进行思考，将等差数列性质和线性规划思想结合，完成数学问题解题，提高学生解题能力.

三、利用线性规划，解决不等式问题

不等式是高中数学的重要内容，题目综合性强，和方程、函数、概率等知识有着非常大的联系.在部分不等式问题求解中，解题难度大，解题过程复杂，影响学生解题效率.在这样的情况下，引导学生尝试线性规划解题，利用数形结合思想，将相关数量关系和信息直观展示出来，使得解题更加简便快捷，保证解题准确性和解题效率.

例3 已知x、y为实数，并且满足x2+y2≤1，求证：4-2≤|x+y|+|y+1|+|2y-x-3|≤6.

分析 根据已知条件x2+y2≤1，可以得出-1≤y≤1，-1≤x≤1.令t=|x+y|+|y+1|+|2y-x-3|=|x+y|+x-y+4.如果x+y≤0，t=4-2y，如图2中所示，可行域则是x+y=0的左下方的部分，因为y的取值范围是[-1，22]，得出t=4-2y的取值范围是[4-2，6].如果x+y≥0，那么t=2x+4，那么其可行域则是直线x+y=0的右上方部分，通过相应的计算，可以得出直线和圆的交点分别是（-22，22），（22，-22），此时x的取值范围是[22，1]，得出t=2x+4的取值范围是[4-2，6]，完成题目问题的验证.

在解题的过程中，将不等式的转换和获得可行域是解题的关键，根据题目已知进行分析，通过相应的换元获得可行域，将其转化成线性规划问题.此题要求学生具有比较强的思维能力，题目有着一定的深度，实现学生的全面考查.

四、利用线性规划，解决向量问题

向量具有代数形式和几何形式的双重特点，将数与形融为一体.在向量问题解答中，从数的角度来说，其思路将几何问题转变成坐标和符号，结合坐标进行适当的变形处理，完成解答，也可以将其转化成线性规划问题，对题目进行思考和解答，保证学生解题效率和准确性，提高学生数学解题能力.

例4 在平面直角坐标系xOy中，A、B、C是圆x2+y2=1上不同的三个点，如果存在实数λ、μ满足OC=λOA+μOB，求λ2+（μ-3）2的取值范围.

分析 在向量问题解题时，需要借助坐标系，完成线性规划问题的转换.设OA和OB的夹角是θ，并且θ∈（0，π），将OC=λOA+μOB两边同时平方，可以得出1=λ2+μ2+2λμcosθ，根据λ、μ为实数，可以得出1<λ2+μ2+2λμ且1>λ2+μ2-2λμ，以此在建立相应的平面直角坐标系，画出相应的约束条件，如图3所示.约束条件如下：

λ+μ>1，-1<λ-μ<1，λ>0，μ>0，得到相应的可行域，根据λ2+（μ-3）2的几何意义，结合图形找出最小值是定点C到直线λ-μ=1的距离，求解其取值范围是（2，+∞）.

高中数学解题中，线性规划应用比较广发，通过线性规划求解函数最值问题，解决平面几何的相关数学问题.应用线性规划解决数学问题，可以减少运算量，将抽象内容转变成直观图形，化繁为简，实现数学问题快速准确解答.作为高中数学教师，在解题中引导学生树立数形思想，有效利用线性规划，掌握有效的解题方式，巧妙解决数学难题，树立学生学习自信心，提高学生解题能力.

  参考文献：

[1]接彦.线性规划在高中数学解题中的应用[J].语数外学习（高中版上旬），2019（11）：37.

[2]范粤.线性规划思想在高中数学解题中的应用[J].数理化学习（教育理论），2017（02）：4-5.

[责任编辑：李 璟]