重视多维导引，突破学习障碍

宋东娟

摘 要：2018年12月29日梁丰高中三个数学名师工作室开展了工作室成立以后的第一次活动--同课异构《两角和与差的余弦》，笔者作为顾云良名师工作室成员代表开设了这一课，这节内容是教材必修4的第三章《三角恒等变换》第一节，作为三角函数线，诱导公式的延伸内容，它是高考的重点考点，历年高考必考内容，为后继内容---二倍角公式、和差化积、积化和差等的内容的学习奠定了基础！

关键词：学习障碍;思维导引;潜能;价值

在准备这节课之前，我们名师工作室全体成员一起对这一节课进行了深入探讨，探讨主要围绕着（1）学生在“两角和差的三角公式”这一主题的学习中有哪些学习障碍？（2）如何教授“两角差的余弦公式”这节课的？如何突破以上提到的学习障碍？这两个问题展开。经过一番查阅资料，决定从多维角度思维导引，来突破其中的某些障碍！

1.教学设计

1.1复习导引，培养学生思维能力的延续性

1.2 问题导引，培养学生思维能力的聚焦性

问1.你能分别求出45°，30°，405°，15°的正余弦值吗？

设计意图：笔者考虑再三，还是选择了这个直截了当的方式切入，抛出一个与旧知密切相关的新知，激发起学生的求知欲，经过与前两个特殊角的联系对比，学生很自然就联想到15°=45°-30°，于是要求15°的正余弦值是否可以转化为特殊角45°和30°的正余弦值（以研究余弦为例）？激发学生从旧知识迈向新知识的探索过程中！

问2.余弦作为一种运算，它是否和前面我们学习过的乘法分配律a（b-c）=ac-bc一样，满足呢？

设计意图：对于这个新公式，学生显然没有办法直接给出证明，但是对于猜想，检验这两个科学研究的重要手段老师一定要在授课过程中加以灌输，于是鼓励学生大胆类比猜想，有了猜想，学生们自然会想到用特殊值加以检验，只需利用即可得两角差的余弦不满足分配律，既消除了学生对于公式的误解，又可以激发学生对于新公式的渴求予和探索欲！

问3.你能在平面直角坐标系中表示15°=45°-30°这三个角的关系吗？

设计意图：在一开始的教学设计中，并未设置这一问题，但是试上下来的感觉是，虽然有前面复习导引的铺垫，但是学生还沉浸在对于新公式的迷茫中，要立刻联想到向量法来证明还是强人所难，于是增加这一环节，适时点拨，降低难度。

问4.回顾前面所学的任意角的三角函数的定义，利用终边如何求出45°和30°的正余弦值？

设计意图：让学生联想旧知，顺利与终边上的点产生联系，将其特殊化，进一步得到终边与单位圆的交点坐标即为和，于是联系前面的复习导引，学生自然会过度到用向量的办法来解决这一问题，得出结论：

问5由你能推广到对任意的两个角都成立吗？

师：如何利用单位圆和向量的数量积证明？

1.3 文化导引，感受数学史的文化力量！

师：前面我们运用近代的数学元素-向量，助推了任意两角差的余弦公式，在数学发展的历史长河中，差角公式推导、论证的素材也是丰富多彩的，下面让我们一起来欣赏期中的一例！

素材赏析：在古代信息技术知识尚未如此发达的日子里，航海家和天文学家为了不断完善自己领域的相关理论，对三角形进行了充分的挖掘，形成了三角学这一数学领域。其中较为流行的是古希腊数学家托勒密和帕普斯，他们用几何方法从平面几何图形的角度来研究三角运算及几何学。托勒密为了预测行星的位置，要制作一张精确度较高的弦表，在研究的过程中，他发现了伟大的托勒密定理：已知：圆内接四边形ABCD，AC·BD=AB·CD+AD·BC.

源于托勒密定理证明两角差的余弦：

师：由图1可以推导出两角差的余弦，若∠ABC=α，∠CBD=β，则可以得出什么公式？

师：这种证明方式数学家们称其为无字证明，当然无字证明还有其它的方式，比如图2，无字证明采用的是几何法，优点是形象直观，但缺点是具有局限性，只适合于锐角的范围，所以推导差角公式的脚步从没有停止过，直到出现了同时具有代数性质和几何特征的向量这一工具，才完美的论证了差角公式！

2.教学感悟

2.1复习导引，培养学生思维能力的聚焦性

复习导入，顾名思义，就是通过提问、课堂小练习、复述等方式复习前一课，前一章节所学内容，来导入新课。复习是架起新旧知识的桥梁。课堂教学艺术是一个整体，采用复习导入，具有承上启下、温故知新的作用，以达到教学预期效果！

2.2问题导引，培养学生思维能力的延续性

教师要善于创设数学情境，结合设置好的情境设计一些有一定思维价值，能够抓住学生眼球，激起他们浓烈兴趣并愿意主动加入探索研究的问题，有效刺激学生的好奇心和求知欲。设计时要注意过度的自然性，培养学生思维能力延续性。

2.3文化导引，培养学生思维能力的拓展性

本节课设计的文化导引中，笔者从大家耳熟能详的数学家托勒密引入，简单介绍了他的事迹和伟大贡献，他和怕普斯用几何方法从平面几何图形的角度来研究三角运算及几何学。托勒密为了预测行星的位置，要制作一张精确度较高的弦表，在研究的过程中，他发现了伟大的托勒密定理：即圆内接四边形中，对角线的乘积等于它两组对边的乘积之和，此定理的发现，不仅让他完成了弦表的制作，还得到了诸多三角恒等式，其中就包括两角和与差的余弦公式。通过这样的设计，让学生体会古代数学家们追求真理的探究精神，进一步感受数学文化的深厚底蕴，以期达到调动学生的探索精神和创造能力！

参考文献

[1]李玉强.重视教学细节[J].当代教育科学，2007（z2）：123-124.

[2]佚名.如何幫助孩子突破学习障碍[M].2011.