从函数的定义域问题谈数学思维的培养

王琳茹

摘 要：本文主要梳理学生因忽视函数的定义域或定义域概念不清出现的常见问题，从函数概念的内涵和外延角度，深入地分析原因，并从学生数学思维的培养角度提出解决方案，帮助学生走出误区。

关键词：定义域;常见问题;数学思维

在函数的学习及应用中，与定义域有关的问题很多，但由于学生对定义域的忽视或定义域概念不清而造成的错误现象较为普遍.本文主要结合学生在一些典例中出现的常见问题进行归纳总结，指出问题之所在，分析成因并从数学思维的培养角度提出解决办法，帮助学生充分理解函数部分知识，走出解题误区，进一步培养学生的思维能力和必备品质。

一、与定义域有关的常见问题

1.在求函数值域时忽视定义域

关于二次函数求给定范围内的值域问题，往往忽视已知区间，直接利用顶点坐标公式获得值域，导致值域范围较大.或求与实际问题有关的值域问题时，忽略自变量的隐含条件，导致最终结果产生矛盾。

2. 在讨论函数单调性时忽视定义域

基本初等函数的单调性学生都能熟记，给定区间的单调性也能借助于图像去分析，但对于复合函数单调性的讨论存在的问题则较多.教师给学生总结的“同增异减”的规律，学生都能牢记且敢于使用，但在使用的时候“写而不全”的现象很普遍，学生只是去用规则，但忽视了规则成立的大前提条件即都要在定義域的范围内进行。

3.在讨论函数奇偶性时忽视定义域

函数奇偶性是函数的一类非常重要的性质，由于大部分函数图像不易得，因此函数图像判断奇偶性不太方便，于是要求学生还要掌握用定义法来判断函数奇偶性.学生反映最多的问题是直接去比较f（-x）与f（x）的关系，忽视了定义域要关于原点对称的条件。体现了学生对于奇偶性定义的理解不够完整全面，只注重耗费时间长占用篇幅多的操作部分，对于大前提条件往往忽略。

例3 判断函的奇偶性。

错解：由于，，所以函数为奇函数。

在考虑函数奇偶性之前，忽视了函数定义域即{x|x≠1}，该定义域并不关于原点对称，因此根本谈不上关于y轴或关于原点对称，故该函数为非奇非偶函数。

4.在求抽象函数定义域时容易求错

学生普遍不理解定义域为谁的取值范围，将被作用对象和自变量混为一谈，对于括号里的被作用对象应取自同一个集合不甚来理解，使得这类题型成为定义域问题的难点题型。

忽视了定义域的本质为自变量x的取值范围，对于不同函数中的字母x混淆不清，不能透过字母的形式看本质。

5.换元后忽视新元的定义域

在解决抽象函数解析式或讨论复杂函数的值域或单调性问题时，往往要进行换元处理，将原函数形式转换为基本初等函数的形式，这时新的变元产生，同时其自身范围也要发生变化，故要重新确定定义域，否则会影响结果的分析。

忽略了已知条件[2，4]或搞不清该区间为哪个变量的范围，在换元后，未求出所换新元t的范围，造成替换后的二次函数在定义域为实数集的情况下求出错误最值。

二、培养学生的数学思维以减少失误

1. 注重思维的灵活性

学生在初中时形成的无限制条件下的处理问题的思维根深蒂固，还未形成有限制条件问题的处理方式，思维方式较为单一，思维的灵活性还不够.鉴于此，笔者认为在学生刚入校时积极开展初高中知识的衔接是非常有必要的，将给定区间的值域问题加进去，让学生慢慢意识到，问题的处理不再是绝对理想化的条件，要具体问题具体分析，而不是盲目处理，慢慢转变学生的思维方式.教师在讲授这类题目时，要帮助学生树立数形结合的思想，培养学生看图说话的能力，逐步打开学生地思维方式，培养学生灵活处理问题地能力。

2. 锻炼思维的深刻性

定义域是函数的三要素之一，忽视定义域的根本原因是对函数概念的理解缺乏深层次的认识，仅仅停留在重视“变化说”，轻视“集合对应说”的层面，对于题型只会进行简单地复制，对函数的学习思路和解题方法的实质缺乏系统的认知.为避免学生出现这种现象，教师要深研函数概念教学，注重概念的生成过程.为此，教师要强调高中函数定义与初中函数定义的区别与联系，对函数三要素不仅要给予解释，更要让学生明白具备什么条件的表达式才能称之为函数，并进一步强调定义域、对应关系、值域三要素不可或缺，由于值域可由定义域和对应关系推得，故碰到一个函数首先必须求函数的定义域，只有定义域清楚了，这个函数有意义的条件就清楚了.让学生树立定义域优先考虑地意识。

3. 开展思维的批判性

不管是忽视定义域或是忽略新元自身隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，善于质疑，养成良好的检验习惯，就可以避免错误结果的产生.换句话说，学生要能在解好题目后，注意检验自己的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，更能体现出良好的思维批判性。

4.培养思维的严谨性

教会学生对函数问题要养成仔细审题的习惯，查看是否与定义域有关.同一道题会因定义域的取值范围不同而造成不同的结果，因此要善于观察定义域，让问题的解决全方位且周密地进行，不因忽略个别条件而出错，充分体现思维地严密性和细致性.有时函数的定义域中还含有参数，教师要帮助学生树立分类讨论的思想，将设计的多种情况都要分别讨论，为方便检验可引导学生适时地采用数形结合的思想，帮助学生理清思路，让解题的每个步骤都有理有据，充分体会数学解题思路的严谨性。

参考文献：

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