探析建模思想在圆锥曲线学习中的应用

叶建勇

摘 要：随着素质教育普及，越来越重视知识在生活中的应用。数学建模思想即把生活现象转化为数学问题来解决，让生产和生活实践相结合。其中在高中阶段圆锥曲线部分建模思想应用广泛，本文就数学建模思想在圆锥曲线学习中的应用展开论述，提出相关建议。

关键词：建模思想;圆锥曲线;学习应用

引言

数学方法有很多，比如转化思想、数形结合思想、割补思想等，但是在圆锥曲线这部分属于立体几何，利用其他数学思想解决起来较为困难，而空间对于学生来说比较难以理解，抽象性强。因此，借助建立数学模型的方法增强图形的直观性。

一、基于建模思想，准备并假设模型

数学题目由数字以及其他数学符号组成，是抽象的。数学建模是连接数学与生活的桥梁，而建立数学模型是第一步，只有建立了模型才能够继续分析。模型建立的正确性决定着整个问题的对错，要谨慎建立数学模型。

在高中阶段学习的圆锥曲线有三类：椭圆、双曲线、抛物线，形状不同，自然建立模型也有所差异。首先，建立步骤，需要根据题目给出的数学信息，寻找数量关系。比如：人民教育出版社高中数学第一册《椭圆》在学习椭圆的标准方程时，以一个探究题引入新授知识，“取一定长度的细绳，把它的两端固定在木板上的同一点，进行转动会得到一个圆。如果把这段绳子两端都固定住，在绳子上面挂上铅笔进行转动会得到什么样的轨迹呢？”根据信息能够得到绳子的距离，以及两个点是定点。其次，要对已知信息假设。为了便于解决进行下一步的计算，需要对模型进行假设。把两个定点设为F1和F2，笔尖作为动点设为M。如果不进行假设，在接下来的表述以及模型的计算过程中都会造成困扰。再比如第三章第二节《双曲线》他的探究是借助信息技术来探究的，“在一条直线上取两个定点还有一个动点，然后在一个平面上取两个定点，以其中的一个点为圆心，直线上的动点与另一个点为半径，然后互换画圆。求证动点满足什么条件？轨迹的形状是怎样的？”这一段话很长，无非包含了直线和平面上分别有两个定点和一个共同的动点，只看这一段文字描述是很烧脑的，可见对其假设的必要性。假设两个直线上的两个定点为A、B，动点为P;平面上的两个定点为F1、F2。这样假设能够为后来建模的计算提供便利。

二、基于建模思想，计算和分析模型

计算和分析是数学建模的过程中的关键点，是继数学模型建立假设之后。在计算模型方面，主要是以估算为主，模型分析就是将得出的答案从数学的角度进行分析。正确的计算和分析模型是模型推广应用的前提。

电影院是现代普遍的娱乐场所，在人教版数学第一册椭圆部分有关于电影放映灯的题目“题目中已知电影放映灯的反射镜面是一个旋转的椭圆;BAC是某截口;灯丝在F1处;片门在F2上;光线由F1发出，不断旋转集中到F2上，且BC垂直于F1F2，F1B为2.8厘米，F1F2的距离为4.5厘米，求椭圆方程。”首先画出数学建模图，这个题目是以平面的形式展示。直接假设所求的方程为标准方程是，已知椭圆的端点与焦点形成的内接角是90度，从而算出F2B的值，再根据椭圆的性质，求出a约等于4.1厘米，b约等于3.4厘米。把这些数值代入假设的椭圆方程当中，即可解决题目。对于这类题只需要计算求解，他只是单纯的考察计算和分析。分析就是根据得出的答案，联系生活经验，说明答案的数学含义。

三、基于建模思想，检验和应用模型

当模型建立以及计算出答案以后，并不能完全說明模型具有可应用性。这里的得出也不是经过一次计算就可得出的，需要经过多次检验，来验证答案的科学性。检验和应用是数学建模的最后一个步骤。

比如在第一阶段的人民教育出版社数学第一册通过“细绳与木板，还有一支铅笔”来推倒出了椭圆的公式。观察到出是a方减b方>c方，可以用具体的数字来代替字母，然后用具体的数值重新推导，如果得出的公式与字母得到的一样，则说明这个椭圆的标准式是正确的。经过多次检验答案一致可以进行推广，反之则不行。再比如在《抛物线》这一章节，“通过卫星接收天线，卫星会发出波束，然后射出。接收的口径是4.8米，深度是1米推出抛物线的标准方程和焦点坐标为Y的平方=5.76X，焦点坐标为（1.44，0）这些是具体的数字，但是在实际应用时条件会随时更换，公式要具有普遍性的特点，把数字用字母公式解释，最后得出用字母表示为Y的平方=2px（p>0）再找到其他的应用题，反复把不同的数字带入标准式”，其次，还要检验这个公式与其他科学定理有没有相违背的地方，如果相违背需要再重复检验，直到得出正确检验结果为止。在应用方面，抛物线可以应用于生活中计算卫星接收或者其它事物的路径轨迹，推广到生活中的各个方面。

结语

数学建模思想与生活密切联系，尤其在圆锥曲线方面应用广泛。本文通过准备与假设、计算与分析、检验和应用几大方面，逐步描述建模思想的使用，以促进学生学习建模思想。

参考文献：

[1]尹明锐.基于核心素养的教学——以高三复习“圆锥曲线”为例[J].神州，2019（28）：224-224.

[2]刘波，陆万顺.圆锥曲线问题求解中的数学思想探究[J].数学学习与研究：教研版，2020（14）：150-153.

[3]许雪红.建模思想在相关数学问题中的应用[J].上海中学数学，2018（1）：41-41.

[4]罗起富.建模思想在圆锥曲线学习中的应用[J].数理化学习（高中版），2019（8）：5-7.