核心素养导向压轴题的多视角透视挖掘

李积玲

摘 要：本文通过对一道中考数学压轴题的一题多解，多角度探讨如何培养学生的数学核心素养。

关键词：中考数学;数学素养;一题多解;圆锥曲线;面积;最值

数学是非常重要的一门学科。在培养一个人的逻辑思维、问题解决能力等方面，数学拥有其他学科不具备的优势。培养数学核心素养，应从中小学抓起。在中学数学的教学阶段，中考试题的核心素养导向就显得格外重要。我们知道，数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等方面。下面，我们以2019年东营市中考数学压轴题25（2）题为例，通过对该题目的多视角解析，透视挖掘数学核心素养。

原题呈现：25.（本小题12分）已知抛物线经过点，与y轴交于点C.

（1）求这条抛物线的解析式;

（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标。

原题（1）解析：将点A，B的坐标代入抛物线解析式，可求出a，b的值，即得抛物线解析式：.

原题（2）分析：点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当点P运动时，四边形ABPC的面积有些部分是不变的，例如△AOC的面积是一定值。所以四边形ABPC的面积变化实质上是四边形OBPC的面积的变化。

原题（2）部分多视角分析：

视角一：将四边形分割为：直角梯形+直角三角形

过点P作PM⊥AB，垂足为M.

设点，则，由题意得的坐标分别为

∴当时，四边形的面积最大为，此时 .

视角透视：四边形的面积被分割成了三部分，其中有一部分的面积是固定的，有两部分的面积是随着P点的运动而变化的。通过设点P的坐标，用含有未知数x的表达式表示出四边形的面积，从而思考面积表达式的最值问题。

视角二：将四边形分割为：两个三角形

连接PO，过点作轴，垂足为M，过点P作PQ⊥y轴，垂足为Q.

∴当时，四边形的面积最大为，此时P的坐标为.

视角透视：四边形的面积被分割成了三部分，其中有一部分的面积是固定的，有两部分的面积是随着点的运动而变化的。通过设点的坐标，用点横纵坐标的表达式表示出四边形的面积，发现更容易理解和计算面积表达式的最值问题。

视角三：将四边形分割为：直角三角形三角形

连接BC，过点P作PM⊥AB，垂足为M，交BC与点N.设点，则.又因的坐标分别为，所以BC的解析式为，进而点的坐标可以设为.

∴当时，四边形的面积最大为，此时P的坐标为.

視角透视：四边形的面积被分割成了三部分，其中有两部分的面积是固定的，有一部分的面积是随着P点的运动而变化的。通过设点P的坐标，用含有未知数x的表达式表示出四边形的面积，从而思考面积表达式的最值问题。

视角四：将四边形分割为：直角三角形+三角形----平行线的介入

连接BC，过点P作直线l∥BC.因为的坐标分别为，所以BC的解析式为，那么直线l的解析式可以设为.因为直线l与抛物线只有一个交点时，四边形ABPC的面

视角透视：四边形的面积被分割成了三部分，其中有两部分的面积是固定的，有一部分的面积是随着P点的运动而变化的。当点P距离直线BC越远，也就是过点P的直线与抛物线只有一个交点时，这部分变化的面积才会达到最大值。直线的介入，将图形面积最值问题转化为两个函数图象交点个数的问题，进而转化为一元二次方程根的判别式的问题。这充分体现了代数与几何的有机结合，体现了函数思想的力量。

视角透视：四边形的面积被分割成了三部分，其中有两部分的面积是固定的，有一部分的面积是随着P点的运动而变化的。作出这个变化图形的高线，计算高线的最值，从而求出图形面积的最值。这里直线是一条与第二四象限角平分线平行的直线，那么与垂直的直线就是一条与第一三象限角平分线平行的直线，所以直线的倾斜方向就确定了。点是两条直线的交点，点是直线、抛物线的交点，那么的距离就可以计算出来。这里应用了一个技巧：的长度是两点横坐标差的绝对值的倍，这样表示会更简洁。当然这里的表达式还需要利用换元的思想求解会更显巧妙。

视角透视：四边形的面积被补整为一个三角形和一个矩形的面积和，所求四边形的面积在整体中减去两个直角梯形即可。这两个直角梯形的面积是随着P点的运动而变化的。通过设点P的坐标，用P点横纵坐标的表达式表示出四边形的面积，从而得以解决面积表达式的最值问题。

核心素养的梳理挖掘：当我们从不同的视角来透视解答这道平面直角坐标系背景下的抛物线上的动点问题时，可以深刻体会到数学抽象与几何直观的巧妙结合。以上六种解题方法是数学建模思想下的自然结果，其中运用的逻辑推理、数学运算和数据透视是巧妙解题的一把利器。把数学核心素养内化为自己的素养，还需在中考数学压轴题中多加历练。

触类旁通：经系统研习2019年山东省其他地市中考数学压轴题，我们发现：2019年枣庄市中考数学25（2）题与本文所透视的问题类似;2019年莱芜市中考数学24（2）题、2019年临沂市中考数学26（3）题、2019年泰安市中考数学24（2）题，分别赋予变化的三角形的面积为一定值，求点P的坐标;2019年滨州市中考题26（2）题，类似“视角四”，求高线的最值问题;2019年潍坊市四区模拟一25（2）题，类似“视角二”求P点坐标。